1直線的傾斜角與斜率-【新教材】人教A版2019高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步講義

2.1直線的傾斜角與斜率知識梳理知識梳理1、直線的傾斜角(1)定義：當直線l與1軸相交時，我們?nèi)。ポS作為基準，％軸正向與直線l向上方向之間所成的角a叫做直線l的傾斜角；(2)規(guī)定：當直線l與1軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0；(3)范圍：直線的傾斜角a的取值范圍是［0，n).2、直線的斜率(1)定義：當直線l的傾斜角a4時，其傾斜角a的正切值tana叫做這條直線的斜率，斜率通常用小寫字母k表示，即k=tana,V一V(2)斜率公式：經(jīng)過兩點P1(11，v1),P2(i2,v2)(i件12)的直線的斜率公式為k=11 1 22 2 1 2 1一i3、(1)直線的傾斜角a和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系：a0n0<a<2乙n2n2<a<nk0k>0不存在k<0(2)直線的斜率k和傾斜角a之間的函數(shù)關(guān)系:4、兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線11，12,其斜率分別為k1，k2,則有l(wèi)bl尹尸k2。特別地，當直線11，12的斜率都不存在時，11與12平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線11，12斜率都存在，設(shè)為k1，k2,則11±12T1?k2=—1,當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直知識典例題型一斜率與傾斜角【例1】已知點A,則直線A5的傾斜角為（題型一斜率與傾斜角【例1】已知點A,則直線A5的傾斜角為（2n

A.—

371C3-5冗D.—6【答案】A【分析】由兩點坐標，求出直線A6的斜率,由兩點坐標，求出直線A6的斜率,利用k=tana,結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】設(shè)直線A5的傾斜角為a,因為A所以直線A5的斜率上二"二^-1-1因為A所以直線A5的斜率上二"二^-1-1-a/3,即tana=-y/3,因為ae[0,7i),所以a=?故選：A鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)若直線x=2的傾斜角為a,則a二A.071A.071C2D.冗【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角的定義判斷即可;【詳解】c 兀解：直線x=2,垂直于1軸，故傾斜角為3故選：C題型二斜率的范圍求解【例2】設(shè)點A（2,—3）, 直線/過點Ml,D且與線段A6相交，則/的斜率上的取值范圍是（）3A.左或左V-44

DD.以上都不對【答案】A【分析】畫出圖形分析，即可得出k畫出圖形分析，即可得出k<kPAPB，求出即可.【詳解】如圖，要使直線l與線段AB相交，則應(yīng)滿足k<葭或k>%7 1+3 ) , 1+23…。A=="4，kpB=市="■ ，,3，k<-4或k>.4鞏固練習(xí)已知點A(-1,1)、B(1,2)、C(0,-1)，過點C的直線l與線段AB有公共點，則直線l斜率k的取值范圍是()A.[-2,3]B.[A.[-2,3]C.C.(一*-2]u[3,+s)D.以上都不對【答案】C【分析】過點C的直線I與線段AB有公共點，利用數(shù)形結(jié)合，得到直線I的斜率k>kBC或k<kA(：，進而求解即可【詳解】如圖所示：??,過點C的直線l與線段AB有公共點，，直線l的斜率k>kBC或k<晨,

