2023年高考最后一輪復(fù)習(xí)微專題22 計數(shù)原理與概率統(tǒng)計壓軸小題（原卷版）

微專題22計數(shù)原理與概率統(tǒng)計壓軸小題【典型例題】例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)實世界中的很多隨機變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測量某一個物理量，其測量誤差通常被認為服從正態(tài)分布.若某物理量做n次測量，最后結(jié)果的誤差，則為使的概率控制在0.0456以下，至少要測量的次數(shù)為（

）A．32 B．64 C．128 D．256例2．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若，則（

）A．244 B．243C．242 D．241例3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）信息熵是信息論中的一個重要概念．設(shè)隨機變量X所有可能的取值為1，2，…，n，且，定義X的信息熵．命題1：若，則隨著n的增大而增大；命題2：若，隨機變量Y所有可能的取值為1，2，…，m，且，則．則以下結(jié)論正確的是（

）A．命題1正確，命題2錯誤 B．命題1錯誤，命題2正確C．兩個命題都錯誤 D．兩個命題都正確例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）足球運動被譽為“世界第一運動”．深受青少年的喜愛．為推廣足球運動，某學(xué)校成立了足球社團，社團中的甲、乙、丙三名成員將進行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機地球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率為，即．則下列說法正確的個數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例5．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），在任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，用五種不同的顏色給圖中的O，A，B，C，D，E六個點涂色（五種顏色不一定用完），要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂法種數(shù)是（

）A．480 B．720 C．1080 D．1200例7．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人．則n次傳球后球在甲手中的概率______．例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）(1)若數(shù)列的通項公式為，則該數(shù)列中的最小項的值為__________．(2)若的展開式中含有常數(shù)項，則n的最小值等于__________．(3)如圖所示的數(shù)陣中，用表示第m行的第n個數(shù)，則以此規(guī)律為__________．(4)的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.已知，且，有下列結(jié)論：①；②；③，時，的面積為；④當(dāng)時，為鈍角三角形．其中正確的是__________填寫所有正確結(jié)論的編號例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，將一個大等邊三角形分成三個全等三角形與中間的一個小等邊三角形，設(shè).若在大等邊三角形內(nèi)任取一點P，則該點取自小等邊三角形內(nèi)的概率為___________.例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)整數(shù)數(shù)列，，…，滿足，，且，，則這樣的數(shù)列的個數(shù)為___________.例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個三位數(shù)“十全十美數(shù)”，如208，136都是“十全十美數(shù)”，現(xiàn)從所有三位數(shù)中任取一個數(shù)，則這個數(shù)恰為“十全十美數(shù)”的概率是____________例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H八個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段上的點顏色不同，則不同的涂色方法有___________種.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·河北·河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測）過正態(tài)分布曲線上非頂點的一點作切線，若切線與曲線僅有一個交點，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）小林同學(xué)喜歡吃4種堅果：核桃?腰果?杏仁?榛子，他有5種顏色的“每日堅果”袋.每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果.小林同學(xué)希望五個袋子中所裝堅果種類各不相同，且每一種堅果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（

）A．20160 B．20220 C．20280 D．203403．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)；②平均數(shù)且極差小于或等于3；③平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的展開式中各項系數(shù)和為4，則的系數(shù)為（

）A．16 B．8 C．0 D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動路線，則從數(shù)字“1”到“7”，漏掉兩個數(shù)字的移動路線條數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．86．（2023·全國·高三專題練習(xí)）由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個數(shù)字“431”保持遞減，后3個數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，且對任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，設(shè)an的值為隨機變量ξn，則（）A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若是從三個數(shù)中任取一個，是從五個數(shù)中任取一個，那么恒成立的概率是（

）A． B． C． D．9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，記隨機變量為x，y，z中的最大值，則（

）A． B．C．5 D．二、多選題11．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認為世界足球運動的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺的中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚中華傳統(tǒng)文化，我市四所高中各自組建了蹴鞠隊（分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”）進行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，則在比賽結(jié)束時（

）A．四支球隊的積分總和可能為15分B．甲隊勝3場且乙隊勝1場的概率為C．可能會出現(xiàn)三支球隊積分相同且和第四支球隊積分不同的情況D．丙隊在輸了第一場的情況下，其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為12．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）甲箱中有4個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有3個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以，和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件B與事件相互獨立 B．C． D．13．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）將1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)隨機地排成一個數(shù)列，記第i項為，則下列說法正確的是（

）A．若，則這樣的數(shù)列共有360個B．若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，則這樣的數(shù)列共有288個C．若該數(shù)列恰好先減后增，則這樣的數(shù)列共有50個D．若，則這樣的數(shù)列共有71個14．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）隨著春節(jié)的臨近，小王和小張等4位同學(xué)準(zhǔn)備互相送祝福.他們每人寫了一個祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機抽取一張作為收到的新春祝福，則（

）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為C．恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為D．每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于伯努利數(shù)，有定義：.則（

）A． B．C． D．16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)校食坣每天中都會提供兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.而前一天選擇了套餐的學(xué)生第二天詵擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復(fù).記某同學(xué)第天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.一個月（30天）后，記甲?乙?丙3位同學(xué)選擇套餐的人數(shù)為，則下列說法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為，a，2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗可得，隨機變量X的分布列為X0a2Pb其中結(jié)論正確的是（

）A．B．若該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為C．D．當(dāng)最小時，18．（2023·山西大同·大同市實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，已知正方體頂點處有一質(zhì)點Q，點Q每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂點移動，且向每個頂點移動的概率相同．從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為移動一次．若質(zhì)點Q的初始位置位于點A處，記點Q移動n次后仍在底面ABCD上的概率為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．點Q移動4次后恰好位于點的概率為0D．點Q移動10次后仍在底面ABCD上的概率為三、填空題19．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）現(xiàn)有n（，）個相同的袋子，里面均裝有n個除顏色外其他無區(qū)別的小球，第k（，2，3，…，n）個袋中有k個紅球，個白球.現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續(xù)取出三個球（每個取后不放回），若第三次取出的球為白球的概率是，則___________.20．（2023秋·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有一款闖關(guān)游戲，共有4關(guān)，規(guī)則如下：在第關(guān)要拋擲骰子次，每次觀察向上面的點數(shù)并做記錄，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于，則算闖過第關(guān)，，2，3，4．假定每次闖關(guān)互不影響，則下列結(jié)論錯誤的序號是______．（1）直接挑戰(zhàn)第2關(guān)并過關(guān)的概率為；（2）連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)并過關(guān)的概率為；（3）若直接挑戰(zhàn)第3關(guān)，設(shè)A＝“三個點數(shù)之和等于15”，B＝“至少出現(xiàn)一個5點”，則；（4）若直接挑戰(zhàn)第4關(guān)，則過關(guān)的概率是．21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)項數(shù)為的數(shù)列滿足：，且對任意，，都有，則這樣的數(shù)列共有_____個.22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以表示沒有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率.給出下列四個結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，；④.其中，所有正確結(jié)論的序號是__________.23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在曲線上及其內(nèi)部隨機取一點，則該點取自圓上及其內(nèi)部的概率為______．24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）