高數(shù)上D映射與函數(shù)

高數(shù)上D映射與函數(shù)第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二1.分析基礎:函數(shù),極限,連續(xù)

2.微積分學:一元微積分(上冊)(下冊)3.向量代數(shù)與空間解析幾何4.無窮級數(shù)5.常微分方程主要內(nèi)容多元微積分第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二如何學習高等數(shù)學?1.認識高等數(shù)學的重要性,培養(yǎng)濃厚的學習興趣.2.學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學.聰明在于學習,天才在于積累.學而優(yōu)則用,學而優(yōu)則創(chuàng).由薄到厚,由厚到薄.馬克思恩格斯要辨證而又唯物地了解自然,就必須熟悉數(shù)學.一門科學,只有當它成功地運用數(shù)學時,才能達到真正完善的地步.第一節(jié)華羅庚第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二第一章分析基礎函數(shù)極限連續(xù)函數(shù)與極限第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二

第一章二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)映射與函數(shù)第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負數(shù)的集.簡稱集簡稱元第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二無限區(qū)間點的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二是B的子集

,或稱B包含A,2.集合之間的關系及運算定義2

.則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關系:,,若設有集合記作記作必有第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二定義3

.

給定兩個集合A,B,并集交集且差集且定義下列運算:余集直積特例:記為平面上的全體點集或第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二二、映射某校學生的集合學號的集合按一定規(guī)則查號某班學生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座引例1.第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二引例2.引例3.(點集)(點集)向y

軸投影第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二定義4.設X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應,則稱

f

為從X

到Y

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定義域,對應規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二對映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義5.設數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為稱為值域函數(shù)圖形:自變量因變量第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二(對應規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

對應規(guī)律的表示方法:解析法、圖像法、列表法使表達式或?qū)嶋H問題有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對值函數(shù)定義域值域?qū)o實際背景的函數(shù),書寫時可以省略定義域.對實際問題,書寫函數(shù)時必須寫出定義域；第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二例4.

已知函數(shù)解:及寫出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二2.函數(shù)的幾種特性設函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界.(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).(見P11)第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時,則當必有例如,偶函數(shù)第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二又如,奇函數(shù)說明:

給定則偶函數(shù)奇函數(shù)第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二3.反函數(shù)與復合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在一新映射習慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).,其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):使其中第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關于直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關于直線對稱.指數(shù)函數(shù)第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二(2)復合函數(shù)則設有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復合函數(shù)

,①②u

稱為中間變量.注意:

構成復合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:但可定義復合函數(shù)時,雖不能在自然域R下構成復合函數(shù),可定義復合函數(shù)當改第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二兩個以上函數(shù)也可構成復合函數(shù).例如,可定義復合函數(shù):約定:為簡單計,書寫復合函數(shù)時不一定寫出其定義域,

默認對應的函數(shù)鏈順次滿足構成復合函數(shù)的條件.第25頁，共26頁，2023年，2月20日，星期二4.