2023年高考最后一輪復(fù)習(xí)微專題22 計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)壓軸小題（原卷版）

微專題22計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)壓軸小題【典型例題】例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做n次測(cè)量，最后結(jié)果的誤差，則為使的概率控制在0.0456以下，至少要測(cè)量的次數(shù)為（

）A．32 B．64 C．128 D．256例2．（2023·上海·高三專題練習(xí)）若，則（

）A．244 B．243C．242 D．241例3．（2023·上海·高三專題練習(xí)）信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念．設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1，2，…，n，且，定義X的信息熵．命題1：若，則隨著n的增大而增大；命題2：若，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1，2，…，m，且，則．則以下結(jié)論正確的是（

）A．命題1正確，命題2錯(cuò)誤 B．命題1錯(cuò)誤，命題2正確C．兩個(gè)命題都錯(cuò)誤 D．兩個(gè)命題都正確例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”．深受青少年的喜愛(ài)．為推廣足球運(yùn)動(dòng)，某學(xué)校成立了足球社團(tuán)，社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開(kāi)始隨機(jī)地球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開(kāi)始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率為，即．則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例5．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒(méi)有重復(fù)數(shù)字），在任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，用五種不同的顏色給圖中的O，A，B，C，D，E六個(gè)點(diǎn)涂色（五種顏色不一定用完），要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂法種數(shù)是（

）A．480 B．720 C．1080 D．1200例7．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人．則n次傳球后球在甲手中的概率______．例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列中的最小項(xiàng)的值為_(kāi)_________．(2)若的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于__________．(3)如圖所示的數(shù)陣中，用表示第m行的第n個(gè)數(shù)，則以此規(guī)律為_(kāi)_________．(4)的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.已知，且，有下列結(jié)論：①；②；③，時(shí)，的面積為；④當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形．其中正確的是__________填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，將一個(gè)大等邊三角形分成三個(gè)全等三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形，設(shè).若在大等邊三角形內(nèi)任取一點(diǎn)P，則該點(diǎn)取自小等邊三角形內(nèi)的概率為_(kāi)__________.例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)整數(shù)數(shù)列，，…，滿足，，且，，則這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個(gè)三位數(shù)“十全十美數(shù)”，如208，136都是“十全十美數(shù)”，現(xiàn)從所有三位數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)恰為“十全十美數(shù)”的概率是____________例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H八個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段上的點(diǎn)顏色不同，則不同的涂色方法有___________種.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）過(guò)正態(tài)分布曲線上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)作切線，若切線與曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）小林同學(xué)喜歡吃4種堅(jiān)果：核桃?腰果?杏仁?榛子，他有5種顏色的“每日?qǐng)?jiān)果”袋.每個(gè)袋子中至少裝1種堅(jiān)果，至多裝4種堅(jiān)果.小林同學(xué)希望五個(gè)袋子中所裝堅(jiān)果種類各不相同，且每一種堅(jiān)果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（

）A．20160 B．20220 C．20280 D．203403．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計(jì)算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)；②平均數(shù)且極差小于或等于3；③平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為4，則的系數(shù)為（

）A．16 B．8 C．0 D．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，一次移動(dòng)是指：從某一格開(kāi)始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動(dòng)路線，則從數(shù)字“1”到“7”，漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線條數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．86．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）由1，2，3，4，5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個(gè)，則其恰好為“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個(gè)數(shù)字“431”保持遞減，后3個(gè)數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（

）A． B． C． D．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，且對(duì)任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，設(shè)an的值為隨機(jī)變量ξn，則（）A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若是從三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么恒成立的概率是（

）A． B． C． D．9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，記隨機(jī)變量為x，y，z中的最大值，則（

）A． B．C．5 D．二、多選題11．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）中國(guó)蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國(guó)際足聯(lián)正式確認(rèn)為世界足球運(yùn)動(dòng)的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺(tái)的中央，訴說(shuō)中國(guó)傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，我市四所高中各自組建了蹴鞠隊(duì)（分別記為“甲隊(duì)”“乙隊(duì)”“丙隊(duì)”“丁隊(duì)”）進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊(duì)都要跟其他各支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽），最后按各隊(duì)的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．若每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)勝、平、負(fù)的概率都為，則在比賽結(jié)束時(shí)（

