理論力學(xué)剛體的基本運(yùn)動

理論力學(xué)剛體的基本運(yùn)動6.1剛體的平行移動平動的實(shí)例夾板錘的錘頭6.1剛體的平行移動2.平動的特點(diǎn)定理：當(dāng)剛體作平動時，剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的軌跡形狀完全相同，而且在每一瞬時，剛體各點(diǎn)的速度相等，各點(diǎn)的加速度也相等。yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O證明：◆速度剛體平動時，剛體內(nèi)任一線段AB的長度和方向都保持不變。因而因此，研究剛體的平動，可以歸結(jié)為研究剛體內(nèi)任一點(diǎn)的運(yùn)動。6.1剛體的平行移動故即◆加速度上式再對時間t求導(dǎo)一次，即得即，在每一瞬時，平動剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的速度和加速度分別相等。◆軌跡由于平動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度、加速度始終相同，所以剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的軌跡形狀完全相同。6.1剛體的平行移動平動剛體上各點(diǎn)的速度平動剛體上各點(diǎn)的加速度6.1剛體的平行移動注意：平動剛體內(nèi)的點(diǎn)，不一定沿直線運(yùn)動，也不一定保持在平面內(nèi)運(yùn)動，它的軌跡可以是任意的空間曲線。由上述定理可見：綜上所述，可以得出剛體平動的特點(diǎn)：1、平動剛體上的各點(diǎn)具有形狀相同的運(yùn)動軌跡。2、平動剛體上的各點(diǎn)在某一瞬時具有相同的速度和加速度。3、剛體平動時的運(yùn)動分析可以簡化為其上任意一點(diǎn)(一般取為質(zhì)心)的運(yùn)動分析。如果平動剛體內(nèi)各點(diǎn)的軌跡都是平面曲線或直線，則這些特殊情形稱為平面平動或直線平動。當(dāng)剛體作平動時，只須給出剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的運(yùn)動，就可以完全確定整個剛體的運(yùn)動。這樣，剛體平動問題就可看為點(diǎn)的運(yùn)動問題來處理。這樣，剛體平動問題就可看為點(diǎn)的運(yùn)動問題來處理。在剛體運(yùn)動的過程中，若剛體上或其延伸部分上有一條直線始終不動，具有這樣一種特征的剛體的運(yùn)動稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動，簡稱轉(zhuǎn)動。該固定不動的直線稱為轉(zhuǎn)軸。6.2剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點(diǎn)當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動軸以外的各點(diǎn)都分別在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動，圓心在該平面與轉(zhuǎn)軸之交點(diǎn)上。定軸轉(zhuǎn)動實(shí)例如圖，兩平面間的夾角用φ表示，稱為剛體的轉(zhuǎn)角。6.2剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)角φ是一個代數(shù)量，它確定了剛體的位置。它的符號規(guī)定如下：自z軸的正端往負(fù)端看，從固定面起按逆時針轉(zhuǎn)向計算取正值；按順時針轉(zhuǎn)向計算取負(fù)值。并用弧度(rad)表示。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，角j是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動方程。6.2剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)角j對時間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時角速度，用w表示:角速度的大小表示剛體在該瞬時轉(zhuǎn)動的快慢，即單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)角的變化。當(dāng)轉(zhuǎn)角φ隨時間而增大時，ω為正值，反之為負(fù)值，這樣，角速度的正負(fù)號確定了剛體轉(zhuǎn)動的方向。角速度是代數(shù)量，從軸的正端向負(fù)端看，剛體逆時針轉(zhuǎn)動時角速度取正值，反之取負(fù)值。角速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時角加速度，用字母表示，即6.2剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動角加速度表征角速度變化的快慢，其單位用rad/s2(弧度/秒2)表示。角加速度也是代數(shù)量。和ω正負(fù)相同，則角速度的絕對值隨時間而增大，即剛體作加速轉(zhuǎn)動。反之，兩者正負(fù)不同，則角速度的絕對值隨時間而減小，即剛體作減速轉(zhuǎn)動。但減速轉(zhuǎn)動只到ω=0時為止。剛體由靜止開始的轉(zhuǎn)動都是加速轉(zhuǎn)動。6.2剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動工程上常用轉(zhuǎn)速n來表示剛體轉(zhuǎn)動的快慢。n的單位是轉(zhuǎn)/分(r/min)，ω與n的轉(zhuǎn)換關(guān)系為勻變速轉(zhuǎn)動公式當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)任意一點(diǎn)都作圓周運(yùn)動，圓心在軸線上，圓周所在的平面與軸線垂直，圓周的半徑R等于該點(diǎn)到軸線的垂直距離。