液體三元流動(dòng)基本原理

液體三元流動(dòng)基本原理第1頁/共72頁本章內(nèi)容5.2流線與跡線微分方程5.3液體三元流動(dòng)的連續(xù)性方程5.4液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本形式5.5有旋運(yùn)動(dòng)簡介5.6液體恒定平面勢流5.7邊界層簡介第5章液體三元流動(dòng)基本原理第2頁/共72頁1.流線（1）定義：流線是某瞬時(shí)在流場中繪出的曲線，曲線上各點(diǎn)的速度矢量均與該曲線相切。

5.2流線與跡線微分方程第3頁/共72頁（2）流線方程：由得出流線微分方程：t

為流線方程的參數(shù)，積分時(shí)可視作常數(shù)。第4頁/共72頁2.跡線

（1）定義：跡線是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。（2）跡線方程由得出跡線微分方程：t

為變量。第5頁/共72頁例1已知用歐拉變數(shù)表示的流體運(yùn)動(dòng)的速度場為(式中，k為大于零的常數(shù))，求流線與跡線。第6頁/共72頁5.3液體三元流動(dòng)的連續(xù)性方程dt時(shí)段,x,y,z三個(gè)方向流出與流入控制體積的液體的質(zhì)量差為：1、方程的推導(dǎo)第7頁/共72頁第8頁/共72頁第9頁/共72頁哈密頓算子液體三元流動(dòng)的連續(xù)性方程質(zhì)量凈流出質(zhì)量減少第10頁/共72頁第11頁/共72頁

2．連續(xù)性方程的簡化（1）恒定流動(dòng)，不論液體是否壓縮

（2）不可壓縮流體流動(dòng)，不論是否恒定（4）對于二維恒定不可壓縮流動(dòng)第12頁/共72頁

3．連續(xù)性方程的意義（1）質(zhì)量守恒（2）用連續(xù)性方程判別流動(dòng)能否發(fā)生（3）用連續(xù)性方程推求某一速度分量（4）與運(yùn)動(dòng)微分方程聯(lián)立求解

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例1已知二維恒定不可壓縮流動(dòng)速度場為判別流動(dòng)是否能發(fā)生。解：所以該流動(dòng)能發(fā)生。第14頁/共72頁

例2已知二維恒定不可壓縮流動(dòng)徑向速度分量為式中A為常數(shù)，求切向速度分量解：第15頁/共72頁1、液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)形式：

5.4液體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的基本形式平移、旋轉(zhuǎn)和變形第16頁/共72頁2、液體質(zhì)點(diǎn)的基本運(yùn)動(dòng)形式分析設(shè)微團(tuán)平行于xoy平面的投影面為ABCD，在t瞬時(shí)，各角點(diǎn)沿x,y方向的速度分量第17頁/共72頁液體質(zhì)點(diǎn)的基本運(yùn)動(dòng)形式平移是指液體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中任一線段的長度和方位均不變。平移速度為ux,uy第18頁/共72頁線變形是指液體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中僅存在各線段的伸長或縮短。線變形率第19頁/共72頁角變形角BAC的減少量為平均角變形為x角變形率第20頁/共72頁角變形和旋轉(zhuǎn)第21頁/共72頁角變形率旋轉(zhuǎn)角速度第22頁/共72頁角變形率旋轉(zhuǎn)角速度第23頁/共72頁線變形率分量：角變形率分量：

旋轉(zhuǎn)角速度分量：第24頁/共72頁變形率（應(yīng)變率）張量為：

流體的速度分解定理：流場中任一點(diǎn)處的速度為平移速度、旋轉(zhuǎn)速度與變形速度之和。第25頁/共72頁5.5有旋運(yùn)動(dòng)簡介有旋流動(dòng)（有渦流動(dòng)）類似于流速場引用流線、流管、流束、流量有旋運(yùn)動(dòng)的渦場引入渦線、渦管、渦束、渦通量的概念來表征。第26頁/共72頁渦線、渦管、渦束在某瞬時(shí)，在渦場中假想的一條空間幾何曲線，在此曲線上，各質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度矢量都與該點(diǎn)的曲線相切，則定義這條曲線為渦線。渦線微分方程第27頁/共72頁

渦量、渦通量、速度環(huán)量和斯托克斯定理渦量:速度的旋度。第28頁/共72頁渦通量（渦旋強(qiáng)度）

速度環(huán)量:在流場中任取一封閉的曲線，把速度沿該封閉曲線的線積分定義為繞曲線L的速度環(huán)量，記作:第29頁/共72頁

斯托克斯定律：通過某一曲面的渦通量

等于沿該曲面周界的速度環(huán)量

。第30頁/共72頁1、流函數(shù)定義5.6液體恒定平面勢流5.6.1流函數(shù)

由流體平面不可壓縮的連續(xù)性方程,即則有即連續(xù)性方程自動(dòng)滿足稱為流函數(shù)若設(shè)第31頁/共72頁2、流函數(shù)的性質(zhì)(1).

