《自動控制原理教學(xué)》第4章

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第4章

根軌跡法

系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的基本特征是由閉環(huán)極點（即閉環(huán)特征方程的根）在s平面上的位置決定的。根軌跡法的基本思想是：

在已知開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點分布基礎(chǔ)上，通過圖解法研究系統(tǒng)某一個或多個參數(shù)變化時，對控制系統(tǒng)閉環(huán)極點分布的影響。4.1根軌跡的概念

定義：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一個參數(shù)(如開環(huán)增益)從零變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在S平面上變化

的軌跡。

例

閉環(huán)傳遞函數(shù)

特征方程

特征方程的根：

2若從零到無窮大變化時，特征方程根的變化情況如表所謂根軌跡圖，即以為參變量，當(dāng)由0→∞時，系統(tǒng)閉環(huán)極點在s平面上變化的軌跡。K00.1250.250.5……∞s10-0.146-0.5-0.5+j0.5……-0.5+j∞s2-1-0.854-0.5-0.5-j0.5……-0.5-j∞3穩(wěn)定性

當(dāng)增益由0→∞，根軌跡不會越過虛軸進(jìn)入s平面右半邊，因此系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的，穩(wěn)態(tài)特性

開環(huán)傳遞函數(shù)在坐標(biāo)原點有一個極點，所以屬I型系統(tǒng)，根軌跡上對應(yīng)的值就是。動態(tài)特性當(dāng)0<<0.25時，閉環(huán)極點位于實軸上，為過阻尼狀態(tài)；當(dāng)=0.25時，兩個閉環(huán)實極點重合，為臨界阻尼系統(tǒng);

當(dāng)>0.25時，閉環(huán)極點是共軛復(fù)數(shù)，為欠阻尼狀態(tài)，單

位階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。根據(jù)此圖可以分析參數(shù)變化對系統(tǒng)特性的影響。44.2根軌跡方程4.2.1根軌跡方程閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)特征方程：

（根軌跡方程基本形式）或

5（i=1,…,m）為開環(huán)零點。稱為根軌跡增益；式中：ipzk

（j=1,…,n）為開環(huán)極點。j寫成得根軌跡方程標(biāo)準(zhǔn)形式6編輯ppt幅值條件：相角條件（充要條件）：在測量相角時規(guī)定以逆時針方向為正。繪制根軌跡的兩個基本條件：7<例4-1>所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為判斷點和是否在其根軌跡上。

4.2.2根軌跡方程的應(yīng)用8編輯ppt

解：無開環(huán)零點開環(huán)極點極點

不滿足相角條件，不在根軌跡上滿足相角條件，在根軌跡上9編輯ppt1、根軌跡對稱于實軸，且是連續(xù)的曲線。特征方程的根或為實數(shù)，或為共軛復(fù)數(shù)。必對稱于實軸。4.3繪制根軌跡的一般規(guī)則2.根軌跡的起點和終點

起點（）：起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點；

終點（）：終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點。

包括m個有限遠(yuǎn)的零點（簡稱有限零點）

和（n-m）

個無限遠(yuǎn)的零點（簡稱無限零點）。當(dāng)變化時，整個根軌跡的趨向由起點移向終點，即由開環(huán)的極點移向開環(huán)的零點。10編輯ppt因為當(dāng)時，說明：根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，n階系統(tǒng)共有n個開環(huán)極點，每個開環(huán)極點都對應(yīng)根軌跡的一個起點，所以共有n個起點。

-起點：11編輯ppt終點：（1）有m條根軌跡終止于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的m個有限零點。當(dāng)時，

我們把這m個零點稱之為系統(tǒng)的有限零點。（2）有（n-m）條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的（n-m）個無限零點。上式表明：有n-m條根軌跡的終點在無窮遠(yuǎn)處。我們把無窮遠(yuǎn)處的零點稱之為無限零點。

12編輯ppt

綜上所述：系統(tǒng)共有n個開環(huán)零點，其中m個為有限零點，（n-m）個為無限零點。每個開環(huán)零點都對應(yīng)根軌跡的一個終點，所以共有n個終點。3、根軌跡的分支數(shù)

根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)的極點數(shù)。

我們把一條完整的根軌跡稱之為根軌跡的一個分支，由前面的分析可知，n階系統(tǒng)有n個根軌跡的起點和終點。所有的根軌跡都是有頭有尾、有始有終。所以其分支數(shù)必等于開環(huán)的極點數(shù)或系統(tǒng)的階數(shù)。134、根軌跡在實軸上的分布實軸上根軌跡其右側(cè)的開環(huán)零點、極點數(shù)目之和必為奇數(shù)。如圖系統(tǒng)有開環(huán)極點、、，開環(huán)零點取實軸上

