高考數(shù)學(xué)重點難點06函數(shù)值域及求法

高中數(shù)學(xué)難點6函數(shù)值域及求法

函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求

值域的各種方法，并會用函數(shù)的值域解決實際應(yīng)用問題.

?難點磁場

(★★★★★)設(shè)m是實.數(shù)，記M={mm>1}J(x)=log3(/一4mx+4，〃2+m+―5—).

(1)證明：當(dāng)"GM時，式了)對所有實數(shù)都有意義；反之，若Ax)對所有實數(shù)x都有意義,

則m^M.

(2)當(dāng)wWM時，求函數(shù)人x)的最小值.

(3)求證：對每個mEM,函數(shù)/U)的最小值都不小于1.

?案例探究

［例1］設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cmL畫面的寬與高的比為/<1),畫面

的上、下各留8cm的空白，左右各留5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳

畫所用紙張面積最?。咳绻?e月以/為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積

最小？

命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問題，同時考查運(yùn)用所學(xué)知識

解決實際問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識.

錯解分析：證明s(4)在區(qū)間［42」3］上的單調(diào)性容易出錯，其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化

為函數(shù)的最.值問題來解決.

技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問

題來解決.

解:設(shè)畫面高為xcm,寬為/xcm,則八/=4840,設(shè)紙張面積為Scm),則S=(x+16)(，x+10)=

Ax2+(16A+10)x+160,將x=22可代入上式得:S=5000+44V10(871+於),當(dāng)8VI=-J

VAJ/tV/

即4二京(〈1)時S取得最小值.此時高：x=cm,寬：^x=|-X88=55cm.

如果可23設(shè)女2W心工則3由S的表達(dá)式得：

3434

—44V10(>^^7-)(8—I')

255

二故8一二=>0,

387^2

一23

???S(L)—5(共2)〈0,???5(4)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

從而對于4W［42，3］,當(dāng)兒=24時，S(4)取得最小值.

343

答：畫面高為88cm,寬為55cm時，所用紙張面積最小.如果要求才e［W，］,當(dāng)兒=W

343

時，所用紙張面積最小.

［例2］已知函數(shù)/(x)=x+2x+°［1,4-0°)

X

(1)當(dāng)4=g時，求函數(shù)lX)的最小值.

(2)若對任意Xd［1,+8)<外>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以

及運(yùn)算能力，屬*★★★級題目.

知識依托：本題主要通過求大x)的最值問題來求。的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分

類討論的思想.

錯解分析：考生不易考慮把求”的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

技巧與方法：解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把大x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分

類討論思想解得.

(1)解：當(dāng)。=工時，/)=*+1-+2

22x

,.?/(X)在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)，

7

...人X)在區(qū)間［1,+8)上的最小值為犬1)=—.

(2)解法一：在區(qū)間［1,+8)上，/)=廠+2*+">0恒成立of+2r+a>0恒成立.

X

設(shè)y=f+2v+a/￡E1,+°°)

y=x2+2x+r/=(x+1)2+tz—1遞增，

???當(dāng)41時，ymin=3+〃,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+〃>0時，函數(shù)人戲>0恒成立，故〃>一3.

解法二：Ax)=x+-+2^&El,+°°)

X

當(dāng)a20時，函數(shù)/(x)的值恒為正；

當(dāng)。<0時，函數(shù)段)遞增,故當(dāng)x=l時，段)min=3+a,

當(dāng)且僅當(dāng)式x)min=3+a>0時，函數(shù)人x)>0恒成立，故a>一3.

?錦囊妙計

本難點所涉及的問題及解決的方法主要有：

(1)求函數(shù)的值域

此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、

換元法、不等式法等.無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域.

(2)函數(shù)的綜合性題目

此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目.

此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力.在今

后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強(qiáng).

(3)運(yùn)用函數(shù)的值域解決實際問題

此類問題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學(xué)知識去解決.此類題要求考

生具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力.

?殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.（★★★★）函數(shù)產(chǎn)/+1aw—L）的值域是（）

x2

77

A.（—00,——]B,[――,+0°）

44

C.[—,+~）D.（-~,--V2]

22

2.（*"***）函數(shù)），=x+7T^7的值域是（）

A.（—0°,1]B.（—°°,—1]

C.RD.[1,+8）

二、填空題

3.（*****）一批貨物隨17列貨車從A市以V千米/小時勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵

路線長400千米，為了安全，兩列貨車間距離不得小于（《）2千米,那么這批物資全部運(yùn)

到B市，最快需要小時（不計貨車的車身長）.

4.（★★★★★）設(shè)樸X2為方程4/-4mx+〃?+2=0的兩個實根，當(dāng)m=時,xj+x??

有最小值__________.

三、解答題

5.（*****）某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時，固定成本為5000元，而每生產(chǎn)100臺產(chǎn)品時直

接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函數(shù)為R（x）=5x

一萬元）（（）WxW5）,其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）

2

⑴把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；

（2）年產(chǎn)量多少時，企業(yè)所得的利潤最大？

（3）年產(chǎn)量多少時，企業(yè)才不虧本？

6.（****）已知函數(shù)/（x）=lg[（o2—Dx/a+Dx+l]

（1）若y（x）的定義域為（—8,+8）,求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若Ax）的值域為（-8,+8）,求實數(shù)。的取值范圍.

