中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)課件

數(shù)學(xué)史校級(jí)公選課程1第三講中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)中世紀(jì)數(shù)學(xué)的主角，是中國(guó)、印度和阿拉伯地區(qū)的數(shù)學(xué)。與希臘數(shù)學(xué)相比，中世紀(jì)的東方數(shù)學(xué)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的算法精神，特別是中國(guó)與印度數(shù)學(xué)，著重算法的概括，不講究命題的形式推導(dǎo)。所謂“算法”，不只是單純的計(jì)算，而是為了解決一整類實(shí)際或科學(xué)問(wèn)題而概括出來(lái)的、帶一般性的計(jì)算方法。2007年9月2中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)第三講中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)本講介紹中國(guó)古代數(shù)學(xué)史。就繁榮時(shí)期而言，中國(guó)數(shù)學(xué)在上述三個(gè)地區(qū)中是延續(xù)最長(zhǎng)的。從公元前后至公元14世紀(jì)，先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時(shí)期、魏晉南北朝時(shí)期以及宋元時(shí)期，其中宋元時(shí)期達(dá)到了中國(guó)古典數(shù)學(xué)的頂峰。2007年9月3中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》古代背景古代《世本》中提到黃帝使“隸首作算術(shù)”，但這只是傳說(shuō)。無(wú)論如何，殷商甲骨文中已經(jīng)使用完整的十進(jìn)制記數(shù)。至遲到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，又開始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位值制籌算記數(shù)。關(guān)于幾何學(xué)，《史記》“夏本紀(jì)”記載說(shuō)：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”。從戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的著作《考工記》中也可以看到與手工業(yè)制作有關(guān)的實(shí)用幾何知識(shí)。戰(zhàn)國(guó)諸子百家，與希臘雅典學(xué)派時(shí)代相當(dāng)。其中的“墨家”與“名家”，其著作包含有理論數(shù)學(xué)的萌芽。2007年9月5中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》古代背景《墨經(jīng)》（約公元前4世紀(jì)）提出了一系列數(shù)學(xué)邏輯的抽象定義：點(diǎn)：“端，體之無(wú)厚而最前者也”；直線：“直，參也”；圓：“圜，一中同長(zhǎng)也”；正方形：“方，柱隅四佑也”；平行：“平，同高也”；體積：“厚，有所大也”。2007年9月6中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》古代背景《莊子》中記載名家辯論哲學(xué)的名辯，也可以從數(shù)學(xué)的意義上去理解：矩不方，規(guī)不可以為圓；飛鳥之影未嘗動(dòng)也；一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭2007年9月7中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》在現(xiàn)存的中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中，《周髀算經(jīng)》是最早的一部?！吨荀滤憬?jīng)》作者不祥，成書年代據(jù)考應(yīng)不晚于公元前2世紀(jì)西漢時(shí)期。這部著作實(shí)際上是從數(shù)學(xué)上討論“蓋天說(shuō)”宇宙模型，反映了中國(guó)古代數(shù)學(xué)與天文學(xué)的密切聯(lián)系。從數(shù)學(xué)看，《周髀算經(jīng)》主要的成就是分?jǐn)?shù)運(yùn)算、勾股定理及其在天文測(cè)量中的應(yīng)用，其中關(guān)于勾股定理的論述最為突出。2007年9月8中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》中國(guó)數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家，是公元3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽。趙爽注《周髀算經(jīng)》，作“勾股圓方圖”，其中的“弦圖”，相當(dāng)于運(yùn)用面積的出入相補(bǔ)證明了勾股定理。2007年9月10中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》是中國(guó)古典數(shù)學(xué)最重要的著作。是從先秦至西漢中葉的長(zhǎng)時(shí)期里眾多學(xué)者編纂、修改而成的一部數(shù)學(xué)著作。采用問(wèn)題集的形式，全書246個(gè)問(wèn)題，分成九章，依次為：方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。2007年9月11中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》1、算術(shù)方面⑴分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則。