（江蘇專用）高考數(shù)學總復習 （基礎達標演練+綜合創(chuàng)新備選）第六篇 數(shù)列、推理與證明《第35講　數(shù)列的綜合應用》理（含解析） 蘇教版

PAGEPAGE72023高考總復習江蘇專用（理科）：第六篇數(shù)列、推理與證明《第35講數(shù)列的綜合應用》（根底達標演練+綜合創(chuàng)新備選，含解析）A級根底達標演練(時間：45分鐘總分值：80分)一、填空題(每題5分，共35分)1．在等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列，那么eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝________.解析設等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，那么由題意得a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q，所以q2－2q－1＝0，解得q＝1±eq\r(2).又q＞0，因此有q＝1＋eq\r(2)，故eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝eq\f(q2a7＋a8,a7＋a8)＝q2＝(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2).答案3＋2eq\r(2)2．(2023·廣東揭陽一模)數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}中連續(xù)的三項，那么數(shù)列{bn}的公比為________．解析設數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由aeq\o\al(2,3)＝a1a7得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故數(shù)列{bn}的公比q＝eq\f(a3,a1)＝eq\f(a1＋2d,a1)＝eq\f(2a1,a1)＝2.答案23．有一種細菌和一種病毒，每個細菌在每秒鐘殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個，現(xiàn)在有一個這樣的細菌和100個這樣的病毒，問細菌將病毒全部殺死至少需要________秒．解析設至少需n秒鐘，那么1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴2n－1≥100，∴n≥7.答案74．已知各項均不為0的等差數(shù)列{an}，滿足2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，那么b6b8＝________.解析因為{an}為等差數(shù)列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化為4a7－aeq\o\al(2,7)＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)，又{bn}為等比數(shù)列，所以b6b8＝beq\o\al(2,7)＝aeq\o\al(2,7)＝16.答案165．在如下圖的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一行成等差數(shù)列，每一列成等比數(shù)列，那么x＋y＋z的值為________.2412xyz解析由題知表格中第三列中的數(shù)成首項為4，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，故有x＝1.根據(jù)每行成等差數(shù)列得第四列前兩個數(shù)字依次為5，eq\f(5,2)，故第四列的公比為eq\f(1,2)，所以y＝5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(5,8)，同理z＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,8)，故x＋y＋z＝2.答案26．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，那么等比數(shù)列{an}的公比為________．解析設等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0，又q≠0，∴q＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)7．設關于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N*)的解集中整數(shù)的個數(shù)為an，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，那么S100的值為________．解析由x2－x＜2nx(n∈N*)，得0＜x＜2n＋1，因此知an＝2n.∴S100＝eq\f(1002＋200,2)＝10100.答案10100二、解答題(每題15分，共45分)8．(2023·江蘇)設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知2a2＝a1＋a3，數(shù)列{eq\r(Sn)}是公差為d的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式(用n，d表示)；(2)設c為實數(shù)，對滿足m＋n＝3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm＋Sn＞cSk都成立，求證：c的最大值為eq\f(9,2).(1)解由題意知，d＞0，eq\r(Sn)＝eq\r(S1)＋(n－1)d＝eq\r(a1)＋(n－1)d.又2a2＝a1＋a3，所以3a2＝S3，即3(S2－S1)＝S所以3[(eq\r(a1)＋d)2－a1]＝(eq\r(a1)＋2d)2，整理，得a1－2eq\r(a1)·d＋d2＝0，所以eq\r(a1)＝d，a1＝d2，eq\r(Sn)＝d＋(n－1)d＝nd，Sn＝n2d2.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝(2n－1)d2，適合n＝1情形．故所求an＝(2n－1)d2.