全國通用版講義第二章 點直線平面之間的位置關(guān)系2-1-2

空間中直線與直線之間的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間中兩條直線的位置關(guān)系.2.理解異面直線的概念、畫法.3.理解并掌握公理4及等角定理.4.了解異面直線所成角的概念，會求一些較特殊的異面直線所成的角．知識點一空間兩直線的位置關(guān)系思考在同一平面內(nèi)，兩條直線有幾種位置關(guān)系？觀察下面兩個圖形，你能找出既不平行又不相交的兩條直線嗎？答案平行與相交．教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線；六角螺母中直線AB與CD.梳理異面直線的概念(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．(2)異面直線的畫法(襯托平面法)如圖(1)(2)所示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托．(3)判斷兩直線為異面直線的方法①定義法；②兩直線既不平行也不相交．(4)空間兩條直線的三種位置關(guān)系①從是否有公共點的角度來分：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(沒有公共點\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,異面)),有且僅有一個公共點——相交))②從是否共面的角度來分：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(在同一平面內(nèi)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),不同在任何一個平面內(nèi)——異面))知識點二平行公理(公理4)思考在平面內(nèi)，直線a，b，c，若a∥b，b∥c則a∥c.該結(jié)論在空間中是否成立？答案成立．梳理平行公理的內(nèi)容(1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．(2)符號表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c.知識點三等角定理思考觀察圖，在長方體ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC與∠A′D′C′，∠ADC與∠D′A′B′的兩邊分別對應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？答案從圖中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.梳理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，則這兩個角相等或互補．知識點四異面直線所成的角思考在長方體A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，則“直線BC1與直線BC所成的角”與“直線AD1與直線BC所成的角”是否相等？答案相等．梳理定義前提兩條異面直線a，b作法經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b結(jié)論我們把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍記異面直線a與b所成的角為θ，則0°<θ≤90°特殊情況當(dāng)θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b1．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線．(×)2．兩直線若不是異面直線，則必相交或平行．(√)3．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠BAC＝∠B′A′C′.(×)類型一空間兩直線位置關(guān)系的判定例1如圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的是()考點異面直線的判定題點異面直線的判定答案C解析不能嚴(yán)格根據(jù)異面直線的定義對兩直線的位置關(guān)系作出正確判斷，僅憑主觀臆測和對圖形的模糊認(rèn)識作出選擇．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故選C.反思與感悟(1)判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的關(guān)鍵點①建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系，特別關(guān)注異面直線．②重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．(2)判定兩條直線是異面直線的方法①證明兩條直線既不平行又不相交．②重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線．用符號語言可表示為A?α，B∈α，B?l，l?α，則AB與l是異面直線(如圖)．跟蹤訓(xùn)練1(1)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A．平行B．異面C．相交D．平行、相交或異面考點空間中直線與直線的位置關(guān)系題點空間中直線與直線的位置關(guān)系判定答案D解析可借助長方體來判斷．如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或異面．(2)如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為()A．1B．2C．3D．4考點異面直線的判定題點異面直線的判定答案C解析還原的正方體如圖所示．是異面直線的共三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.類型二平行公理和等角定理的應(yīng)用例2在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是AB，BC，A′B′，B′C′的中點，求證：EE′∥FF′.考點平行公理題點判斷、證明線線平行證明因為E，E′分別是AB，A′B′的中點，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四邊形EBB′E′是平行四邊形，所以EE′∥BB′，同理可證FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.引申探究1．在本例中，若M，N分別是A′D′，C′D′的中點，求證：四邊形ACNM是梯形．證明在正方體中，MN∥A′C′，且MN＝eq\f(1,2)A′C′，因為A′C′∥AC，且A′C′＝AC，所以MN∥AC，且MN＝eq\f(1,2)AC.又AM與CN不平行，故四邊形ACNM是梯形．2．若將本例變?yōu)橐阎狤，E′分別是正方體ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中點．求證：∠BEC＝∠B′E′C′.證明如圖所示，連接EE′.因為E，E′分別是AD，A′D′的中點，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.