“方田”章給出了完整的分?jǐn)?shù)加、減、乘、除以及約分和通分運(yùn)算法則。⑵比例算法。提出“今有術(shù)”作為解決各類比例問(wèn)題的基本算法。設(shè)從比例關(guān)系求x。⑶盈不足術(shù)?！坝蛔恪毙g(shù)是以盈虧類問(wèn)題為原型，通過(guò)兩次假設(shè)來(lái)求繁難算術(shù)問(wèn)題的解的方法。《九章算術(shù)》中典型的盈虧類問(wèn)題如：“今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”“盈不足術(shù)”在中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作中稱為“契丹算法”，即中國(guó)算法。13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契《算經(jīng)》一書也有一章講“契丹算法?！?007年9月13中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》2、代數(shù)方面《九章算術(shù)》在代數(shù)方面的成就是具有世界意義的。⑴方程術(shù)?！敖裼猩虾倘泻潭?，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”2007年9月14中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》⑵正負(fù)術(shù)?！毒耪滤阈g(shù)》在代數(shù)方面的另一項(xiàng)突出貢獻(xiàn)是負(fù)數(shù)的引進(jìn)?！巴喑?，異名相異，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之。其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之?！薄巴薄ⅰ爱惷奔赐?hào)、異號(hào)；“相益”、“相除”指兩數(shù)絕對(duì)值相加、相減。⑶開方術(shù)?！吧?gòu)V”章有“開方術(shù)”和“開立方術(shù)”，給出了開平方和開立方的算法。2007年9月15中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》與歐幾里得《原本》中將代數(shù)問(wèn)題幾何化的做法相反，《九章算術(shù)》將幾何問(wèn)題算術(shù)化和代數(shù)化?！毒耪滤阈g(shù)》對(duì)于它所給出的幾何問(wèn)題的算法，一律沒(méi)有推導(dǎo)證明，可以說(shuō)《九章算術(shù)》中的幾何部分主要是實(shí)用幾何。2007年9月17中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.2從劉徽到祖沖之從公元220年?yáng)|漢分裂，到581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國(guó)歷史上的動(dòng)蕩時(shí)期，但同時(shí)也是思想相對(duì)活躍的時(shí)期。在長(zhǎng)期獨(dú)尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辯之風(fēng)再起。在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢(shì)，許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是要尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。2007年9月18中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.2從劉徽到祖沖之劉徽的數(shù)學(xué)成就《隋書》“律歷志”中提到“魏陳留王景元四年劉徽注九章”，由此知道劉徽是公元3世紀(jì)魏晉時(shí)人，并于公元263年（景元四年）撰《九章算術(shù)注》。劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”和體積理論。2007年9月19中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.2從劉徽到祖沖之劉徽從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，并取半徑r為1尺，一直計(jì)算到192邊形，得出了圓周率的精確到小數(shù)后二位的近似值：化成分?jǐn)?shù)為157/50，這就是有名的“徽率”。劉徽是中算史上第一位建立可靠的理論來(lái)推算圓周率的數(shù)學(xué)家。2007年9月21中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.2從劉徽到祖沖之劉徽的數(shù)學(xué)成就2、體積理論劉徽傾力于面積與體積公式的推證，并取得了超越時(shí)代的漂亮結(jié)果。其面積、體積理論建立在一條簡(jiǎn)單而又基本的原理之上，這就是他所謂的“出入相補(bǔ)”原理：一個(gè)幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變。他在推證《九章算術(shù)》中的一些立體體積公式時(shí)，靈活地使用了兩種無(wú)限小方法：極限方法與不可分量方法。如“陽(yáng)馬”體積公式與球體積公式。劉徽在《九章算術(shù)》“勾股”章之后所加的一整篇文字，作為《九章算術(shù)注》第十卷，后來(lái)單獨(dú)刊行，稱為《海島算經(jīng)》。2007年9月22中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.2從劉徽到祖沖之祖沖之與祖暅劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時(shí)期（公元420－589）被祖沖之和他的兒子祖暅推進(jìn)和發(fā)展了。