邏輯代數(shù)卡諾圖

邏輯代數(shù)卡諾圖第1頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二邏輯函數(shù)的表示方法

1．真值表——將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應(yīng)的函數(shù)值排列在一起而組成的表格。

2．函數(shù)表達(dá)式——由邏輯變量和“與”、“或”、“非”三種運(yùn)算符所構(gòu)成的表達(dá)式。

由真值表可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)表達(dá)式。例如，由“三人表決”函數(shù)的真值表可寫(xiě)出邏輯表達(dá)式：解：該函數(shù)有兩個(gè)變量，有4種取值的可能組合，將他們按順序排列起來(lái)即得真值表。

反之，由函數(shù)表達(dá)式也可以轉(zhuǎn)換成真值表。例1.2

列出下列函數(shù)的真值表：真值表00011011AB1001

L第2頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

3．邏輯圖——由邏輯符號(hào)及它們之間的連線而構(gòu)成的圖形。例1.4

寫(xiě)出如圖所示邏輯圖的函數(shù)表達(dá)式。由函數(shù)表達(dá)式可以畫(huà)出邏輯圖。解：可用兩個(gè)非門(mén)、兩個(gè)與門(mén)和一個(gè)或門(mén)組成。由邏輯圖也可以寫(xiě)出表達(dá)式。解：例1.3、畫(huà)出下列函數(shù)的邏輯圖：

第3頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.1.1邏輯代數(shù)的定律和運(yùn)算規(guī)則一、邏輯代數(shù)的基本公式第4頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.1.2邏輯代數(shù)的基本規(guī)則1.代入規(guī)則

對(duì)于任何一個(gè)邏輯等式，以某個(gè)邏輯變量或邏輯函數(shù)同時(shí)取代等式兩端任何一個(gè)邏輯變量后，等式依然成立。

例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：第5頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

2.反演規(guī)則將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行下列變換：

·→＋，＋→·

；

0→1，1→0；

原變量→反變量，反變量→原變量。

所得新函數(shù)表達(dá)式叫做L的反函數(shù)，用L表示。

利用反演規(guī)則，可以非常方便地求得一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。第6頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3.對(duì)偶規(guī)則

將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行下列變換：

·→＋，＋→·

0→1，1→0

所得新函數(shù)表達(dá)式叫做L的對(duì)偶式，用L`表示。對(duì)偶規(guī)則的基本內(nèi)容是：如果兩個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)相等，它們的對(duì)偶式也一定相等?；竟街械墓絣和公式2就互為對(duì)偶式。

第7頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例2.3求以下函數(shù)的反函數(shù)：解：第8頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二在應(yīng)用反演規(guī)則求反函數(shù)時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：（1）保持運(yùn)算的優(yōu)先順序不變，必要時(shí)加括號(hào)表明。（2）變換中，幾個(gè)變量（一個(gè)以上）的公共非號(hào)保持不變。第9頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.1.3邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法一、邏輯函數(shù)式的常見(jiàn)形式

一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互相轉(zhuǎn)換。例如：第10頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二其中，與—或表達(dá)式是邏輯函數(shù)的最基本表達(dá)形式。第11頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)“與—或表達(dá)式”的標(biāo)準(zhǔn)（1）與項(xiàng)最少，即表達(dá)式中“+”號(hào)最少。（2）每個(gè)與項(xiàng)中的變量數(shù)最少，即表達(dá)式中“·”號(hào)最少。第12頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三、用代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)1、并項(xiàng)法。運(yùn)用公式，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)變量。2、吸收法。運(yùn)用吸收律A+AB=A，消去多余的與項(xiàng)。如（3）消去法。（4）配項(xiàng)法。第13頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，要靈活運(yùn)用上述方法，才能將邏輯函數(shù)化為最簡(jiǎn)。

第14頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

）

一、最小項(xiàng)的定義與性質(zhì)第15頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式

任何一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項(xiàng)之和，稱(chēng)為最小項(xiàng)表達(dá)式。

例4.1：將以下邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式：解：=m7+m6+m3+m1第16頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例4.2將下列邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式：解：=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）第17頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三、卡諾圖1．相鄰最小項(xiàng)

如果兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量互為反變量，其余變量均相同，則稱(chēng)這兩個(gè)最小項(xiàng)為邏輯相鄰，簡(jiǎn)稱(chēng)相鄰項(xiàng)。