所以四邊形AEE′A′是平行四邊形．所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.又因為AA′∥BB′，且AA′＝BB′，所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′，所以四邊形BEE′B′是平行四邊形，所以BE∥B′E′.同理可證CE∥C′E′.又∠BEC與∠B′E′C′的兩邊方向相同，所以∠BEC＝∠B′E′C′.反思與感悟(1)空間兩直線平行的證明方法證明空間兩條直線平行的方法有兩個：一是利用平面幾何知識(三角形、梯形的中位線，平行四邊形性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等)證明；二是利用公理4，就是需要找到第三條直線c，使a∥c，b∥c，由公理4得到a∥b.(2)空間角相等的證明方法①等角定理是較常用的方法．②轉(zhuǎn)化為平面圖形中的三角形全等或相似來證明．跟蹤訓(xùn)練2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，BC的中點．求證：△EFG∽△C1DA1.考點平行公理題點判斷、證明線線平行證明如圖，連接B1C.因為G，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點，所以GF∥B1C且GF＝eq\f(1,2)B1C.又ABCD—A1B1C1D1為正方體，所以CD∥AB且CD＝AB，A1B1∥AB且A1B1＝AB，由公理4知CD∥A1B1且CD＝A1B1，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，所以A1D∥B1C且A1D＝B1C.又B1C∥FG，由公理4知A1D∥FG.同理可證：A1C1∥EG，DC1∥EF.所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.類型三求異面直線所成的角例3在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成銳角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大?。键c異面直線所成的角題點求異面直線所成的角解如圖所示，取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EG∥AB且EG＝eq\f(1,2)AB，GF∥CD且GF＝eq\f(1,2)CD，由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成角，∠EGF或其補角為AB與CD所成角．∵AB與CD所成角為30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°，當(dāng)∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°，故EF與AB所成角的大小為15°或75°.反思與感悟求兩條異面直線所成的角的一般步驟(1)構(gòu)造角：根據(jù)異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關(guān)角．(2)計算角：求角度，常利用三角形．(3)確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角．跟蹤訓(xùn)練3在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點，求異面直線DB1與EF所成角的大小．考點異面直線所成的角題點求異面直線所成的角解如圖①，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點O，取DD1的中點G，連接OG，A1G，C1G.則OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點，∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.1．若空間兩條直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關(guān)系是()A．共面B．平行C．異面D．平行或異面考點空間中直線與直線的位置關(guān)系題點空間中直線與直線的位置關(guān)系判定答案D解析若直線a和b共面，則由題意可知a∥b；若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線．2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，則∠A′O′B′為()A．130°B．50°C．130°或50°D．不能確定考點平行公理題點利用等角定理求角答案C解析根據(jù)定理，∠A′O′B′與∠AOB相等或互補，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.3．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是()A．平行或異面B．相交或異面C．異面D．相交考點空間中直線與直線的位置關(guān)系題點空間中直線與直線的位置關(guān)系判定答案B解析如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，顯然BB1∩BC＝B，DD1與BC是異面直線，故選B.4．對角線互相垂直的空間四邊形ABCD各邊中點分別為M，N，P，Q，則四邊形MNPQ是________．考點平行公理題點判斷、證明線線平行答案矩形解析如圖所示．∵點M，N，P，Q分別是四條邊的中點，∴MN∥AC，且MN＝eq\f(1,2)AC，PQ∥AC且PQ＝eq\f(1,2)AC，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四邊形MNPQ是平行四邊形．又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四邊形MNPQ是矩形．5．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求A1C1與B1C所成角的大?。?2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大?。键c異面直線所成的角題點求異面直線所成的角解(1)如圖所示，連接AC，AB1.由六面體ABCD－A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形，∴AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成的角為60°.(2)如圖所示，連接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角．∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1與EF所成的角為90°.1．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．2．在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化，這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強調(diào)的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，解題時經(jīng)常結(jié)合這一點去求異面直線所成角的大?。