祖沖之（公元429－500）活躍于南朝宋、齊兩代，出生于歷法世家，本人做過(guò)南徐州（今鎮(zhèn)江）從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。祖沖之在公元462年創(chuàng)制了一部歷法《大明歷》，在當(dāng)時(shí)是最先進(jìn)的歷法?！赌淆R書·祖沖之傳》“注九章，造綴術(shù)數(shù)十篇”，但《綴術(shù)》也未能流傳下來(lái)。2007年9月23中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.2從劉徽到祖沖之祖沖之與祖暅1、圓周率《隋書·律歷志》說(shuō)：“祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈肭二限之間”。即按劉徽割圓術(shù)從正六邊形出發(fā)連續(xù)計(jì)算到正24576邊形時(shí)，恰好可以得到祖沖之的結(jié)果。2007年9月25中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.2從劉徽到祖沖之祖沖之與祖暅《隋書·律歷志》還記載了祖沖之在圓周率計(jì)算方面的另一項(xiàng)重要結(jié)果：“密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五；約率：圓徑七，圓周二十二”。在現(xiàn)代數(shù)論中，如果將圓周率表示成連分?jǐn)?shù)，其漸進(jìn)分?jǐn)?shù)是：2007年9月26中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.2從劉徽到祖沖之《算經(jīng)十書》唐高宗親自下令對(duì)以前的十部數(shù)學(xué)著作進(jìn)行注疏整理。受詔負(fù)責(zé)這項(xiàng)工作的是李淳風(fēng)，公元656年編成以后，成為國(guó)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書，稱“十部算經(jīng)”或“算經(jīng)十書”?！吨荀滤憬?jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算經(jīng)》、《綴術(shù)》、《輯古算經(jīng)》2007年9月29中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.2從劉徽到祖沖之《算經(jīng)十書》《張邱建算經(jīng)》和“百雞問(wèn)題”《張邱建算經(jīng)》三卷，據(jù)考大約成書于公元466－485年間，卷下最后一題通常稱“百雞問(wèn)題”：“今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢買雞百只。問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”2007年9月30中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.3宋元數(shù)學(xué)“宋元四大家”：楊輝、秦九昭、李冶、朱士杰楊輝2007年9月31中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.3宋元數(shù)學(xué)從“賈憲三角”到“正負(fù)開方”術(shù)宋元數(shù)學(xué)最突出的成就之一，高次方程數(shù)值求解，是《九章算術(shù)》開平方和開立方術(shù)的繼承發(fā)展。1、賈憲三角目前有明確記載保留下來(lái)的最早的高次開方法是賈憲創(chuàng)造的“增乘開方法”。“開方作法本源”圖2007年9月32中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.3宋元數(shù)學(xué)1、賈憲三角賈憲增乘開方法，是一個(gè)非常有效的和高度機(jī)械化的算法，可適用于開任意高次方。這種隨乘隨加、能反復(fù)迭代計(jì)算減根變換方程各項(xiàng)系數(shù)的方法，與現(xiàn)代通用的“霍納算法”（1819）已基本一致。而與此方法相聯(lián)系的“賈憲三角”，在西方文獻(xiàn)中則稱“帕斯卡三角”（1654）。2007年9月33中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.3宋元數(shù)學(xué)從“賈憲三角”到“正負(fù)開方”術(shù)2、秦九昭“正負(fù)開方術(shù)”秦九昭，字道古，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江蘇、浙江等地做官，1261年左右被貶職梅州，不久死于任所。他早年在杭州“訪習(xí)于太史，又嘗從隱君子受數(shù)學(xué)”，1247年寫成《數(shù)書九章》?！稊?shù)書九章》全書18卷，81題，分九大類。2007年9月34中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.3宋元數(shù)學(xué)內(nèi)插法與垛積術(shù)朱世杰（公元1300前后），自號(hào)松庭，寓居燕山，是一位平民數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”。朱世杰的代表著作有《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》。《算學(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了日本與朝鮮數(shù)學(xué)的發(fā)展?！端脑耔b》則是中國(guó)宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最突出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造是“招差術(shù)”（即高次內(nèi)插法），“垛積術(shù)”（高階等差級(jí)數(shù)求和）以及“四元術(shù)”（多元高次聯(lián)立方程組與消元解法）等。