(2)證明由Sm＋Sn＞cSk，得m2d2＋n2d2＞c·k2d2，即m2＋n2＞c·k2，c＞eq\f(m2＋n2,k2)恒成立．又m＋n＝3k且m≠n，所以2(m2＋n2)＞(m＋n)2＝9k2，即eq\f(m2＋n2,k2)＞eq\f(9,2)，所以c≤eq\f(9,2).故c的最大值為eq\f(9,2).9．(2023·山東青島模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn且滿足a2＝3，S6＝36.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)假設數(shù)列{bn}是等比數(shù)列且滿足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.設數(shù)列{an·bn}的前n項和為Tn，求Tn.解(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36.∵a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2.又∵a1＝a2－d＝1，∴an＝2n－1.(2)由等比數(shù)列{bn}且滿足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24，得eq\f(b4＋b5,b1＋b2)＝q3＝8，∴q＝2.∵b1＋b2＝3，∴b1＋b1q＝3，∴b1＝1，bn＝2n－1，∴an·bn＝(2n－1)·2n－1.∴Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，那么2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，兩式相減，得(1－2)Tn＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n－2＋2·2n－1－(2n－1)·2n，即－Tn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n＝1＋2(2n－2)－(2n－1)·2n＝(3－2n)·2n－3.∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.10．定義一種新運算*，滿足n*k＝nλk－1(n，k∈N*，λ為非零常數(shù))．(1)對于任意給定的k值，設an＝n*k(n∈N*)，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)對于任意給定的n值，設bk＝n*k(k∈N*)，求證：數(shù)列{bk}是等比數(shù)列；(3)設cn＝n*n(n∈N*)，試求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.(1)證明因為an＝n*k(n∈N*)，n*k＝nλk－1(n，k∈N*，λ為非零常數(shù))，所以an＋1－an＝(n＋1)*k－n*k＝(n＋1)λk－1－nλk－1＝λk－1.又k∈N*，λ為非零常數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列．(2)證明因為bk＝n*k(k∈N*)，n*k＝nλk－1(n，k∈N*，λ為非零常數(shù))，所以eq\f(bk＋1,bk)＝eq\f(n*k＋1,n*k)＝eq\f(nλk,nλk－1)＝λ.又λ為非零常數(shù)，所以{bk}是等比數(shù)列．(3)解cn＝n*n＝nλn－1(n∈N*，λ為非零常數(shù))，Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝λ0＋2λ＋3λ2＋…＋nλn－1，①當λ＝1時，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)；當λ≠1時，λSn＝λ＋2λ2＋3λ3＋…＋nλn.②①－②，得Sn＝eq\f(1－λn,1－λ2)－eq\f(nλn,1－λ).綜上，得Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)λ＝1，,\f(1－λn,1－λ2)－\f(nλn,1－λ)λ≠1.))B級綜合創(chuàng)新備選(時間：30分鐘總分值：60分)一、填空題(每題5分，共30分)1．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝15，S5＝55，那么過點P(3，a2)，Q(4，a4)的直線的斜率為________．解析S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d，所以5×15＋10d＝55，即d＝－2.所以kPQ＝eq\f(a4－a2,4－3)＝2d＝－4.答案－42．數(shù)列{an}的通項an＝n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(nπ,3)－sin2\f(nπ,3)))，其前n項和為Sn，那么S30為________．解析注意到an＝n2coseq\f(2nπ,3)，且函數(shù)y＝coseq\f(2πx,3)的最小正周期是3，因此當n是正整數(shù)時，an＋an＋1＋an＋2＝－eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)(n＋1)2＋(n＋2)2＝3n＋eq\f(7,2)，其中n＝1,4,7，…，S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a28＋a29＋a30)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×1＋\f(7,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×4＋\f(7,2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×28＋\f(7,2)))＝3×eq\f(10×1＋28,2)＋eq\f(7,2)×10＝470.答案4703．(★)對正整數(shù)n，假設曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，那么數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n＋1)))的前n項和為________．