中檔解答題特訓(xùn)之-強(qiáng)化訓(xùn)練篇-強(qiáng)化訓(xùn)練（一）

中檔解答題特訓(xùn)之——強(qiáng)化訓(xùn)練篇強(qiáng)化訓(xùn)練（一）1．如圖，在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D為△ABC外一點(diǎn)，DB=2，DC=1，求四邊形ABDC面積的最大值．2．某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時(shí)間，現(xiàn)采用分成抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們課外閱讀時(shí)間，然后按“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”分為兩組，再將每組學(xué)生的閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）寫(xiě)出a的值；（2）試估計(jì)該校所有學(xué)生中，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；（3）從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，并用X表示其中初中生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．3．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P是平面ABCD外一點(diǎn)，P在平面ABCD的射影O恰在A(yíng)D上，PA=AB=BC=2AO=2，BO=．（1）證明：PA⊥BO；（2）求二面角A﹣BP﹣D的余弦值．4．已知直線(xiàn)l：（其中t為參數(shù)，α為傾斜角）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=．（1）求C的直角坐標(biāo)方程，并求C的焦點(diǎn)F的直角坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)P（1，0），若直線(xiàn)l與C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且=2，求△FAB的面積．強(qiáng)化訓(xùn)練（一）參考答案與解析1．如圖，在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D為△ABC外一點(diǎn)，DB=2，DC=1，求四邊形ABDC面積的最大值．【考點(diǎn)】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知可得cosBsinC=sinBsinC，結(jié)合sinC≠0，可求tanB=1，結(jié)合范圍B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面積公式可求S△ABC，S△BDC，從而可求，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解四邊形ABDC面積的最大值．【解答】（本題滿(mǎn)分為12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），∴sinA=sinB（sinC+cosC），…（1分）∴sin（π﹣B﹣C）=sinB（sinC+cosC），∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），…（2分）∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…（3分）∴cosBsinC=sinBsinC，又∵C∈（0，π），故sinC≠0，…（4分）∴cosB=sinB，即tanB=1．…（5分）又∵B∈（0，π），∴．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．…（7分）又，由（Ⅰ）可知，∴△ABC為等腰直角三角形，…（8分）∴，…（9分）又∵，…（10分）∴．…（11分）∴當(dāng)時(shí)，四邊形ABDC的面積有最大值，最大值為．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．2．（2016?西城區(qū)二模）某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時(shí)間，現(xiàn)采用分成抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們課外閱讀時(shí)間，然后按“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”分為兩組，再將每組學(xué)生的閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）寫(xiě)出a的值；（2）試估計(jì)該校所有學(xué)生中，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；（3）從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，并用X表示其中初中生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【考點(diǎn)】CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列；CB：古典概型及其概率計(jì)算公式；CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（1）根據(jù)頻率頻率直方圖的性質(zhì)，可求得a的值；（2）由分層抽樣，求得初中生有60名，高中有40名，分別求得初高中生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生的頻率及人數(shù)，求和；（3）分別求得，初高中生中閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，寫(xiě)出X的取值及概率，寫(xiě)出分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）由頻率直方圖的性質(zhì)，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10=1，a=0.03，（2）由分層抽樣可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，∵初中生中，閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生的頻率為（0.03+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生約有0.25×1800=450人，同理，高中生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生的頻率為（0.03+0.005）×10=0.035，學(xué)生人數(shù)約為0.35×1200=420人，所有的學(xué)生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生約有450+420=870，（3）初中生中閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生的頻率為0.005×10=0.05，樣本人數(shù)為0.05×60=3人，同理，高中生中閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生的頻率為0.005×10×40=2，故X的可能取值為：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列為：X123P∴E（X）=1×+2×+3×=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，分布列和期望求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．3．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P是平面ABCD外一點(diǎn)，P在平面ABCD的射影O恰在A(yíng)D上，PA=AB=BC=2AO=2，BO=．（1）證明：PA⊥BO；（2）求二面角A﹣BP﹣D的余弦值．【考點(diǎn)】MJ：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】（1）證明AO⊥BO，BO⊥PO，可得BO⊥平面PAO，即可證明PA⊥BO；（2）取PB的中點(diǎn)E，連接AE，DE，證明∠AED是二面角A﹣BP﹣D的平面角，利用余弦定理，即可求二面角A﹣BP﹣D的余弦值．【解答】（1）證明：∵AB=2AO=2，BO=，∴AB2=AO2+BO2，∴AO⊥BO，∵P在平面ABCD的射影O恰在A(yíng)D上，∴BO⊥PO，∵AO∩PO=O，∴BO⊥平面PAO，∵PA?平面PAO，∴PA⊥BO；（2）解：取PB的中點(diǎn)E，連接AE，DE，∵PA=2AO=2，∴PO=，∵BO⊥PO，∴PB=，∵PD=BD=2∴DE⊥PB，∵PA=AB=2，∴AO⊥PB，∴∠AED是二面角A﹣BP﹣D的平面角．∵AE=，DE=，AD=4，∴cos∠AED==﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)面垂直的判定，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確作出面面角是關(guān)鍵．4．已知直線(xiàn)l：（其中t為參數(shù)，α為傾斜角）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=．（1）求C的直角坐標(biāo)方程，并求C的焦點(diǎn)F的直角坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)P（1，0），若直線(xiàn)l與C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且=2，求△FAB的面積．【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）原方程變形為ρ2sin2θ=ρcosθ，利用互化公式可得：C的直角坐標(biāo)方程．（2）把l的方程代入y2=x得t2sin2α﹣tcosα﹣1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其已知可得：|t1﹣t2|=2|t1t2|，平方得，可得sin2α=1，即可得出．【解答】解：（1）原方程變形為ρ2sin2θ=ρcosθ，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C的直角坐標(biāo)方程為y2=x，其焦點(diǎn)為．（2）把l的方程代入y2=x得t2sin2α﹣tcosα﹣1=0，則，①，即|t1﹣t2|