2007年9月35中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.3宋元數(shù)學(xué)“天元術(shù)”與“四元術(shù)”宋元數(shù)學(xué)發(fā)展中一個(gè)最深刻的動(dòng)向是代數(shù)符號(hào)化的嘗試，這就是“天元術(shù)”和“四元術(shù)”的發(fā)明。1、天元術(shù)宋元時(shí)期高次方程數(shù)值求解技術(shù)的發(fā)展，必然引起對(duì)列方程方法的需求?！疤煸g(shù)”就是在這樣的情況下產(chǎn)生的。在傳世的宋元數(shù)學(xué)著作中，首先系統(tǒng)闡述了天元術(shù)的是李冶的《測(cè)圓海鏡》（1248）和《益古演段》（1259）兩部著作?！傲⑻煸粸槟衬场?007年9月36中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)3.3宋元數(shù)學(xué)“天元術(shù)”與“四元術(shù)”2、四元術(shù)在李冶之后，天元術(shù)被朱世杰從一個(gè)未知數(shù)推廣到二元、三元及四個(gè)不同的未知數(shù)。這就是“四元術(shù)”。朱世杰《四元玉鑒》中詳細(xì)記載了這種列多元高次方程組的方法。四元術(shù)以“天”、“地”、“人”、“物”來(lái)表示四個(gè)不同的未知數(shù)。2007年9月37中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)結(jié)束語(yǔ)《四元玉鑒》可以說(shuō)是宋元數(shù)學(xué)的絕唱。元末以后，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)驟轉(zhuǎn)衰落。整個(gè)明清兩代（1368－1911），不僅未再產(chǎn)生出能與《數(shù)書九章》、《四元玉鑒》相媲美的數(shù)學(xué)杰作，而且在清中葉乾嘉學(xué)派重新發(fā)掘研究以前，“天元術(shù)”、“四元術(shù)”這樣一些宋元數(shù)學(xué)的精粹，竟長(zhǎng)期失傳，無(wú)人通曉。明初開始長(zhǎng)達(dá)三百余年的時(shí)期內(nèi)，除了珠算的發(fā)展及與之相關(guān)的著作的出現(xiàn)，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不僅沒(méi)有新的創(chuàng)新，反而倒退了。2007年9月38中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)結(jié)束語(yǔ)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的特征首先是其表現(xiàn)形式，這里主要指數(shù)學(xué)經(jīng)典的著作形式。古希臘數(shù)學(xué)常常采取抽象的公理化的形式，而中國(guó)古典數(shù)學(xué)則是以術(shù)文統(tǒng)率例題的形式。其次是關(guān)于數(shù)學(xué)理論的研究。古希臘數(shù)學(xué)使用演繹推理，使數(shù)學(xué)知識(shí)形成了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓砘w系。長(zhǎng)于計(jì)算，以算法為中心，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的顯著特點(diǎn)。古希臘數(shù)學(xué)只考慮數(shù)和形的性質(zhì)，而不考慮具體數(shù)值。數(shù)學(xué)理論密切聯(lián)系實(shí)際，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的又一顯著特征。2007年9月39中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)結(jié)束語(yǔ)中國(guó)古算的地位和意義中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就輝煌，這已日益得到國(guó)人和世界學(xué)術(shù)界有識(shí)之士的承認(rèn)。我們反對(duì)隨意拔高古人，制造世界第一的沙文主義作法，同樣，我們也反對(duì)不顧事實(shí)，以希臘數(shù)學(xué)為唯一模式，貶低中國(guó)數(shù)學(xué)的錯(cuò)誤態(tài)度，更反對(duì)對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)一無(wú)所知，就妄稱中國(guó)在數(shù)學(xué)史上教了白卷的民族虛無(wú)主義。2007年9月40中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)結(jié)束語(yǔ)中國(guó)古算的地位和意義從公元前一、二世紀(jì)《九章算術(shù)》成書到14世紀(jì)初，中國(guó)數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域長(zhǎng)期在世界上領(lǐng)先，且整體水平也居于世界前列。中國(guó)的算法成就通過(guò)各種途徑傳入西方，對(duì)歐洲文藝復(fù)興時(shí)期數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了不可估量的影響。正式中國(guó)算法與古希臘幾何學(xué)相結(jié)合，導(dǎo)致了解析幾何學(xué)的產(chǎn)生，為常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞繑?shù)學(xué)做出了