=C為流線,即流函數(shù)等值線就是流線(2).平面無旋不可壓,流函數(shù)滿足拉氏方程為調(diào)和函數(shù)第32頁/共72頁(3).兩條流線的流函數(shù)值之差等于這兩條流線間所通過的單寬流量第33頁/共72頁

1、速度勢函數(shù)定義流動(dòng)無旋5.6.2速度勢函數(shù)若令流動(dòng)無旋自動(dòng)滿足稱j為速度勢函數(shù)則有第34頁/共72頁2、速度勢函數(shù)的性質(zhì)(1)等勢線與流線正交第35頁/共72頁2、速度勢函數(shù)的性質(zhì)(2)無旋不可壓,速度勢函數(shù)滿足拉氏方程j為調(diào)和函數(shù)代入不可壓連續(xù)性方程得第36頁/共72頁例3平面速度場試求:(1).是否為可能存在的流動(dòng)

(2).求流函數(shù)

(3).是否無旋解:(1).(2).第37頁/共72頁例3平面速度場試求:(2).求流函數(shù)

解:第38頁/共72頁例3平面速度場試求:(1).是否為可能存在的流動(dòng)(2).求流函數(shù)(3).是否無旋

解:(3).所以流動(dòng)無旋第39頁/共72頁

1.

流函數(shù)與速度勢函數(shù)為共軛函數(shù)流函數(shù)與速度勢函數(shù)這一關(guān)系，在數(shù)學(xué)上稱為柯西(Cauchy)-黎曼（Riemann）條件，滿足這一條件的函數(shù)稱為共軛函數(shù)。5.6.3流網(wǎng)及其性質(zhì)

第40頁/共72頁2、流網(wǎng)的性質(zhì)2每一網(wǎng)格的邊長之比，等于流函數(shù)和流速勢函數(shù)的增量之比;1流網(wǎng)是正交網(wǎng)格;第41頁/共72頁2、流網(wǎng)的性質(zhì)3對于曲邊正方形網(wǎng)格，任意兩條流線間的單寬流量為常量。第42頁/共72頁3、求流網(wǎng)的方法解析法實(shí)驗(yàn)法（水電比擬法）手描法第43頁/共72頁

水電比擬法電場中的物理量與滲流場中的物理量存在著相似關(guān)系。第44頁/共72頁手描法繪制流網(wǎng)的步驟：1.按比例繪制流動(dòng)的邊界，確定邊界流線和邊界等勢線；2.按液流的流動(dòng)趨勢試?yán)L流線；3.根據(jù)流網(wǎng)正交特性繪制等勢線。一般繪制成曲邊正方形網(wǎng)格;4.檢驗(yàn)。加繪網(wǎng)格的對角線加以檢驗(yàn);初繪流網(wǎng)，不一定符合要求，重復(fù)步驟2、3進(jìn)行修正，直至符合要求為止。

第45頁/共72頁5.6.4基本平面勢流及勢流疊加原理不可壓液體基本平面勢流

1.平行流速度場：流函數(shù)：勢函數(shù)：流線：平行與x軸的直線。等勢線：平行與y軸的直線。第46頁/共72頁2.源與匯

速度場：流函數(shù)：勢函數(shù)：流線：為一族從原點(diǎn)引出的徑向直線等勢線：為以原點(diǎn)為圓心的一族同心圓

極坐標(biāo)的柯西－黎曼條件第47頁/共72頁3.勢渦（自由渦）

速度場：流函數(shù)：勢函數(shù)：流線：為以原點(diǎn)為圓心的一族同心圓等勢線：為一族從原點(diǎn)引出的徑向直線第48頁/共72頁勢流疊加原理設(shè)有兩個(gè)簡單勢流，其勢函數(shù)分別為，流函數(shù)分別為，流速分別為。這兩個(gè)簡單勢流疊加后仍然為勢流。勢函數(shù)：流函數(shù)：流速:第49頁/共72頁5.7粘性液體應(yīng)力特征及應(yīng)力—變形率關(guān)系

用理想液體的勢流理論來研究低粘性大雷諾數(shù)情況下的粘性液體運(yùn)動(dòng)，所得的流速分布在除壁面附近以外的廣大區(qū)域內(nèi)是符合實(shí)際的，而壓強(qiáng)分布幾乎在全流場范圍內(nèi)都與實(shí)際一致。但在計(jì)算阻力等其他問題時(shí)，則會得到錯(cuò)誤的結(jié)果。對于高粘性或小雷諾數(shù)情況下的粘性液體運(yùn)動(dòng)，則勢流解與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)；為此．需研究粘性流體的三元流動(dòng)問題。本節(jié)研究粘性液體流動(dòng)的應(yīng)力特征和應(yīng)力與變形率的一般關(guān)系，以便為建立不可壓縮粘性液體運(yùn)動(dòng)微分方程和以后研究邊界層理論打下基礎(chǔ)。第50頁/共72頁液流中一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)

