4第四講 概率與統(tǒng)計(jì) 理科 答案

第5頁(yè)（共12頁(yè)）第四講概率與統(tǒng)計(jì)(理)參考答案第一節(jié)計(jì)數(shù)原理變式與引申1：（1）四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有種.（2）首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書，然后分給4個(gè)人.第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有種方法；第二步：再把4本書分給4個(gè)學(xué)生，有種方法.由乘法原理，共有種方法，故選B.變式與引申2：（1）分兩步先將五名老師分成2，2，1三組，共有種；而后，對(duì)三組老師安排三所學(xué)校，即進(jìn)行全排列，有A33種依乘法原理，共有N==90(種)（2）將兩個(gè)新節(jié)目插入5個(gè)固定順序節(jié)目單有兩種情況：①兩個(gè)新節(jié)目相鄰的插法種數(shù)為；②兩個(gè)節(jié)目不相鄰的插法種數(shù)為；由分類計(jì)數(shù)原理共有種方法，故選A.（3）解析：由所有1～6這6個(gè)數(shù)組成的五位數(shù)有個(gè)，去掉1～6這6個(gè)數(shù)組成可被5整除的五位數(shù)個(gè).因此，所求的五位數(shù)共有－=720－120=600個(gè).變式與引申3：（1）解：依題意：，為3和2的倍數(shù)，即為6的倍數(shù)，又，，，構(gòu)成首項(xiàng)為0，公差為6，末項(xiàng)為96的等差數(shù)列，由得，故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有17項(xiàng)

（2）由得的系數(shù)為240．（3）設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則有，即又，故系數(shù)最大項(xiàng)為.變式與引申4：（1）解：在中令得（2）7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1·7=(7+1)n－1=8n－1=(9-1)n－1=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9+(－1)nCnn-1(i)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+（－1）n-1Cnn-1·9－2∴除以9所得余數(shù)為7.(ii)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9∴除以9所得余數(shù)為0，即被9整除.習(xí)題4—11.解析:由題意容易發(fā)現(xiàn),則,同理可以得出,亦即前2008項(xiàng)和為0,則原式==故選C.2.解析：當(dāng)使用五種顏色時(shí)，由題意知有種染色方法；當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由題意知有種染色方法，當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)：從5種顏色中選取3種有種方法，先著色S，有3種方法，剩下2種顏色涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第A、C區(qū)域，另一種顏色涂第B、D區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有種.綜上共有：420種.3.解析：一些復(fù)雜的分類選取題,要滿足的條件比較多,無(wú)從入手,經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況,用表格法,則分類明確,能保證題中須滿足的條件,能達(dá)到好的效果紅紅111223黃123121蘭321211取法4.解法一(間接法)任取三張卡片可以組成不同三位數(shù)C·23·A(個(gè))，其中0在百位的有C·22·A(個(gè))，不合題意的，故共有不同三位數(shù)C·23·A－C·22·A=432(個(gè)）解法二(直接法)第一類0與1卡片放首位，可以組成不同三位數(shù)有(個(gè));第二類0與1卡片不放首位，可以組成不同三位數(shù)有(個(gè)).故共有不同三位數(shù)48+384＝432(個(gè)）5.解析：(1)由已知Cm1＋2Cn1＝11，∴m＋2n＝11，x2的系數(shù)為Cm2＋22Cn2＝eq\f(m(m－1),2)＋2n(n－1)＝eq\f(m2－m,2)＋(11－m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11－m,2)－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(21,4)))2＋eq\f(351,16).∵m∈N＋，∴m＝5時(shí)，x2的系數(shù)取最小值22， 此時(shí)n＝3.(2)由(1)知，當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí)，m＝5，n＝3，∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.設(shè)這時(shí)f(x)的展開(kāi)式為f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，兩式相減得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展開(kāi)式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為30.第二節(jié)概率變式與引申1：（１）（２）變式與引申2：（１）（２）變式與引申3：解析：易見(jiàn)是兩兩互斥的事件，而．答案：②④因此隨機(jī)變量的分布列為123P所以．第三節(jié)統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例變式與引申1：解：（Ⅰ）這三種抽取方式的總體都是指該校高三全體學(xué)生本年度的考試成績(jī)，個(gè)體都是指高三年級(jí)每個(gè)學(xué)生本年度的考試成績(jī).