2022-2023學(xué)年安徽省合肥市廬江縣高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省合肥市廬江縣高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知兩個(gè)向量，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】根據(jù)向量共線得，解出即可.【詳解】，，解得，則.故選：B.2．直線的一個(gè)方向向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由直線斜率得到直線的一個(gè)方向向量，再對(duì)選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)橹本€可化為，所以直線的斜率為，則直線的一個(gè)方向向量為，對(duì)于A，與不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，與不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故與平行，則也是直線的一個(gè)方向向量，故C正確；對(duì)于D，與不平行，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．橢圓的焦距為4，則的值等于（

）A．5 B．13 C．5或13 D．25【答案】C【分析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系求解.【詳解】由題知：，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，或13.故選:C.4．在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且E是棱AB中點(diǎn)，則的值為A． B．1 C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，由正四面體的性質(zhì)可得：，可得，由E是棱中點(diǎn)，可得，代入，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】如圖所示由正四面體的性質(zhì)可得：可得：是棱中點(diǎn)故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查立體幾何中的垂直關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.5．在數(shù)列中，，且，，則（

）A．2 B．-1 C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)給定條件推導(dǎo)出數(shù)列的周期，再借助周期性計(jì)算得解.【詳解】解：在數(shù)列中，，，則，，于是得數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3，又，所以，，所以，所以.故選：C.6．等比數(shù)列中，已知，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，..故選:C.7．若兩圓和恰有三條公切線，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析出兩圓外切，可得出，將與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，則兩圓外切，則，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C.8．如圖，在三棱柱中，，，兩兩互相垂直，，，是線段，上的點(diǎn)，平面與平面所成（銳）二面角為，當(dāng)最小時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出的大?。驹斀狻恳詾樵c(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，，則，0，，，1，，，0，，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，，取，得，，，平面的法向量，0，，平面與平面所成（銳二面角為，，解得，當(dāng)|最小時(shí)，，，，．故選．【點(diǎn)睛】本題考查角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二、多選題9．已知直線，則下列說法正確的是A．若，則m=-1或m=3 B．若，則m=3C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)兩直線平行或垂直求出參數(shù)值然后判斷．【詳解】直線，則，解得或，但時(shí)，兩直線方程分別為，即，兩直線重合，只有時(shí)兩直線平行，A錯(cuò)，B正確；，則，，C錯(cuò)，D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行與垂直的條件，在由兩直線平行求參數(shù)時(shí)要注意檢驗(yàn)，排除兩直線重合的情形．如果用斜率求解還需討論斜率不存在的情形．10．已知向量，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)空間向量的模長(zhǎng)、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及平行、垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】對(duì)于A,，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,，則，則，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選:CD.11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載有“耗子穿墻”問題：今有垣厚五尺，兩老鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.下列說法中正硆的有（

）A．大鼠與小鼠在第三天相逢 B．大鼠與小鼠在第四天相逢C．大鼠一共穿墻尺 D．大鼠和小鼠穿墻的長(zhǎng)度比為【答案】AC【分析】對(duì)A和B構(gòu)造等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式即可求出的值，對(duì)C，首先求出前兩天每天各自的工作量，再列方程求出第三天大小老鼠打通的長(zhǎng)度，最后即可判斷C和D.【詳解】對(duì)A和B，今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，由題得大鼠和小鼠每一天的穿墻長(zhǎng)度成等比數(shù)列，分別設(shè)大鼠和小鼠每日穿墻長(zhǎng)度所成的數(shù)列為，則大鼠第日穿墻，小鼠第n日穿墻，則，整理得，解得，則，，，故大鼠與小鼠在第三天相逢，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)C，第一天大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，還剩3尺；第二天大老鼠打了2尺，小老鼠打了0.5尺，這一天一共打了2.5尺，兩天一共打了4.5尺，還剩0.5尺.第三天按道理應(yīng)是大老鼠打4尺，小老鼠0.25尺，可是總長(zhǎng)度只剩0.5尺沒有打通，所以在第三天肯定可以打通.設(shè)第三天大老鼠打了尺，小老鼠則打了尺，則打洞時(shí)間相等：，解方程得大老鼠在第三天打了尺，小老鼠打了，三天總的來說：大老鼠打了尺，故C正確；對(duì)D，大鼠和小鼠穿墻的長(zhǎng)度比為：，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的離心率為2B．雙曲線的漸近線方程為C．動(dòng)點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為定值D．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的左支上時(shí)，的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可判斷A,B，利用點(diǎn)到直線距離公式可判斷C，利用雙曲線的定義以及基本不等式判斷D.【詳解】對(duì)A和B，雙曲線，所以雙曲線的離心率為，漸近線方程為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，雙曲線的兩條漸近線方程分別為和，則點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為C選項(xiàng)正確；對(duì)D，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的左支上時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最大值為，D選項(xiàng)正確.故選:ACD.三、填空題13．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________________．【答案】【詳解】因?yàn)閟inα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直線的斜率范圍為[－1，1]，由傾斜角與斜率關(guān)系得傾斜角范圍是．答案：14．如圖所示，在平行六面體中是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，用表示向量的結(jié)果是______.【答案】【分析】由空間向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】是的中點(diǎn)，．故答案為：．四、雙空題15．十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，斐波那契數(shù)列滿足以下關(guān)系：，，記其前項(xiàng)和為，設(shè)（為常數(shù)），則__________，__________.【答案】