在粘性液流中，不但有壓應(yīng)力，而且有切應(yīng)力存在，故其表面力可以分解成互相正交的一個(gè)法向應(yīng)力(正應(yīng)力)和兩個(gè)切向應(yīng)力。微小正六面體液體微團(tuán)各邊均趨于零時(shí)，正六面體趨于一點(diǎn)。A點(diǎn)的三個(gè)互相垂直的作用面上，有三個(gè)法向應(yīng)力分量和六個(gè)切向應(yīng)力分量，這九個(gè)應(yīng)力分量就反映了該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

第一個(gè)下標(biāo)表示作用面的法線方向，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力的作用方向。當(dāng)作用面的外法線方向與坐標(biāo)軸指向一致時(shí)，應(yīng)力以順坐標(biāo)軸指向?yàn)檎?dāng)作用面的外法線方向與坐標(biāo)軸指向相反時(shí)，應(yīng)力以逆坐標(biāo)軸指向?yàn)檎?/p>

第51頁/共72頁應(yīng)力與變形率的關(guān)系

牛頓內(nèi)摩擦定律的應(yīng)力與變形率成線性關(guān)系。假定在粘性液體三元流動(dòng)一般情況下，應(yīng)力與變形率之間仍然保持線性關(guān)系，略去推導(dǎo)過程．直接寫出它們之間的關(guān)系。對于法向應(yīng)力以上各分式中的第二項(xiàng)為粘件附加壓強(qiáng)項(xiàng)。對于不可壓縮流體表明附加壓強(qiáng)項(xiàng)與動(dòng)力粘性系數(shù)及線變形率有關(guān)。

第52頁/共72頁

切應(yīng)力

上式稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。同一點(diǎn)的切應(yīng)力，當(dāng)下標(biāo)互換時(shí)，彼此相等。因此，粘性流體中，一點(diǎn)處的9個(gè)分量中，只有6個(gè)是彼此獨(dú)立的。

第53頁/共72頁法向應(yīng)力和切應(yīng)力表達(dá)式反應(yīng)了不可壓縮牛頓流體三元流動(dòng)應(yīng)力與變形率的一般關(guān)系式。它包括各種特殊情況，討論如下：１.當(dāng)液體靜止時(shí)，；法向應(yīng)力為；這里，p為靜水壓強(qiáng)，僅此一個(gè)標(biāo)量就能描述靜止液體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

2．當(dāng)液體流動(dòng)，但粘性效應(yīng)可以忽略不計(jì)計(jì)，即為理想液體時(shí)，式中粘性項(xiàng)均可略去。同樣有；。即在理想液體中，也不存在切應(yīng)力，而各方向的法向應(yīng)力的大小就等于理想液流中動(dòng)水壓強(qiáng)p。

3．當(dāng)粘性液體作平面流動(dòng)（xoy平面），時(shí)，則可簡化為牛頓內(nèi)摩擦定律。而切應(yīng)力表達(dá)式可看作是牛頓內(nèi)摩擦定律的三元推廣，因此被稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。第54頁/共72頁粘性液體三元流動(dòng)的法向應(yīng)力特征當(dāng)粘性液體流動(dòng)時(shí)．由于粘性影響，不僅出現(xiàn)切應(yīng)力，而且一點(diǎn)處各方向上的法向應(yīng)力的大小也不等。由法向應(yīng)力表達(dá)式可知，除-p外，還有一項(xiàng)粘性附加壓強(qiáng)項(xiàng)。如果把三個(gè)法向應(yīng)力的表達(dá)式相加，則得

對于不可壓縮流體式中p為粘性液體的動(dòng)水壓強(qiáng)。它的大小是三個(gè)坐標(biāo)方向上法向應(yīng)力的平均值。一般情況下，它是位置坐標(biāo)的函數(shù)，非恒定流時(shí)還是時(shí)間的函數(shù)。

第55頁/共72頁5.8液體運(yùn)動(dòng)微分方程

在研究液流內(nèi)部應(yīng)力特性的基礎(chǔ)上，可根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，先建立應(yīng)力形式的運(yùn)動(dòng)微分方程(應(yīng)力微分方程)，再建立不可壓縮粘性液體運(yùn)動(dòng)微分方程(納維—斯托克斯方程)、理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程(歐拉方程)和以時(shí)均值表示的粘性液體紊流時(shí)均運(yùn)動(dòng)微分力程(雷諾方程)。第56頁/共72頁應(yīng)力形式的運(yùn)動(dòng)微分方程在粘件液體中取一微小正六面體為控制體．分析作用于控制體內(nèi)液體的力。

1．質(zhì)量力單位質(zhì)量力f，在x，y，z坐標(biāo)鈾的投影為，總質(zhì)量力F在x，y，z坐標(biāo)鈾的投影為則第57頁/共72頁2．表面力單