、之間一點1)、不影響根軌跡相角條件2)3)145、根軌跡的會合點和分離點

若根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡，由開環(huán)極點出發(fā)的兩支根軌跡，隨著的增大在實軸上a點相遇再分離進(jìn)入復(fù)平面。隨著的繼續(xù)增大，又在實軸上b點相遇并分別沿實軸的左右兩方運動。當(dāng)時，一支根軌跡終止于z。另一支趨向無窮遠(yuǎn)。a、b點稱為根軌跡在實軸上的分離點和會合點。15編輯ppt重根法：根軌跡在實軸上的分離點或會合點表示這些點是閉環(huán)特征方程的重根點。只要找到這些重根，就可以確定分離點或會合點的位置。利用設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：可以求出重根也可用16<例4-4>編輯ppt6、根軌跡的漸近線漸近線共有(n-m)條，且相交于實軸上的同一點。漸近線與實軸正方向的夾角：

漸近線與實軸的交點：17必為實數(shù)，計算時只需帶極點和零點的實部即可。

夾角：設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點，則s平面上所有的開環(huán)有限零點和極點到的相角都相等，即為漸近線的傾角。代入根軌跡的相角條件得：規(guī)定：相角逆時針為正，順時針為負(fù)。18編輯ppt

漸近線與實軸的交點假設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點，則s平面上所有開環(huán)有限零點和極點到的矢量長度都相等?？梢哉J(rèn)為：對無限遠(yuǎn)閉環(huán)極點而言，所有的開環(huán)有限零點、極點都匯集在一起，其位置為，這就是漸近線與實軸的交點。19編輯ppt7、根軌跡的起始角和終止角：根軌跡的起始角是指起始于開環(huán)極點的根軌跡在起點處的切線與水平正方向的夾角。根軌跡的終止角是指終止于開環(huán)零點的根軌跡在終點處的切線與水平正方向的夾角。20編輯ppt<例4—6>單位負(fù)反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)解：開環(huán)有四個極點：開環(huán)有三個零點:實軸上(0,-1.5)和(-2.5,-∞)為根軌跡段漸近線21編輯ppt（3）根軌跡起始角和終止角為:由根軌跡的對稱性知2223編輯ppt該系統(tǒng)的起始角終止角及根軌跡如圖所示24編輯ppt8、根軌跡和虛軸的交點：

在閉環(huán)特征方程中令，然后使特征方程的實、虛部為零即可求出和k。根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對純虛根。25編輯ppt開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征方程為：即：9、閉環(huán)極點之和與極點之積：26也是：編輯ppt根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系,有

當(dāng)n-m≥2時，當(dāng)開環(huán)有零值極點時：27編輯ppt解:由根之和即閉環(huán)第三個特征根為-3開環(huán)有零值極點：由根之積得因為所以<例4-8>系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

根軌跡與虛軸交點為,求交點處的臨界值及對應(yīng)的第三個閉環(huán)極點28n-m≥2：編輯ppt幅值條件：相角條件（充要條件）：根軌跡方程標(biāo)準(zhǔn)形式：29復(fù)習(xí)1、根軌跡對稱于實軸，且是連續(xù)的曲線。2.根軌跡的起點和終點起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點；終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點。包括m個有限遠(yuǎn)的零點（簡稱有限零點）和（n-m）個無限遠(yuǎn)的零點（簡稱無限零點）。3、根軌跡的分支數(shù)

根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)的極點數(shù)。4、根軌跡在實軸上的分布實軸上根軌跡其右側(cè)的開環(huán)零點、極點之和必為奇數(shù)。

繪制根軌跡的一般規(guī)則5、根軌跡的會合點和分離點：重根法：6、根軌跡的漸近線30復(fù)習(xí)編輯ppt7、根軌跡的起始角和終止角：根軌跡的起始角是指起始于開環(huán)極點的根軌跡在起點處的切線與水平正方向的夾角。根軌跡的終止角是指終止于開環(huán)零點的根軌跡在終點處的切線與水平正方向的夾角。8、根軌跡和虛軸的交點：319、閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積：

當(dāng)n-m≥2時，當(dāng)開環(huán)有零值極點時：復(fù)習(xí)編輯ppt<例4—9>單位負(fù)反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)32解：開環(huán)有四個極點：開環(huán)無零點33（1）開環(huán)傳遞函數(shù)有四個極點，故有四條根軌跡。（2）確定實軸上的根軌跡：在實軸上（-20，0）之間為根