解析(等價轉(zhuǎn)化法)由題意，得y′＝nxn－1－(n＋1)xn，故曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線的斜率為k＝n2n－1－(n＋1)2n，切點為(2，－2n)，所以切線方程為y＋2n＝k(x－2)．令x＝0得an＝(n＋1)2n，即eq\f(an,n＋1)＝2n，那么數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n＋1)))的前n項和為2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2.答案2n＋1－2【點評】通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉”將問題等價轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得到正確的結(jié)果.4．在數(shù)列{an}中，假設aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n＋1)＝p(n≥1，n∈N*，p為常數(shù))，那么稱{an}為“等方差數(shù)列”，以下是對“等方差數(shù)列”的判斷：①假設{an}是等方差數(shù)列，那么{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列；②{(－1)n}是等方差數(shù)列；③假設{an}是等方差數(shù)列，那么{akn}(k∈N*，k為常數(shù))也是等方差數(shù)列．其中真命題的序號為________(將所有真命題的序號填在橫線上)．解析①正確，因為aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n＋1)＝p，所以aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝－p，于是數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}為等差數(shù)列．②正確，因為(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0為常數(shù)，于是數(shù)列{(－1)n}為等方差數(shù)列．③正確，因為aeq\o\al(2,kn)－aeq\o\al(2,kn＋k)＝(aeq\o\al(2,kn)－aeq\o\al(2,kn＋1))＋(aeq\o\al(2,kn＋1)－aeq\o\al(2,kn＋2))＋(aeq\o\al(2,kn＋2)－aeq\o\al(2,kn＋3))＋…＋(aeq\o\al(2,kn＋k－1)－aeq\o\al(2,kn＋k))＝kp，那么{akn}(k∈N*，k為常數(shù))也是等方差數(shù)列．答案①②③5．(2023·福建省師大附中模擬)如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1,2,3,4,5,6的橫縱坐標分別對應數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此規(guī)律下去，那么a2009＋a2010＋a2011＝________.解析觀察發(fā)現(xiàn)，a2n＝n，且當n為奇數(shù)時，a2n－1＋a2n＋1＝0，所以a2009＋a2010＋a2011＝0＋eq\f(2010,2)＝1005.答案10056．(2023·準南模擬)假設數(shù)列{an}，{bn}的通項公式分別是an＝(－1)n＋2010·a，bn＝2＋eq\f(－1n＋2011,n)，且an＜bn對任意n∈N*恒成立，那么常數(shù)a的取值范圍是________．解析由an＜bn，得(－1)n·a＜2－eq\f(－1n,n).假設n為偶數(shù)，那么a＜2－eq\f(1,n)對任意正偶數(shù)成立，所以a＜2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)；假設n為奇數(shù)，那么a＞－2－eq\f(1,n)對任意正奇數(shù)成立，所以a≥－2.故－2≤a＜eq\f(3,2).答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,2)))二、解答題(每題15分，共30分)7．在數(shù)列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23.(1)求an；(2)設Sn為{an}的前n項和，求Sn的最小值．思路分析由已知條件可推知n應分奇數(shù)和偶數(shù)．解(1)由an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44.∴an＋2－an＝2，又a2＋a1＝2－44，∴a2＝－19.同理得：a3＝－21，a4＝－17.故a1，a3，a5，…是以a1為首項、2為公差的等差數(shù)列，a2，a4，a6，…是以a2為首項、2為公差的等差數(shù)列．從而an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－24n為奇數(shù)，,n－21n為偶數(shù).))(2)當n為偶數(shù)時，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n－1)－44]＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－eq\f(n,2)·44＝eq\f(n2,2)－22n，故當n＝22時，Sn取得最小值－242.當n為奇數(shù)時，Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44]＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋eq\f(n－1,2)·(－44)＝－23＋eq\f(n＋1n－1,2)－22(n－1)＝eq\f(n2,2)－22n－eq\f(3,2).故當n＝21或n＝23時，Sn取得最小值－243.綜上所述：當n為偶數(shù)時，Sn取得最小值為－242；當n為奇數(shù)時，Sn取最小值為－243.【點評】數(shù)列中的分類討論一般有兩種：一是對項數(shù)n的分類；二是對公比q的分類，解題時只要細心就可防止失誤．8．已知在正項數(shù)列{an}中，a1＝2，點An(eq\r(a