弧⑦x擇題1．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b∥c，則直線a與c()A．一定平行B．一定垂直C．一定是異面直線D．一定相交考點空間中直線與直線的位置關(guān)系題點空間中直線與直線的位置關(guān)系判定答案B解析∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.2．分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是()A．一定平行B．一定相交C．一定異面D．相交或異面考點空間中直線與直線的位置關(guān)系題點空間中直線與直線的位置關(guān)系判定答案D解析可能相交也可能異面，但一定不平行(否則與條件矛盾)．3．兩等角的一組對應(yīng)邊平行，則()A．另一組對應(yīng)邊平行B．另一組對應(yīng)邊不平行C．另一組對應(yīng)邊不可能垂直D．以上都不對考點平行公理題點利用等角定理求角答案D解析另一組對應(yīng)邊可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若兩個角的對應(yīng)邊平行，則這兩個角相等或互補)的區(qū)別．4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1D1D，側(cè)面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點，則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是()A．相交B．異面C．平行D．垂直考點平行公理題點判斷、證明線線平行答案C解析如圖，連接AD1，CD1，AC，則E，F(xiàn)分別為AD1，CD1的中點．由三角形的中位線定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故選C.5．長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有()A．2對B．3對C．6對D．12對考點異面直線的判定題點異面直線的判定答案C解析如圖所示，在長方體中沒有與體對角線平行的棱，要求與長方體體對角線AC1異面的棱所在的直線，只要去掉與AC1相交的六條棱，其余的都與體對角線異面，∴與AC1異面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴長方體的一條對角線與長方體的棱所組成的異面直線有6對，故選C.6．已知直線a，b，c，下列三個命題：①若a與b異面，b與c異面，則a與c異面；②若a∥b，a和c相交，則b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，則b∥c.其中，正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3考點空間中直線與直線的位置關(guān)系題點空間中直線與直線的位置關(guān)系判定的應(yīng)用答案A解析①不正確，如圖；②不正確，有可能相交，也有可能異面；③不正確，可能平行，可能相交，也可能異面．7．已知在空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點，且AC＝4，BD＝6，則()A．1＜MN＜5B．2＜MN＜10C．1≤MN≤5D．2＜MN＜5考點平行公理題點判斷、證明線線平行答案A解析取AD的中點H，連接MH，NH，則MH∥BD，且MH＝eq\f(1,2)BD，NH∥AC，且NH＝eq\f(1,2)AC，且M，N，H三點構(gòu)成三角形，由三角形中三邊關(guān)系，可得MH－NH<MN<MH＋NH，即1<MN<5.8．如圖，點P，Q分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線AD1，BD的中點，則異面直線PQ和BC1所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°考點異面直線所成的角題點求異面直線所成的角答案C解析連接AC，D1C.由P，Q分別為AD1，BD的中點，得PQ∥CD1.又BC1∥AD1，∴∠AD1C為異面直線PQ和BC1所成的角．∵△ACD1為等邊三角形，∴∠AD1C＝60°.即異面直線PQ和BC1所成的角為60°.二、填空題9．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________．(填序號)考點空間中直線與直線的位置關(guān)系題點空間中直線與直線的位置關(guān)系判定答案③④解析直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤；③④正確．10．如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝________.考點異面直線所成的角題點異面直線所成角的應(yīng)用答案5解析取AD的中點P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即為異面直線AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.11．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結(jié)論正確的為________．(填序號)考點空間中直線與直線的位置關(guān)系題點空間中直線與直線的位置關(guān)系判定的應(yīng)用答案①③解析把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體可知，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．三、解答題12．如圖所示，E，F(xiàn)分別是長方體A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中點．求證：四邊形B1EDF是平行四邊形．考點平行公理題點判斷、證明線線平行證明設(shè)Q是DD1的中點，連接EQ，QC1.∵E是AA1的中點，∴EQ∥A1D1且EQ＝A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，∴EQ∥B1C1且EQ＝B1C1.∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，∴B1E∥C1Q且B1E＝C1Q.又∵Q，F(xiàn)是DD1，C1C兩邊的中點，∴QD∥C1F且QD＝C1F，∴四邊形QDFC1為平行四邊形．∴C1Q∥DF且C1Q＝DF，∴B1E∥DF且B1E＝DF，∴四邊形B1EDF為平行四邊形．13．如圖，平面SAB為圓錐的軸截面，O為底面圓的圓心，M為母線SB的中點，N為底面圓周上的一點，AB＝4，SO＝6.(1)求該圓錐的側(cè)面積；(2)若直線SO與MN所成的角為30°，求MN的長．考點異面直線所成的角題點異面直線所成角的應(yīng)用解(1)由題意知SO⊥底面ABN，在Rt△SOB中，OB＝eq\f(1,2)AB＝2，SO＝6，所以SB＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).所以該圓錐