【分析】因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列滿足，，通過歸納可以得出，由此可求，再結(jié)合求的值.【詳解】因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列滿足所以，，，所以，，，故答案為：；.五、填空題16．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之比等于定比，則點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿氏圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，若在直線上存在點(diǎn)，在曲線上存在兩點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)平面軌跡的求法求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程曲線為圓，作出圖像，根據(jù)題意可知點(diǎn)到直線距離的最大值為，從而利用點(diǎn)線距離公式即可得解.【詳解】設(shè)，由題知，化簡(jiǎn)整理得，則此圓心為，半徑為，因?yàn)槭乔€上的兩點(diǎn)，當(dāng)都與圓相切，可使最大，又，，此時(shí)四邊形為正方形，，顯然，當(dāng)時(shí)，為銳角，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，才能取得直角，故，所以點(diǎn)到直線距離要滿足，所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合，找到圓心到直線距離的最大值，從而列出關(guān)于的不等式，解之即可.六、解答題17．已知直線：，直線：.（1）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若，求直線的方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）分直線過原點(diǎn)和直線不過原點(diǎn)兩種情況討論，分別求解即可.(2)若，則解得或,再驗(yàn)證從而得出答案.【詳解】（1）①若直線過原點(diǎn)，則在坐標(biāo)軸的截距都為，顯然滿足題意，此時(shí)則，解得，②若直線不過原點(diǎn)，則斜率為，解得.因此所求直線的方程為或（2）①若，則解得或.當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，兩直線重合，不滿足，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，滿足題意；因此所求直線：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查直線的截距概念和根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)，在解決這類問題時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等（或互為相反數(shù)）時(shí)，要注意直線過原點(diǎn)時(shí)也滿足條件，這是在解題中容易漏掉的情況，在由直線平行求參數(shù)時(shí)，求出參數(shù)時(shí)要代回檢驗(yàn)，對(duì)重合的情況要舍去，這個(gè)也是容易出錯(cuò)的地方，要注意，屬于中檔題.18．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上.（1）求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程是，求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由條件可知拋物線的焦點(diǎn)是，且，再根據(jù)，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，則由題意得，點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn).（1）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）由（1）得，又雙曲線的一條漸近線方程是，所以，解得，，所以雙曲線的方程為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程，幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)計(jì)算題型.19．已知圓過點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明過程見詳解【分析】（1）設(shè)圓心，半徑為，根據(jù)題意列出方程，求出圓心和半徑，進(jìn)而求出圓的方程；（2）先將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程，設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)題意分別求出，，進(jìn)而即可證明結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)圓心，半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)，，所以直線的中垂線方程是，過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是，由，解得，圓心，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）證明：由（1）知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則其一般方程為，即，設(shè)點(diǎn)，且點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則，，于是，為定值．20．已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，且2a2是a3和4a1的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1=1，b7=13，且bn+2+bn=2bn+1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；(2)根據(jù)已知求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合(1)中結(jié)論并利用分組求和法求解即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，即，解得，所以.故答案為：.(2)因?yàn)?，所以為等差?shù)列，因?yàn)?，，所以公差，?所以.故答案為：.21．在①平面平面，②，③平面這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.如圖，在四棱錐中，底面是梯形，點(diǎn)在上，，，，，且______.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】選條件①（1）證明見解析；（2）；選條件②（1）證明見解析；（2）；選條件③（1）證明見解析；（2）.【分析】若選①：（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系結(jié)合向量法證明和線面垂直的判定定理，可證平面，根據(jù)面面垂直判定定理，即可證明平面平面；（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為，再利用向量法結(jié)合線面所成角正弦公式即可求解直線與平面所成角的正弦值.若選②：根據(jù)線面垂直的判定定理，可證明平面；建立空間直角坐標(biāo)系結(jié)合向量法證明和線面垂直的判定定理，可證平面，根據(jù)面面垂直判定定理，即可證明平面平面；（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為，再利用向量法結(jié)合線面所成角正弦公式即可求解直線與平面所成角的正弦值.若選③：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得，又，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系結(jié)合向量法證明和線面垂直的判定定理，可證平面，根據(jù)面面垂直判定定理，即可證明平面平面；（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為，再利用向量法結(jié)合線面所成角正弦公式即可求解直線與平面所成角的正弦值.【詳解】方案一：選條件①.（1）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.又，∴，，兩兩垂直.以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，.∵，，∴，.又，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則.方案二：選條件②.（1）∵底面為梯形，，∴兩腰，必相交.又，，，平面，∴平面.又，∴，，兩兩垂直.以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，.∵，，∴，.又，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則.方案三：選條件③.（1）∵平面，平面，∴.又，，平面，，∴平面.又，∴，，兩兩垂直.以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，.∵，，∴，.又，∴平面.又平面，∴平面平面（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則.22．已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為，且其右焦點(diǎn)到直線的距離為4.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在斜率為的直線，使與已知橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且？若存在，請(qǐng)求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義結(jié)合點(diǎn)