其中第一種抽取方式的樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的考試成績(jī)，樣本容量為20；第二種抽取方式的樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的考試成績(jī)，樣本容量為20；第三種抽取方式的樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的考試成績(jī)，樣本容量為100.（Ⅱ）三種抽取方式中，第一種采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法；第二種采用的是系統(tǒng)抽樣法和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法；第三種采用的是分層抽樣法和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法.（Ⅲ）第一種方式抽樣的步驟如下：第一步，首先用抽簽法在這20個(gè)班中任意抽取一個(gè)班.第二步，然后從這個(gè)班中按學(xué)號(hào)用隨機(jī)數(shù)表法或抽簽法抽取20名學(xué)生，考察其考試成績(jī).第二種方式抽樣的步驟如下：第一步，首先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法從第一個(gè)班中任意抽取一名學(xué)生，記其學(xué)號(hào)為a.第二步，在其余的19個(gè)班中，選取學(xué)號(hào)為a的學(xué)生，加上第一個(gè)班中的一名學(xué)生，共計(jì)20人.第三種方式抽樣的步驟如下：第一步，分層，因?yàn)槿舭闯煽?jī)分，其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取樣本時(shí)，應(yīng)該把全體學(xué)生分成三個(gè)層次.第二步，確定各個(gè)層次抽取的人數(shù).因?yàn)闃颖救萘颗c總體的個(gè)體數(shù)之比為：100∶1000=1∶10，所以在每個(gè)層次中抽取的個(gè)體數(shù)依次為，，，即15，60，25.第三步，按層次分別抽取.在優(yōu)秀生中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法抽取15人；在良好生中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法抽取60人；在普通生中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法抽取25人變式與引申2：【答案】樣本容量為6解：總體容量為6+12+18=36.當(dāng)樣本容量是n時(shí)，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為，分層抽樣的比例是,抽取工程師（人），抽取技術(shù)人員×12=(人），抽取技工×18=（人）.所以n應(yīng)是6的倍數(shù)，36的約數(shù)即n=6,12,18,36.當(dāng)樣本容量為（n+1）時(shí)，在總體中剔除1人后還剩35人，系統(tǒng)抽樣的間隔為，因?yàn)楸仨毷钦麛?shù)，所以n只能取6，即樣本容量為6.變式與引申3：答案D提示：由莖葉圖可知甲，乙的數(shù)據(jù)特征.變式與引申4：解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均為，且事件“甲工人被抽到”與事件“乙工人被抽到”相互獨(dú)立，故甲、乙兩工人都被抽到的概率為.（Ⅱ）（i）由題意知A類工人中應(yīng)抽查25名，B類工人中應(yīng)抽查75名.故，得，，得.頻率分布直方圖如下從直方圖可以判斷：B類工人中個(gè)體間的關(guān)異程度更小.（ii），，A類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的會(huì)計(jì)值分別為123，133.8和131.1.變式與引申5：C由于6．635<K2<10.828，所以有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”有差異”。變式與引申6：（1）解：（Ⅰ）數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示：（Ⅱ），，設(shè)所求回歸直線方程為，則故所求回歸直線方程為（Ⅲ）據(jù)（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，銷售價(jià)格的估計(jì)值為：（萬(wàn)元）習(xí)題4-31.25人.解：每個(gè)個(gè)體被抽入樣的概率均為，在內(nèi)的頻率為0.0005×（3000－2500）＝0.25，頻數(shù)為10000×0.25＝2500人，則該范圍內(nèi)應(yīng)當(dāng)抽取的人數(shù)為2500×＝25人.2.③④解：①正確．由回歸方程的定義及最小二乘法思想，知②正確．③④不正確．3.解：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故第四組的頻率：補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖（略）（2）依題意，60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為所以，抽樣學(xué)生成績(jī)的合格率是%（3），，”的人數(shù)是18,15,3．所以從成績(jī)是70分以上（包括70分）的學(xué)生中選兩人，他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率．4.解:（1）依題列表如下：1234523456.57.04.411.422.032.542.0……4分．回歸直線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元．即估計(jì)用10年時(shí),維修費(fèi)約為12.38萬(wàn)元．5.解：（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為（2）。