二階常系數(shù)齊次線性微分方程求解方法-2023修改整理

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦二階常系數(shù)齊次線性微分方程求解方法第六節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程

教學目的：使同學把握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數(shù)

非齊次線性微分方程的解法

教學重點：二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法

教學過程：

一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程方程

ypyqy0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程其中p、q均為常數(shù)

假如y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關解那么yC1y1C2y2就是它的通解

我們看看能否適當選取r使y

erx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程為此將yerx代入方程

y

pyqy0得

(r2prq)erx0

由此可見只要r滿足代數(shù)方程r

2prq0函數(shù)yerx就是微分方程的解特征方程方程r2prq0叫做微分方程y

pyqy0的特征方程特征方程的兩個根r1、r2可用公式

2

422,1qppr-±+-=求出

特征方程的根與通解的關系

(1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時函數(shù)xrey11=、xrey22=是方程的兩個線性無關的解

這是由于

函數(shù)xrey11=、xrey22=是方程的解又xrrx

rxreeeyy)(212121-==不是常數(shù)因此方程的通解為

xrxreCeCy2121+=

(2)特征方程有兩個相等的實根r1r2時函數(shù)xrey11=、xrxey12=是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關的解

這是由于xrey11=是方程的解又

xrxrxrxrxrxrqxeexrpexrrxeqxepxe111111)1()2()()()(1211++++=+'+''

0)()2(121111

=++++=qprrxeprexrxr所以xrxey12=也是方程的解且xexeyyx

rxr==1112不是常數(shù)因此方程的通解為

xrxrxeCeCy1121+=

(3)特征方程有一對共軛復根r1,2i時函數(shù)ye(

i)x、ye(i)x是微分方程的兩個線性無關的復數(shù)形式的解函數(shù)yexcos

x、yexsinx是微分方程的兩個線性無關的實數(shù)形式的解

函數(shù)y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解而由歐拉公式得y1e(

i)xex(cosxisinx)y2e(i)xex(cosxisinx)

y1y22excosx)(21cos21yyxex+=βα

y1y2

2iexsinx)(21sin21yyixex-=βα故excosx、y2exsinx也是方程解

可以驗證y1excosx、y2exsinx是方程的線性無關解因此方程的通解為

yex(C1cosxC2sinx)

求二階常系數(shù)齊次線性微分方程ypyqy0的通解的步驟為第一步寫出微分方程的特征方程

r2prq0

其次