軌跡。（3）根軌跡起點：四個開環(huán)極點。

根軌跡終點：四條根軌跡均止于無窮遠(yuǎn)處。（4）根軌跡漸近線。34（5）根軌跡分離點用試探法解出分離點（6）根軌跡起始角。因開環(huán)有一對共軛復(fù)數(shù)極點，需求

處的根軌跡起始角。根據(jù)對稱性規(guī)則35（7）根軌跡與虛軸交點。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為令代入方程中解聯(lián)立方程得：36繪制根軌跡的步驟：（1）確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點。（2）確定根軌跡的條數(shù)，及起點和終點。（3）實軸上的根軌跡（4）求根軌跡漸近線包括夾角及交點（5）根軌跡的分離點（6）起始角與終止角（一般適用于共軛復(fù)根）（7）與虛軸的交點。37編輯ppt38<例4—11>開環(huán)傳遞函數(shù)用根軌跡法求閉環(huán)極點。編輯ppt4.4控制系統(tǒng)根軌跡分析利用根軌跡分析法對系統(tǒng)性能進(jìn)行分析包括以下幾方面內(nèi)容（1）參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；（2）計算系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；（3）根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參量。39編輯ppt1、根軌跡用于系統(tǒng)的性能分析<例4—10>單位負(fù)反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定參數(shù)在一定范圍內(nèi)取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)40閉環(huán)零、極點分布與系統(tǒng)階躍響應(yīng)的關(guān)系：單位階躍響應(yīng)輸出一般表達(dá)式：（1）穩(wěn)定性（2）調(diào)節(jié)時間（快速性）主要取決于閉環(huán)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點的實部絕對值。（3）超調(diào)量(平穩(wěn)性)

主要取決于閉環(huán)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點的位置。

二階系統(tǒng)最佳阻尼比（平穩(wěn)性和快速性都比較理想）（4）實數(shù)零極點的作用零點：減小系統(tǒng)阻尼，峰值時間提前，超調(diào)量增大。極點：增大系統(tǒng)阻尼，峰值時間滯后，超調(diào)量減小。41編輯ppt（5）偶極子作用

如果零極點之間的距離比它本身的模值小一個數(shù)量級，則稱這一對零極點為偶極子。偶極子對系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響可以忽略。即零極點對消。（6）主導(dǎo)極點

離虛軸最近且附近又無閉環(huán)零點的閉環(huán)極點，對系統(tǒng)的暫態(tài)過程起主導(dǎo)作用。42編輯ppt43<例4—12>單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)用根軌跡法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，并計算K=0.525時的暫態(tài)性能指標(biāo)。編輯ppt2通過改造根軌跡改善系統(tǒng)的品質(zhì)：（通過增加開環(huán)零、極點來改造根軌跡）1、增加開環(huán)零點對根軌跡的影響（1）改變了根軌跡在實軸上的分布；（2）改變了漸近線條數(shù)、傾角和分離點；（3）加入一個零點，構(gòu)成偶極子，可抵消有損于系統(tǒng)性

能的極點；

（單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)零點與閉環(huán)零點相同）（4）根軌跡曲線將向左移，有利于改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能。2、增加開環(huán)極點對根軌跡的影響（1）改變了根軌跡在實軸上的分布；（2）改變了根軌跡分支數(shù)；（3）改變了漸近線條數(shù)、傾角和分離點；（4）根軌跡曲線將向右移，不利于改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能。44<例4—13>45編輯ppt例4-13說明（a）附加一個開環(huán)極點（1）根軌跡向右移；（2）原來系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，現(xiàn)在大到一定程度時，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)；（3）同樣值下，對應(yīng)的阻尼比變小，系統(tǒng)的超調(diào)量變大，調(diào)整時間變長，振蕩也更加劇烈。結(jié)論：加開環(huán)極點對系統(tǒng)暫態(tài)性能不利。（b）附加一個開環(huán)零點（1）根軌跡向左移；（2）系統(tǒng)總是穩(wěn)定的；（3）同樣值下，對應(yīng)的阻尼比增大，系統(tǒng)的超調(diào)量變小，調(diào)整時間變短。結(jié)論：加開環(huán)零點，暫態(tài)性能提高。46編輯ppt<習(xí)4-7>系統(tǒng)

（1）繪制根軌跡，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性（2）,判斷此時系統(tǒng)性能47編輯ppt

第4章小結(jié)

一.概念

1.根軌跡：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一個參數(shù)(如開環(huán)增益)從零變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在S平面上變化的

軌跡。

2.偶極子：如果閉環(huán)傳遞函數(shù)零極點之間的距離比它本身的

模值小一個數(shù)量級，則稱這一對零極點為偶極子。3.主導(dǎo)極點：離虛軸最近且附近又無閉環(huán)零點的閉環(huán)極點，