由于9.967>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)。(III)由(II)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好．第四節(jié)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用變式與引申1：解：（1）由數(shù)字1，2，3，4組成的五位數(shù)共有個(gè)數(shù)滿足條件：“對(duì)任意的正整數(shù)，至少存在另一個(gè)正整數(shù)，使得”的五位數(shù)可分為兩類：（i）只由一個(gè)數(shù)字組成，共有4個(gè)；（ii）由兩個(gè)數(shù)字組成，共有個(gè)由（i）、（ii）知共有124個(gè)，所求概率．（2）由題意可能的取值為2、3、4、5=的分布列為：2345P=．變式與引申2：解：（1）當(dāng)時(shí)，甲勝的概率為 故甲的得分的分布列為20P 故 （2）當(dāng)，不合題意；當(dāng)n=3時(shí)，乙勝的概率為，不合題意； 當(dāng) 故，解得變式與引申3：解：(1)由題意可得L1=(q＞0)．同理可得(q＞0)；(q＞0)(2)解:由期望定義可知(3)解:由(Ⅱ)可知是產(chǎn)量q的函數(shù),設(shè)得0解得(舍去)．由題意及問(wèn)題的實(shí)際意義(或當(dāng)0＜q＜10時(shí),＞0;當(dāng)q＞10時(shí),可知,當(dāng)q=10時(shí),f(q)取得最大值,即最大時(shí)的產(chǎn)量q為10．變式與引申4：解：（1）3秒后，質(zhì)點(diǎn)到處，必須經(jīng)過(guò)兩次向右，一次向左移動(dòng)；（2）2秒后，質(zhì)點(diǎn)同時(shí)在點(diǎn)處，必須質(zhì)點(diǎn)兩次向右，且質(zhì)點(diǎn)一次向左，一次向右；故（3）設(shè)第秒后，質(zhì)點(diǎn)在處的概率為，質(zhì)點(diǎn)在處的概率為依題意知：，由得所以｛｝是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。所以，；所以8秒后質(zhì)點(diǎn)在處的概率為。習(xí)題4—41.解：（Ⅰ）第二組的頻率為，所以高為．頻率直方圖如下：第一組的人數(shù)為，頻率為，所以．由題可知，第二組的頻率為0．3，所以第二組的人數(shù)為，所以．第四組的頻率為，所以第四組的人數(shù)為，所以．（Ⅱ）因?yàn)闅q年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比值為，所以采用分層抽樣法抽取18人，歲中有12人，歲中有6人．隨機(jī)變量服從超幾何分布．，，，．所以隨機(jī)變量的分布列為0123∴數(shù)學(xué)期望．2、解:(1)、可能的取值為、、，，，，且當(dāng)或時(shí)，．因此，隨機(jī)變量的最大值為有放回抽兩張卡片的所有情況有種，(2)的所有取值為．時(shí)，只有這一種情況．時(shí)，有或或或四種情況，時(shí)，有或兩種情況．，，則隨機(jī)變量的分布列為：因此，數(shù)學(xué)期望3、解：(1)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的概率為；點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的事件由兩個(gè)互斥事件組成：①A=“點(diǎn)先按向量到達(dá)點(diǎn)，再按向量到達(dá)點(diǎn)”，此時(shí)；②B=“點(diǎn)先按向量移動(dòng)直接到達(dá)點(diǎn)”，此時(shí)．(2)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的事件由兩個(gè)互斥事件組成：①“從點(diǎn)按向量移動(dòng)到達(dá)點(diǎn)”，此時(shí)；②“從點(diǎn)按向量移動(dòng)到達(dá)點(diǎn)”，此時(shí)．，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．(3)由(Ⅱ)可知4、解：（1）一次摸獎(jiǎng)從個(gè)球中任選兩個(gè)，有種，它們等可能，其中兩球不同色有種，………2分一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率．………4分（2）若，一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率,………6分三次摸獎(jiǎng)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率是．………8分（3）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為，則三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為，，……10分，知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得最大值．又,解得．…………12分答：當(dāng)時(shí)，三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大．【方法探究】本題是一個(gè)在等可能性事件基礎(chǔ)上的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題，體現(xiàn)了不同概型的綜合．第Ⅲ小題中的函數(shù)是三次函數(shù)，運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的最值．如果學(xué)生直接用代替，函數(shù)將比較煩瑣，這時(shí)需要運(yùn)用換元的方法，將看成一個(gè)整體，再求最值．5、分析:在(1)中的取值是有限可數(shù)的,可用列舉法解決;(2)中的取值是無(wú)窮的,得用幾何概型的方法求解．解:(1)若能構(gòu)成三角形,則．=1\*GB3①若時(shí),．共1種;=2\*GB3②若時(shí),．共2種;同理時(shí),有3+1=4種;時(shí),有4+2=6種;時(shí),有5+3+1=9種;時(shí),有6+4+2=1