高等數(shù)學(xué)有理式的不定積分方法

高等數(shù)學(xué)有理式的不定積分方法第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二部分分式:第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二

有理函數(shù)積分法第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二如果有一個重實根,則的部分分式中一定包含下列形式的項部分分式之和:如果中包含因子時,則的部分分式中一定包含下列形式的項部分分式之和:第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二

例如將真分式分解成部分分式.

第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項積分第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二而最后一個積分可以用上上一節(jié)例6中的遞推公式.第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例1求解第一種方法:待定系數(shù)法，可以用如下的方法求出待定系數(shù).上式通分后得比較恒等式兩端同次冪的系數(shù)，得一方程組：第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二

從而解得故有

于是第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二

化簡并約去兩端的公因子后為得例2

求第二種方法(賦值法)第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二兩端去分母,得或比較兩端的各同次冪的系數(shù)及常數(shù)項，有解之得解第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)例解第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例3

求解即有即第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二用遞推公式求或第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二

總之,有理函數(shù)分解為多項式及部分分式之和以后,各個部分都能積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).此外,由代數(shù)學(xué)知道,從理論上說,多項式Q(x)總可以在實數(shù)范圍內(nèi)分解成為一次因式及二次因式的乘積,從而把有理函數(shù)分解為多項式與部分分式之和.因此,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).

但是,用部分分式法求有理函數(shù)的積分,一般說來計算比較繁,只是在沒有其它方法的情況下,才用此方法.例4

求解第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)例求解

原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二(1)三角有理式：

——由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)．三角函數(shù)有理式可記為2.三角函數(shù)有理式的不定積分(2)三角有理式的積分法：第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二令萬能替換公式：第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例4求解令，則第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二注（1）用萬能代換一定能將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分；（2）萬能代換不一定是最好的；（3）常用的將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分的代換方法（非“萬能的”）：1）若R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)，可取u=cosx

為積分變量；2）若R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)，可取u=sinx

為積分變量；3）若R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，可取u=tanx

為積分變量.第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例5求解第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例6求解第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二例7求解注第28頁，共30頁，2023年，2月20日，星期二3.某些根式的不定積分令令被積函數(shù)為簡單根式的有理式