電路分析中用到的電感元件的特性

如果一個(gè)二端元件在任一時(shí)刻，其磁通鏈與電流之間的關(guān)系由i－平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電感元件。電感元件的符號(hào)和特性曲線如圖7－12(a)和(b)所示。(a)電感元件的符號(hào)(c)線性時(shí)不變電感元件的符號(hào)(b)電感元件的特性曲線(d)線性時(shí)不變電感的特性曲線圖7-12一、電感元件現(xiàn)在是1頁\一共有29頁\編輯于星期日其特性曲線是通過坐標(biāo)原點(diǎn)一條直線的電感元件稱為線性電感元件，否則稱為非線性電感元件。線性時(shí)不變電感元件的符號(hào)與特性曲線如圖(c)和(d)所示，它的特性曲線是一條通過原點(diǎn)不隨時(shí)間變化的直線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中的系數(shù)L為常量，與直線的斜率成正比，稱為電感，單位是亨[利],用H表示。圖7-12現(xiàn)在是2頁\一共有29頁\編輯于星期日實(shí)際電路中使用的電感線圈類型很多，電感的范圍變化很大，例如高頻電路中使用的線圈容量可以小到幾個(gè)微亨(H，1H=10-6H),低頻濾波電路中使用扼流圈的電感可以大到幾亨。電感線圈可以用一個(gè)電感或一個(gè)電感與電阻的串聯(lián)作為它的電路模型。在工作頻率很高的情況下，還需要增加一個(gè)電容來構(gòu)成線圈的電路模型，如圖7－13所示。圖9－13電感器的幾種電路模型現(xiàn)在是3頁\一共有29頁\編輯于星期日二、電感的電壓電流關(guān)系

對(duì)于線性時(shí)不變電感元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到此式表明電感中的電壓與其電流對(duì)時(shí)間的變化率成正比，與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不同，電感電壓與此時(shí)刻電流的數(shù)值之間并沒有確定的約束關(guān)系。在直流電源激勵(lì)的電路中，磁場不隨時(shí)間變化,各電壓電流均不隨時(shí)間變化時(shí)，電感相當(dāng)于一個(gè)短路(u=0)?，F(xiàn)在是4頁\一共有29頁\編輯于星期日在已知電感電流i(t)的條件下，用式(7－10)容易求出其電壓u(t)。例如L=1mH的電電感上，施加電流為i(t)=10sin(5t)A時(shí)，其關(guān)聯(lián)參考方向的電壓為電感電壓的數(shù)值與電感電流的數(shù)值之間并無確定的關(guān)系，例如將電感電流增加一個(gè)常量k，變?yōu)閕(t)=k+10sin5tA時(shí)，電感電壓不會(huì)改變，這說明電感元件并不具有電阻元件在電壓電流之間有確定關(guān)系的特性。現(xiàn)在是5頁\一共有29頁\編輯于星期日例7－5電路如圖7－14(a)所示，已知L=5H電感上的電流

波形如圖7－14(b)所示，求電感電壓u(t),并畫出波形圖。圖7－14例7－5現(xiàn)在是6頁\一共有29頁\編輯于星期日2.當(dāng)0t3s時(shí)，i(t)=2103t，根據(jù)式7－10可以得到解：根據(jù)圖6－15(b)波形，按照時(shí)間分段來進(jìn)行計(jì)算

1.當(dāng)t0時(shí)，i(t)=0，根據(jù)式7－10可以得到圖7－14例7－5現(xiàn)在是7頁\一共有29頁\編輯于星期日3.當(dāng)3st4s時(shí)，i(t)=24103-6103t，根據(jù)式7－10可以得到4.當(dāng)4st時(shí)，i(t)=0，根據(jù)式7－10可以得到圖7－14例7－5現(xiàn)在是8頁\一共有29頁\編輯于星期日根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，畫出相應(yīng)的波形，如圖7－14(c)所示。這說明電感電流為三角波形時(shí)，其電感電壓為矩形波形。圖7－14現(xiàn)在是9頁\一共有29頁\編輯于星期日在已知電感電壓uL(t)的條件下，其電流iL(t)為其中稱為電感電壓的初始值,它是從t=-∞到t=0時(shí)間范圍內(nèi)電感電壓作用于電感所產(chǎn)生的電流。現(xiàn)在是10頁\一共有29頁\編輯于星期日式(7－11)表示t>0的某時(shí)刻電感電流iL(t)等于電感電流的初始值iL(0)加上t=0到t時(shí)刻范圍內(nèi)電感電壓在電感中所產(chǎn)生電流之和，就端口特性而言，等效為一個(gè)直流電流源iL(0)和一個(gè)初始電流為零的電感的并聯(lián)，如圖7－15所示。圖7－15現(xiàn)在是11頁\一共有29頁\編輯于星期日從式(7－11)可以看出電感具有兩個(gè)基本的性質(zhì)。

