高三數(shù)學(xué)數(shù)列測(cè)試題及答案

高三數(shù)學(xué)數(shù)列測(cè)試題及答案1.在等差數(shù)列｛an｝中，若a1+a2+a12+a13=24,則a7為（）A.6B.7C.8D.9解析：???a1+a2+a12+a13=4a7=24,,?.a7=6.答案：A2.若等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S33—S22=1,則數(shù)列｛an｝的公差是（）A.12B.1C.2D.3解析：由Sn=na1+n（n—1）2d,得S3=3a1+3d,S2=2a1+d,代入S33—S22=1,得d=2,故選C.答案：C3.已知數(shù)列a1=1,a2=5,an+2=an+1—an（nEN*）,則a2011等于（）A.1B.—4C.4D.5解析：由已知，得a1=1,a2=5,a3=4,a4=—1,a5=—5,a6=—4,a7=1,a8=5,???故｛an｝是以6為周期的數(shù)列，???a2011=a6X335+1=a1=1.答案：A4.設(shè)｛an｝是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5<S6,S6=S7〉S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）1/13A.d<0B.a7=0C.S9〉S5D.S6與S7均為Sn的最大值解析：???S5<S6,?,?a6>0,S6=S7,??.a7=0.又S7>S8,??.a8<0.假設(shè)$9〉$5,則a6+a7+a8+a9>0,即2(a7+a8)>0.Va7=0,a8<0,???a7+a8<0.假設(shè)不成立，故S9<S5.??.C錯(cuò)誤.答案：C.設(shè)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,若S3=3a3,則公比q的值為()A.-12B.12C.1或一12D.-2或12]解析：設(shè)首項(xiàng)為al,公比為q,則當(dāng)q=1時(shí)，S3=3a1=3a3,適合題意.當(dāng)qW1時(shí)，a1(1—q3)1—q=3a1q2,A1-q3=3q2-3q3,即1+q+q2=3q2,2q2—q—1=0,解得q=1(舍去)，或q=-12.綜上，q=1,或q=-12.答案：C.若數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=5252n-2-425n-1,數(shù)列｛an｝的最大項(xiàng)為第x項(xiàng)，最小項(xiàng)為第y項(xiàng)，則x+y等2/13A.3B.4C.5D.6解析：an=5252n—2—425n—1=525n—1—252—45,，n=2時(shí)，an最?。籲=1時(shí)，an最大.止匕時(shí)x=1,y=2,「?x+y=3.答案：A.數(shù)列｛an｝中，a1=15,3an+1=3an—2(n￡N*),則該數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的乘積是負(fù)數(shù)的是()A.a21a22B.a22a23C.a23a24D.a24a25解析：?.,3an+1=3an—2,.\an+1—an=—23,即公差d=—23..\an=a1+(n—1)d=15—23(n—1).令an>0,即15—23(n—1)>0,解得n<23.5.又n￡N*,.??nW23,???a23〉0,而a24<0,，a23a24<0.答案：C.某工廠去年產(chǎn)值為a,計(jì)劃今后5年內(nèi)每年比上年產(chǎn)值增加10%,則從今年起到第5年，這個(gè)廠的總產(chǎn)值為()A.1.14aB.1.15aC.11X(1.15—1)aD.10X(1.16—1)a解析：由已知，得每年產(chǎn)值構(gòu)成等比數(shù)列a1=a,wan=a(1+10%)n—1(Kn<6).3/13???總產(chǎn)值為S6-a1=11X(1.15-1)a.答案：C9.已知正數(shù)組成的等差數(shù)列｛an｝的前20項(xiàng)的和為100,那么a7a14的最大值為()A.25B.50C.100D.不存在解析：由S20=100,得a1+a20=10..?.a7+a14=10.又a7>0,a14>0,?a7a14Wa7+a1422=25.答案：A10.設(shè)數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為m,公比為q(qW0)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的n￡N*,點(diǎn)an,S2nSn()A.在直線mx+qy—q=0上B.在直線qx—my+m=0上C.在直線qx+my—q=0上D.