例如，最小項(xiàng)ABC和就是相鄰最小項(xiàng)。如果兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)出現(xiàn)在同一個(gè)邏輯函數(shù)中，可以合并為一項(xiàng)，同時(shí)消去互為反變量的那個(gè)量。如第18頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.卡諾圖最小項(xiàng)的定義：

n個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，包含全部變量的乘積項(xiàng)稱(chēng)為最小項(xiàng)。n變量邏輯函數(shù)的全部最小項(xiàng)共有2n個(gè)。用小方格來(lái)表示最小項(xiàng)，一個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，然后將這些最小項(xiàng)按照相鄰性排列起來(lái)。即用小方格幾何位置上的相鄰性來(lái)表示最小項(xiàng)邏輯上的相鄰性。第19頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3．卡諾圖的結(jié)構(gòu)（1）二變量卡諾圖第20頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）三變量卡諾圖第21頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（3）四變量卡諾圖第22頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，卡諾圖具有很強(qiáng)的相鄰性：（1）直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項(xiàng)在邏輯上一定是相鄰的。（2）對(duì)邊相鄰性，即與中心軸對(duì)稱(chēng)的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。第23頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.2.3用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1．從真值表到卡諾圖2．從邏輯表達(dá)式到卡諾圖（1）如果表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，則可直接填入卡諾圖。

（2）如表達(dá)式不是最小項(xiàng)表達(dá)式，但是“與—或表達(dá)式”，可將其先化成最小項(xiàng)表達(dá)式，再填入卡諾圖。也可直接填入。第24頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.2.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法1．卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的原理:（1）2個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去1個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)。（2）4個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去2個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)。（3）8個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去3個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)。

注：即合并消去n個(gè)變量，要2n個(gè)相鄰最小項(xiàng)第25頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第26頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二總之，2n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去n個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)。

2．用卡諾圖合并最小項(xiàng)的原則（畫(huà)圈的原則）

（1）盡量畫(huà)大圈，但每個(gè)圈內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3……）個(gè)相鄰項(xiàng)。要特別注意對(duì)邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個(gè)數(shù)盡量少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過(guò)，即不能漏下取值為1的最小項(xiàng)。（4）在新畫(huà)的包圍圈中至少要含有1個(gè)未被圈過(guò)的為1的方格，否則該包圍圈是多余的。第27頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3．用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟：（1）畫(huà)出邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小項(xiàng)，即根據(jù)前述原則畫(huà)圈。（3）寫(xiě)出化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。每一個(gè)圈寫(xiě)一個(gè)最簡(jiǎn)與項(xiàng)，規(guī)則是，取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得最簡(jiǎn)與—或表達(dá)式第28頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：

L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）

解：（1）由表達(dá)式畫(huà)出卡諾圖。

（2）畫(huà)包圍圈，合并最小項(xiàng)，

得簡(jiǎn)化的與—或表達(dá)式:第29頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例4.8某邏輯函數(shù)的真值表如表3所示，用卡諾圖化簡(jiǎn)該邏輯函數(shù)。解：（1）由真值表畫(huà)出卡諾圖。（2）畫(huà)包圍圈合并最小項(xiàng)。有兩種畫(huà)圈的方法：（a）：寫(xiě)出表達(dá)式：（b）：寫(xiě)出表達(dá)式：第30頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二通過(guò)這個(gè)例子可以看出，一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡(jiǎn)結(jié)果有時(shí)不是唯一的。

第31頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4．卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的另一種方法——圈0法例4.9已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如圖所示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫(xiě)出其最簡(jiǎn)與—或式。解：（1）用圈1法畫(huà)包圍圈，得：第32頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）用圈0法畫(huà)包圍圈，得：

第33頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二5.具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)1．無(wú)關(guān)項(xiàng)——在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會(huì)出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱(chēng)為無(wú)關(guān)項(xiàng)、任意項(xiàng)或約束項(xiàng)。帶有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式為：L=∑m（）+∑d（）化簡(jiǎn)具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)時(shí)，要充分利用無(wú)關(guān)項(xiàng)可以當(dāng)0也可以當(dāng)1的特點(diǎn)，盡量擴(kuò)大卡諾圈，使邏輯函數(shù)更簡(jiǎn)。第34頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例10：不考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)時(shí)，表達(dá)式為：考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)時(shí)，表達(dá)式為:第35頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期二注意:在考慮無(wú)關(guān)項(xiàng)時(shí)，哪些無(wú)關(guān)項(xiàng)當(dāng)作1