7.（*****）某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周

（按120個工時計算）生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺，且冰箱至少生產(chǎn)60臺.已知生產(chǎn)家

電產(chǎn)品每臺所需工時和每臺產(chǎn)值如下表：

家電名稱空調(diào)器彩電冰箱

工時

234

產(chǎn)值（千元）432

問每周應(yīng).生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？（以

千元為單位）

中，ZC=90°,以斜邊4B所在直線為軸將aABC旋轉(zhuǎn)一周生

成兩個圓錐，設(shè)這兩個圓錐的側(cè)面積之積為S”ZSABC的內(nèi)切圓面積為t己8C+C4=X

AB

（1）求函數(shù)氏0=且的解析式并求Ax）的定義域.

(2)求函數(shù)/U)的最小值

參考答案

難點磁場

⑴證明：先將7U)變形：/U)=log3［(X—2⑼2+切+_I_］,

m-\

當(dāng)時，加m)2+加+—!—>0恒成立，故人X)的定義域為R.

反之，若/U)對所有實數(shù)x都有意義，則只須x1—4加X+4/+/M+—?—>0,令dV0,即16勿」

m一1

—4(4"?2+m+—-—)<0,解得加>1,故mGM.

2

(2)解析：設(shè)u=x—4mx+4m+一!—,Vj=log3M是增函數(shù)，.,?當(dāng)u最小時，/(x)最小.

m-\

而M=(X—2fw)2+m+—-—，顯然，當(dāng)/二加時,u取最小值為加+—-—，此時/(2/n)=log3(m+—--)

m-\m-im-1

為最小值.

(3)證明：當(dāng)mGM時，m+―?—=(m—1)+—-—+123,當(dāng)且僅當(dāng)加=2時等號成立.

m—1in—1

/.Iog3(/n+—5-)2logs3=1.

nt-}

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：??加1=/在(―8,—1)上是減函數(shù)，機(jī)2=，在(一8,一！)上是減函數(shù)，

2X2

，產(chǎn)產(chǎn)在x￡(—8,一工)上為減函數(shù)，

x2

117

：.y=X2+——)的值域為［—―,+8).

x24

答案：B

/--------1一產(chǎn)

2.解析：令Vl-2x=々20),則戶——.

2

l-f21、

Vy=—-^+/=--(LD+1W1

22

J值域為(一8』］.

答案：A

一Q的士匚40°於V遣八/40016V、r—

一、3.解析：t=-----+16X(—)7V=------+------2206=8.

V20V400

答案：8

m+2222

4.解析：由韋達(dá)定理知：x1+x2=ni\X2=,*,?x?4-X2=(XI+x2)—2x\X2=m—+'=(加

42

i17i17

——)2——，又冗為實根，:.420..?.mW—1或加22,y-(m——)2——在區(qū)間(一81)

416416

上是減函數(shù)，在［2,+8)上是增函數(shù)又拋物線y開口向上且以?為對稱軸.故〃1=1時，

4

1

ymin=-?

答案：一1-

2

三、5.解：(1)利潤)，是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入K(x)與其總成本C(x)之

差，由題意，當(dāng)xW5時，產(chǎn)品能全部售出，當(dāng)x>5時，只能銷售500臺，所以

2

5x-一(°$+0.25x)(0<x<5)4.75x--x-0.5(04x45)

y=jI='2

(5x5--X52)-(0.5+0.25X)(X>5)12-0.25X(X>1)

I2

(2)在0WxW5時，)，=-Lx2+4.75x—0.5,當(dāng)x=-2=4/75(百臺)時，)，max=10.78125(萬

22a

元)，當(dāng)x>5(百臺)時，y<12-0.25X5=10.75(萬元)，

所以當(dāng)生產(chǎn)475臺時，利潤最大.

0<x<5(--

即要求\1或|>

(3)要使企業(yè)不虧本,2

-X2+4.75X-0.5>0I12-0.25X>0

121

解得52x24.75—J21.562510.1(百臺)或5Vx<48(百臺)時、即企業(yè)年產(chǎn)量在10

臺到4800臺之間時，，企業(yè)不虧本.

6.解：(1)依題意(J-1)》2+5+1口+1>0對一切xGR恒成立，當(dāng)下一1#0時，其充要

f2［、八儲>1或。<一1

條件是“-22，即51-

A=(fl+1)2-4(?2-l)<0la>-iKa<-l

a<-1或a>9.又a--1時，f(x)=O滿足題意，a=\時不合題意.故aW—I或a>為—

33

所求.

(2)依題意只要f=(屋-1)/+(4+1"+1能取到(0,+8)上的任何值，則/U)的值域為R,

故有卜~一1>0,解得又當(dāng)屋一1=0即。=1時，t=2x+l符合題意而a=-1時不合題

A>03

意，...iWaW』為所求.

3

7.解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別為x臺、y臺、z臺，由題意得：

x+y+Z=360①

111…

—x+—y+—z=120②

234

x>0j>0,z260.③

假定每周總產(chǎn)值為S千元，則S=4x+3y+2z,在限制條件①②③之下，為求目標(biāo)函數(shù)S的

最大值，由①②消去乙得y=360—3x.④

將④代入①得：x+(360—3x)+z=360,z=2x⑤

?.?z260,，x230..⑥

再將④⑤代入S中，得5=4x+3(360-3x)+2?2x,即S=-x+1080.由條件⑥及上式知，當(dāng)

x=30時，產(chǎn)值5最大，最大值為5=—30+108口1050(千元).得x=30分別代入④和⑤得y=360

-90=270,z=2X3060.

...每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器30臺，彩電270臺，冰箱60分，才能使產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值為

1050千元.

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