）A．四支球隊(duì)的積分總和可能為15分B．甲隊(duì)勝3場(chǎng)且乙隊(duì)勝1場(chǎng)的概率為C．可能會(huì)出現(xiàn)三支球隊(duì)積分相同且和第四支球隊(duì)積分不同的情況D．丙隊(duì)在輸了第一場(chǎng)的情況下，其積分仍超過(guò)其余三支球隊(duì)的積分的概率為12．（2023秋·江蘇無(wú)錫·高三統(tǒng)考期末）甲箱中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以，和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件B與事件相互獨(dú)立 B．C． D．13．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）將1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一個(gè)數(shù)列，記第i項(xiàng)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則這樣的數(shù)列共有360個(gè)B．若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，則這樣的數(shù)列共有288個(gè)C．若該數(shù)列恰好先減后增，則這樣的數(shù)列共有50個(gè)D．若，則這樣的數(shù)列共有71個(gè)14．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）隨著春節(jié)的臨近，小王和小張等4位同學(xué)準(zhǔn)備互相送祝福.他們每人寫(xiě)了一個(gè)祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機(jī)抽取一張作為收到的新春祝福，則（

）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫(xiě)的賀卡的條件下，小張抽到小王寫(xiě)的賀卡的概率為C．恰有一個(gè)人抽到自己寫(xiě)的賀卡的概率為D．每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫(xiě)的概率為15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于伯努利數(shù)，有定義：.則（

）A． B．C． D．16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）學(xué)校食坣每天中都會(huì)提供兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.而前一天選擇了套餐的學(xué)生第二天詵擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復(fù).記某同學(xué)第天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.一個(gè)月（30天）后，記甲?乙?丙3位同學(xué)選擇套餐的人數(shù)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知某商場(chǎng)銷售一種商品的單件銷售利潤(rùn)為，a，2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)可得，隨機(jī)變量X的分布列為X0a2Pb其中結(jié)論正確的是（

）A．B．若該商場(chǎng)銷售該商品5件，其中3件銷售利潤(rùn)為0的概率為C．D．當(dāng)最小時(shí)，18．（2023·山西大同·大同市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)Q，點(diǎn)Q每次會(huì)隨機(jī)地沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)，且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同．從一個(gè)頂點(diǎn)沿一條棱移動(dòng)到相鄰頂點(diǎn)稱為移動(dòng)一次．若質(zhì)點(diǎn)Q的初始位置位于點(diǎn)A處，記點(diǎn)Q移動(dòng)n次后仍在底面ABCD上的概率為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．點(diǎn)Q移動(dòng)4次后恰好位于點(diǎn)的概率為0D．點(diǎn)Q移動(dòng)10次后仍在底面ABCD上的概率為三、填空題19．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）現(xiàn)有n（，）個(gè)相同的袋子，里面均裝有n個(gè)除顏色外其他無(wú)區(qū)別的小球，第k（，2，3，…，n）個(gè)袋中有k個(gè)紅球，個(gè)白球.現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個(gè)袋子，并且從中連續(xù)取出三個(gè)球（每個(gè)取后不放回），若第三次取出的球?yàn)榘浊虻母怕适牵瑒t___________.20．（2023秋·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有一款闖關(guān)游戲，共有4關(guān)，規(guī)則如下：在第關(guān)要拋擲骰子次，每次觀察向上面的點(diǎn)數(shù)并做記錄，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算闖過(guò)第關(guān)，，2，3，4．假定每次闖關(guān)互不影響，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的序號(hào)是______．（1）直接挑戰(zhàn)第2關(guān)并過(guò)關(guān)的概率為；（2）連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)并過(guò)關(guān)的概率為；（3）若直接挑戰(zhàn)第3關(guān)，設(shè)A＝“三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和等于15”，B＝“至少出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)”，則；（4）若直接挑戰(zhàn)第4關(guān)，則過(guò)關(guān)的概率是．21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足：，且對(duì)任意，，都有，則這樣的數(shù)列共有_____個(gè).22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以表示沒(méi)有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在曲線上及其內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自圓上及其內(nèi)部的概率為_(kāi)_____．24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）