?,?直線l的斜率k>3k>k 或k<-2,BC?,?直線l斜率k的取值范圍：(-8,-2]U[3,+8),故選：C.題型三位置關(guān)系胸3】若過點P(3,2m)和點Q(—m,2)的直線與方向向量為4=(-5,5)的直線平行，則實數(shù)m的值是(A.1 B.-1 C.2 D.-23 3【答案】B【分析】求出PQ坐標，由向量共線可得關(guān)于m的方程，進而可求出m的值.【詳解】由題意得，PQ=(-m-3,2-2m)與4=(-5,5)共線，所以5(-m-3)-(-5)?(2-2m)=0,解得m=-1.經(jīng)檢驗知，m=-1符合題意，故選:B.已知直線l1已知直線l1的傾斜角為60°,直線12經(jīng)過點A則直線l1,12的位置關(guān)系是 【答案】垂直【分析】根據(jù)斜率的定義以及斜率的坐標公式分別求出直線/],l2的斜率，即可判斷出直線l],l2的位置關(guān)系.【詳解】因為k=tan60°=J3，k=2'：3— =—苴，所以k,k=-1，即直線l，l的位置關(guān)系是垂直.1 2 —2—1 3 12 1 2題型四判斷圖形[例4已知四邊形MNPQ的頂點M(1,1),N(3,—1),P(4,0),Q(2,2)，則四邊形MNPQ的形狀為(A.平行四邊形 B.菱形 C梯形 D.矩形【答案】D【分析】求出四條邊所在直線的斜率，可判斷它們是矩形.【詳解】因為kMN=TkPQ=-\，所以MN//PQ.又因為kMQ=LkNP=1，所以MQ//NP，所以四邊形MNPQ為平行四邊形.="1，所以MN1MQ.所以四邊形MNPQ為矩形.鞏固練習(xí)以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)為頂點的三角形是()A.以A點為直角頂點的直角三角形 B.以B點為直角頂點的直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【答案】A【分析】利用斜率公式求出AB,AC的斜率，可得=kAc=-1，進而可得結(jié)果.【詳解】因為A(-1,1),B(2,-1),C(1,4) ,7 -1-127 4—13TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"k= =—,k= =一A82+1 3AC1+1 2kAB，kAC=-1AB±AC,/A為直角，故選A.鞏固提升1、下列說法正確的是（ ）A.一條直線和％軸的正方向所成的角，叫做這條直線的傾斜角B.直線的傾斜角a的取值范圍是銳角或鈍角C.和％軸平行的直線，它的傾斜角為180。D.每一條直線都存在傾斜角，但并非每一條直線都存在斜率【答案】D【分析】根據(jù)傾斜角的概念逐個判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對于A,一條直線向上方向和％軸正方向所成的角，叫做這條直線的傾斜角，A錯誤；對于B,直線的傾斜角a的取值范圍是0a<a<180。，B錯誤；對于C,和％軸平行的直線，它的傾斜角為0。，C錯誤；對于D,每一條直線都存在傾斜角，但并非每一條直線都存在斜率，如a=90。時，斜率不存在，D正確.故選D.2、已知直線l經(jīng)過兩點A（-1，0）,B（0,3），則直線/的斜率為.【答案】3【分析】直接利用斜率公式求解.【詳解】因為直線l經(jīng)過兩點A（-1,0）,B（。，3）,所以k=03=3，—1—0所以直線l的斜率為3故答案為：33、過點M(0,1)和N(1,m2+1)(meR)的直線的傾斜角的范圍是 n【答案】[0,-)2【分析】求出直線的斜率，由利用正切函數(shù)的性質(zhì)得傾斜角的范圍.【詳解】m2+1—1 _由題意直線MN的斜率為k= =m2>0，1—0兀設(shè)MN的傾斜角為0，則tan0>0，又0e[0,兀)，.?.0e[0,-).乙 n故答案為：[0,-).24、若不同的兩點P(a,b)與Q(b-1,a+D關(guān)于直線l對稱，則直線l的傾斜角為()B.45C.30° B.45C.30° D.60°【答案】B【分析】利用兩點連線斜率公式求得kpQ；根據(jù)對稱關(guān)系可知直線PQ與l垂直，可得kpQk「一，從而求得kl；根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系可得到結(jié)果.【詳解】a+1—b由題意得：kPQ=b-1—a=T:p,Q關(guān)于直線l對稱?二直線PQ與l垂直:匕=-1，則勺=1 ...直線l的傾斜角為45c本題正確選項：B5、下列各對直線不互相垂直的是()11的傾斜角為120°,12過點P(1,0),Q(4,<3)2 1、11的斜率為-工，12過點P(1,1),Q(0,--)3 乙11的傾斜角為30°,12過點P(3,<3),Q(4,2回)l1過點M(1,0),N(4,-5),12過點P(-6,0),Q(-1,3)【答案】C

【詳解】,，-點選項A,11的傾斜角為120°,12過點P(1,0),Q(4,V3),kp=—^3 3故兩直線垂直；1、 3選項B,l2過點P(1,1),Q(0,-),kp=-.故兩條直線垂直.2 2PQ2選項C，kpQ=、回，所以11不與12垂直.選項D，l過點M（1，0）,N（4,-5），K=一；，1 MN3312過點p（-6，0）,Q（-1，3），kPQ=5,故兩條直線垂直.故選：C.6、已知點A（2,-3），B（-3,-2），直線l過點P（U）且與直線AB有交點，則直線l的斜率k的取值范圍是 【答案】【分析】根據(jù)兩直線不平行可得到結(jié)果.【詳解】若l與直線AB有交點則直線若l與直線AB有交點則直線l與直線AB不平行,7 -2+3 1又k- -—-AB-3-2 51,k中—5，即k的取值范圍為( 1-8,一￡I 55,+8.故答案為：7、已知點O（00），A7、已知點O（00），A（0，b），B（a，a3）.若AOAB為直角三角形，則必有（A.b=a3C.(b-a3)b-a3——二0D.\b-a31+b-a3-1=0a【答案】C【分析】根據(jù)題意，分O為直角頂點、A為直角頂點、B為直角頂點三種情況，結(jié)合斜率關(guān)系分別求出a,b滿足的關(guān)系式即可求解.【詳解】若A若A為直角頂點，貝Ub=a3川；若O為直角頂點，則B在％軸上，則a必為0,此時O,若O為直角頂點， . a3-b 一一. 1若B為直角頂點，根據(jù)斜率關(guān)系可知a2- =-1(a，0),所以a(a3-b)=-1,即b-a3--=若B為直角頂點，a a(J)以上兩種情況皆有可能，所以必有(b-a3)b-a3--=0成立.以上兩種情況皆有可能，Ia)故選：C8、過點P(0,2)的直線l與以A(1,1),B(-2,3)為端點的線段有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是()A.[-1力c.[-3,1]2B.A.[-1力c.[-3,1]2，八「 1 、D.(-8,-1]D[—-,+8)【答案】D【分析】PB，即可得出答案.畫出圖形，設(shè)直線l的斜率為k，求出kPA和kPB,由直線l與線段AB有交點，可知k<kPA或PB，即可得出答案.【詳解】直線過定點P直線過定點P@2)設(shè)直線l的斜率為k,kPB.「kPBPA， ， ，一， 1??.要使直線l與線段AB有交點，則k的取值范圍是k<-1或k>--,乙9、若過兩點A(m2+2,m2-3),B(-m2-m+3,2m)的直線l的傾斜角為45°，則m=(-2或-11-2或-11-1-2【答案】D【分析】vn2—3—2777 m2—2帆一3由題意可得—— = =tan450=l,故有冽2—2m—3=2機2+加—1w0,由此求得實數(shù)加加2+2+根2+機一3 2機2+m-l的值.【詳解】過兩點A（m2+2,根2-3）,6（—根2—根+3,2根）的直線/的傾斜角為45。，m2-3-2m m2-2m-3 、則有 = =tan450=1,m2+2+m2+m-32m2