動點(diǎn)速度的大小為6.3轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度由于點(diǎn)M繞點(diǎn)O作圓周運(yùn)動，用自然法表示。點(diǎn)M的弧坐標(biāo)為即：定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度,等于該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動半徑與剛體角速度的乘積。式中v與ω兩者正負(fù)相同。故速度是沿著點(diǎn)M的軌跡圓周的切線，指向轉(zhuǎn)動前進(jìn)的一方。即：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度的大小等于剛體角速度與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切線而指向轉(zhuǎn)動的一方。6.3轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度6.3轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度點(diǎn)M的加速度有切向加速度和法向加速度。6.3轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度法向加速度為：即：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點(diǎn)的法向加速度(又稱向心加速度)的大小，等于剛體角速度的平方與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向軸線。即：轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度的大小，等于剛體的角加速度與該點(diǎn)到軸線垂直距離的乘積。它的方向由角加速度的符號決定，當(dāng)是正值時，它沿圓周的切線，指向角φ的正向；否則相反。切向加速度為：如果ω與同號，角速度的絕對值增加，剛體作加速轉(zhuǎn)動，這時點(diǎn)的切向加速度aτ與速度v的指向相同。6.3轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度如果ω與異號，剛體作減速轉(zhuǎn)動，aτ與v的指向相反。(1)在每一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的速度和加速度的大小，分別與這些點(diǎn)到軸線的垂直距離成正比。點(diǎn)的全加速度為：(2)在每一瞬時，剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的加速度α與半徑間的夾角θ都有相同的值。6.3轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度但是，全加速度a與轉(zhuǎn)動半徑R的夾角，卻與轉(zhuǎn)動半徑無關(guān)。即：在任一瞬時，定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速度與其轉(zhuǎn)動半徑的夾角θ都相同。平面上各點(diǎn)加速度的分布如圖。6.4輪系的傳動比１、齒輪傳動①嚙合條件②傳動比即：相互嚙合的兩齒輪的角速度之比與它們節(jié)圓半徑成反比。由于齒輪齒數(shù)與其節(jié)圓半徑成正比，故即：相互嚙合的兩齒輪的角速度之比及角加速度之比與它們的齒數(shù)成反比。6.4輪系的傳動比6.4輪系的傳動比２、帶輪傳動齒輪傳動是工程上常見的一種傳動方式，可用來改變轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。如圖，已知r1、r2、ω1、1，求ω2、2。解：因嚙合點(diǎn)無相對滑動，所以由于于是可得即w11r1O1O2r2w22v1v2aτ1aτ2例6-1例6-2一半徑為R=0.2m的圓輪繞定軸O的轉(zhuǎn)動方程為

，單位為弧度。求t=1s時，輪緣上任一點(diǎn)M的速度和加速度。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長的繩子并在繩端懸一物體A，求當(dāng)t=1s時，物體A的速度和加速度。解：圓輪在任一瞬時的角速度和角加速度為當(dāng)t=1s時，則為因此輪緣上任一點(diǎn)M的速度和加速度為方向如圖所示。M點(diǎn)的全加速度及其偏角為如圖所示，現(xiàn)在求物體A的速度和加速度。因?yàn)樯鲜絻蛇吳笠浑A及二階導(dǎo)數(shù)，則得因此例6-3在刮風(fēng)期間，風(fēng)車的角加速度，其中轉(zhuǎn)角θ以rad計。若初瞬時，其葉片半徑為0.75m。試求葉片轉(zhuǎn)過兩圈（）時其頂端P點(diǎn)的速度。ωεP解：下圖是一減速箱，它由四個齒輪組成，其齒數(shù)分別為Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求減速箱的總減速比i13；(b)如果n1=3000r/min，求n3.13n142n3n2解：求傳動比：則有：例6-4§6-5以矢量表示角速度和角加速度.以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度1、角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量角加速度矢量大小角速度矢沿軸線，彎向表示剛體轉(zhuǎn)動的方向。指向用右手螺旋法則?！?-5以矢量表示角速度和角加速度.以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度2、繞定軸轉(zhuǎn)動剛體上點(diǎn)的速度和加速度速度加速度M點(diǎn)切向加速度M點(diǎn)法向加速度剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，已知轉(zhuǎn)軸通過坐標(biāo)原點(diǎn)O,角速度矢為求：t=1s時,剛體上點(diǎn)M（