(1)電感電流的記憶性。

從式（6－8）可見，任意時(shí)刻T電感電流的數(shù)值iL(T)，要由從-到時(shí)刻T之間的全部電壓來確定。也就是說，此時(shí)刻以前在電感上的任何電壓對(duì)時(shí)刻T的電感電流都有一份貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅取決于此時(shí)刻的電流或電壓完全不同，我們說電感是一種記憶元件?，F(xiàn)在是12頁\一共有29頁\編輯于星期日例7－6電路如圖7－16(a)所示，電感電壓波形如圖7－16(b)所示，試求電感電流i(t),并畫波形圖。圖7－16現(xiàn)在是13頁\一共有29頁\編輯于星期日解：根據(jù)圖(b)波形，按照時(shí)間分段來進(jìn)行積分運(yùn)算1.當(dāng)t<0時(shí)，u(t)=0，根據(jù)式7－11可以得到2.當(dāng)0<t<1s時(shí)，u(t)=1mV，根據(jù)式7－11可以得到圖7－16現(xiàn)在是14頁\一共有29頁\編輯于星期日3.當(dāng)1s<t<2s時(shí)，u(t)=-1mV，根據(jù)式7－11可以得到4.當(dāng)2s<t<3s時(shí)，u(t)=1mV，根據(jù)式7－11可以得到5.當(dāng)3s<t<4s時(shí)，u(t)=-1mV，根據(jù)式7－11可以得到現(xiàn)在是15頁\一共有29頁\編輯于星期日根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，可以畫出電感電流的波形如圖7－16(c)所示，由此可見任意時(shí)刻電感電流的數(shù)值與此時(shí)刻以前的電感電壓均有關(guān)系。圖7－16現(xiàn)在是16頁\一共有29頁\編輯于星期日在幻燈片放映時(shí)，請(qǐng)用鼠標(biāo)單擊圖片放映錄像?，F(xiàn)在是17頁\一共有29頁\編輯于星期日(2)電感電流的連續(xù)性

從電感電壓、電流的積分關(guān)系式可以看出,電感電壓在閉區(qū)間[t1,t2]有界時(shí)，電感電流在開區(qū)間(t1,t2)內(nèi)是連續(xù)的。現(xiàn)在是18頁\一共有29頁\編輯于星期日對(duì)于初始時(shí)刻t=0來說，上式表示為利用電感電流的連續(xù)性，可以確定電路中開關(guān)發(fā)生作用后一瞬間的電感電流值。也就是說，當(dāng)電感電壓有界時(shí)，電感電流不能躍變，只能連續(xù)變化，即存在以下關(guān)系現(xiàn)在是19頁\一共有29頁\編輯于星期日例7－7圖7－17(a)所示電路的開關(guān)閉合已久，求開關(guān)在t=0斷開時(shí)電容電壓和電感電流的初始值uC(0+)和iL(0+)。圖7－17現(xiàn)在是20頁\一共有29頁\編輯于星期日解：由于各電壓電流均為不隨時(shí)間變化的恒定值，電感相

當(dāng)于短路；電容相當(dāng)于開路，如圖(b)所示。此時(shí)當(dāng)開關(guān)斷開時(shí)，電感電流不能躍變；電容電壓不能躍變。圖7－17現(xiàn)在是21頁\一共有29頁\編輯于星期日三、電感的儲(chǔ)能在電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，電感的吸收功率為當(dāng)p>0時(shí)，電感吸收功率；當(dāng)p<0時(shí)，電感發(fā)出功率?，F(xiàn)在是22頁\一共有29頁\編輯于星期日電感在從初始時(shí)刻t0到任意時(shí)刻t時(shí)間內(nèi)得到的能量為若電感的初始儲(chǔ)能為零，即i(t0)=0,則任意時(shí)刻儲(chǔ)存在電感中的能量為現(xiàn)在是23頁\一共有29頁\編輯于星期日此式說明某時(shí)刻電感的儲(chǔ)能取決于該時(shí)刻電感的電流值，與電感的電壓值無關(guān)。電感電流的絕對(duì)值增大時(shí)，電感儲(chǔ)能增加；電感電流的絕對(duì)值減小時(shí)，電感儲(chǔ)能減少。由于電感電流確定了電感的儲(chǔ)能狀態(tài)，稱電感電流為狀態(tài)變量。從式(7－13)也可以理解為什么電感電流不能輕易躍變，這是因?yàn)殡姼须娏鞯能S變要伴隨電感儲(chǔ)存能量的躍變，在電壓有界的情況下，是不可能造成磁場能量發(fā)生突變和電感電流發(fā)生躍變的?，F(xiàn)在是24頁\一共有29頁\編輯于星期日四、電感的串聯(lián)和并聯(lián)

1.兩個(gè)線性電感串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個(gè)線性電感，其等效電感的計(jì)算公式推導(dǎo)如下：其中列出圖7－18(a)的KVL方程，代入電感的電壓電流關(guān)系，得到端口電壓電流關(guān)系圖7－18現(xiàn)在是25頁\一共有29頁\編輯于星期日

2.兩個(gè)線性電感并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個(gè)線性電感，其等效電感的計(jì)算公式推導(dǎo)如下：其中列出圖7－19(a)單口網(wǎng)絡(luò)的KCL方程，代入電感的電壓電流關(guān)系，得到端口的電壓電流關(guān)系圖7－19由此求得現(xiàn)在是26頁\一共有29頁\編輯于星期日現(xiàn)在是27頁\一共有29頁\編輯于星期日二端電阻，二