不一定在一條直線上解析：an=mqn—1=x,①S2nSn=m(1—q2n)1—qm(1—qn)1—q=1+qn=y,②由②得4門=丫一1,代入①得x=mq(y—1),即qx—my+m=0.答案：B11.將以2為首項(xiàng)的偶數(shù)數(shù)列，按下列分組：(2),(4,6),(8,10,12),…，第n組有n個(gè)數(shù)，則第n組的首項(xiàng)為()A.n2—nB.n2+n+24/13C.n2+nD.n2-n+2解析：因?yàn)榍皀—1組占用了數(shù)列2,4,6,…的前1+2十3+…十(n-1)=(n-1)n2項(xiàng)，所以第n組的首項(xiàng)為數(shù)列2,4,6,…的第(n—1)n2+1項(xiàng)，等于2+(n-1)n2+1-12=n2—n+2.答案：D12.設(shè)m￡N*,10g2m的整數(shù)部分用F(m)表示，則F(1)+F(2)+-+F(1024)的值是()A.8204B.8192C.9218D.以上都不對(duì)解析：依題意，F(xiàn)(1)=0,F(2)=F(3)=1,有2個(gè)F(4)=F(5)=F(6)=F(7)=2,有22個(gè).F(8)=???=F(15)=3,有23個(gè).F(16)=???=F(31)=4,有24個(gè).…F(512)=-=F(1023)=9,有29個(gè).F(1024)=10,有1個(gè).故F(1)+F(2)H——HF(1024)=0+1X2+2X22+3X23H——+9X29+10.令T=1X2+2X22+3X23+——+9X29,①貝U2T=1X22+2X23+——+8X29+9X210.②5/13①一②，得一T=2+22+23H——H29-9X210=2(1-29)1-2-9X210=210-2-9X210=-8X210—2,AT=8X210+2=8194,m]AF(1)+F(2)H——HF(1024)=8194+10=8204.答案：A第n卷(非選擇共90分).若數(shù)列｛an｝滿足關(guān)系al=2,an+1=3an+2,該數(shù)列的通項(xiàng)公式為.解析：,**an+l=3an+2兩邊力口上1得,an+l+l=3(an+1),???｛an+l｝是以al+l=3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，an+1=33n—1=3n,an=3n—1.答案：an=3n-l.已知公差不為零的等差數(shù)列｛an｝中，M=anan+3,N=an+lan+2,則M與N的大小關(guān)系是.解析：設(shè)｛an｝的公差為d,則dWO.M—N=an(an+3d)—[(an+d)(an+2d)]=an2+3dan-an2-3dan-2d2=-2d2<0,AM<N.答案：M<N.在數(shù)列｛an｝中，al=6,且對(duì)任意大于1的正整數(shù)6/13n,點(diǎn)(an,an-1)在直線x—y=6上，則數(shù)列｛ann3(n+1)｝的前n項(xiàng)和Sn=.解析：?.,點(diǎn)(an,an—1)在直線x—y=6上，.?.an—an—1=6,即數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列..\an=a1+6(n—1)=6+6(n—1)=6n,,\an=6n2..\ann3(n+1)=6n2n3(n+1)=6n(n+1)=61n—1n+1???Sn=61—12+12—13H——H1n—1n+1.=61—1n+1=6nn+1.答案：6nn+1.觀察下表：3445675678910…則第行的各數(shù)之和等于20092.解析：設(shè)第n行的各數(shù)之和等于20092,則此行是一個(gè)首項(xiàng)a1=n,項(xiàng)數(shù)為2n—1,公差為1的等差數(shù)列.故$=門*(2門一1)+(2門一1)(2門一2)2=20092,解得n=1005.7/13答案：1005(10分)已知數(shù)列｛an｝中，a1=12,an+1=12an+1(n￡N*)，令bn=an—2.(1)求證：｛bn｝是等比數(shù)列，并求bn；(2)求通項(xiàng)an并求｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)^.^bn+1bn=an+1—2an—2=12an+1—2an—2=12an—1an—2=12,???｛bn｝是等比數(shù)列.Vb1=a1—2=—32,.\bn=b1qn—1=—32X12n—1=—32n.(2)an=bn+2=—32n+2,Sn=a1+a2H Han=—32+2+—322+2+—323+2H——H—32n+2=—3X12+122H——H12n+2n=—3X12X1—12n1—12+2n=32n+2n—3.(12分)若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=2n.(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列｛bn｝滿足b1=—1,bn+1=bn+(2n—1),且cn=anbnn,求數(shù)列｛cn｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn.解析：(1)由題意Sn=2n,得Sn—1=2n—1(nN2),兩式相減，得an=2n—2n—1=2n—1(nN2).8/13

當(dāng)n=1時(shí)，21—1=1WS1=a1=2..,.an=2(n=1),2n—1(nN2).(2)Vbn+1=bn+(2n—1),??b2—b1=1,b3—b2=3,b4—b3=5,bn—bn-1=2n—3.以上各式相加，得bn—b1=1+3+5H——b(2n—3)=(n—1)(1+2n—3)2=(n—1)2./b1=—1,Abn=n2—2n,.,.cn=—2(n=1),(n—2)X2n—1(nN2),—1,??Tn=—2+0X21+1X22+2X23H——b(n—2)X2n—1,A2Tn=—4+0X22+1X23+2X24H——b(n—2)X2n.A—Tn=2+22+23H——b2n—1—(n—2)X2n=2(1—2n—1)1—2—(n—2)X2n=2n—2—(n—2)X2n=—2—(n—3)X2n.ATn=2+(n—3)X2n.9.(12分)已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,公差9/13dW0,且S3+S5=50,al,a4,a13成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(2)若從數(shù)列｛an｝中依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，…，第2n項(xiàng)，…，按原來順序組成一個(gè)新數(shù)列｛bn｝,記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn的表達(dá)式.解析：(1)依題意，得3a1+3X22d+5a1+5X42d=50,(a1+3d)2=a1(a1+12d),解得a1=3,d=2..\an=a1+(n—1)d=3+2(n—1)=2n+1,即an=2n+1.(2)由已知，得bn=a2n=2X2n+1=2n+1+1,.\Tn=b1+b2H Hbn=(22+1)+(23+1)H——b(2n+1+1)=4(1—2n)1—2+n=2n+2—4+n.(12分)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且ban—2n=(b—1)Sn.(1)證明：當(dāng)b=2時(shí)，｛an—n2n—1｝是等比數(shù)列；(2)求通項(xiàng)an.新課標(biāo)第一網(wǎng)解析：由題意知，a1=2,且ban—2n=(b—1)Sn,ban+1—2n+1=(b—1)Sn+1,兩式相減，得b(an+1—an)—2n=(b—1)an+1,即an+1=ban+2n.①10/13(1)當(dāng)b=2時(shí)，由①知，an+1=2an+2n.于是an+1—(n+1)2n=2an+2n—(n+1)2n=2an—n2n—1.又a1—120=1W0,???{an—n2n—1}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.(2)當(dāng)b=2時(shí)，由(1)知，an—n2n—1=2n—1,即an=(n+1)2n—1當(dāng)bW2時(shí)，由①得an+1—12—b2n+1=ban+2n—12—b2n+1=ban—b2—b2n=ban-12—b2n,因此an+1—12—b2n+1=ban—12—b2n=2(1—b)2—bbn.得an=2,n=1,12—b[2n+(2—2b)bn—1],nN2.21.(12分)某地在抗洪搶險(xiǎn)中接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后又一個(gè)超最高水位的洪峰到達(dá)，為保證萬(wàn)無一失，抗洪指揮部決定在24小時(shí)內(nèi)另筑起一道堤作為第二道防線.經(jīng)計(jì)算，如果有20輛大型翻斗車同時(shí)作業(yè)25小時(shí)，可以筑起第二道防線，但是除了現(xiàn)有的一輛車可以立即投入作業(yè)外，其余車輛需從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘就有一輛車到達(dá)并投入.問指揮部至少還需組織多少輛車這樣陸續(xù)，才能保證24小時(shí)內(nèi)完成第二道防線，請(qǐng)說明理由.11/13解析：設(shè)從現(xiàn)有這輛車投入工作算起，各車的工作時(shí)間依次組成數(shù)列｛an｝，則an—an—1=-13.所以各車的工作時(shí)間構(gòu)成首項(xiàng)為24,公差為一13的等差數(shù)列，由題知，24小時(shí)內(nèi)最多可抽調(diào)72輛車.設(shè)還需組織(n—1)輛車，則a1+a2H——Ha