完全平方公式

乘法公式第2課時一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容完全平方公式．2．內(nèi)容解析完全平方公式是具有特殊形式的兩個多項(xiàng)式相乘得到的一種特殊形式，即兩個數(shù)的和或差的平方，等于它們的平方和，加上或減去它們的積的2倍．完全平方公式的符號表示和語言表述解釋了公式的結(jié)構(gòu)特征．公式a±b2＝a2±2ab＋b2QUOTE中的字母a，b可以是具體的數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式乃至任何代數(shù)式．完全平方公式在代數(shù)中具有廣泛的應(yīng)用，它也是后續(xù)學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)，不僅對學(xué)生提高運(yùn)算速度、準(zhǔn)確率有較大作用，更是以后學(xué)習(xí)因式分解、分式運(yùn)算的重要基礎(chǔ)．完全平方公式是以多項(xiàng)式乘法與合并同類項(xiàng)的知識為基礎(chǔ)，通過一組特例的計算、比較、分析、歸納，抽象概括出一般結(jié)論，進(jìn)而通過符號推理獲得公式的符號表示及語言表述，其過程體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法，具有培養(yǎng)學(xué)生逐漸養(yǎng)成嚴(yán)密的邏輯推理能力的功能．為了進(jìn)一步了解平方差公式，可以利用QUOTEa±b2＝a2±2ab＋b2的幾何意義——面積，運(yùn)用表示面積的方法解釋完全平方公式，以便直觀地把握公式，體會數(shù)形結(jié)合思想．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：完全平方公式．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．目標(biāo)1理解完全平方公式，能用公式進(jìn)行計算．2經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進(jìn)而感受特殊到一般、數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的符號意識和幾何直觀觀念．2．目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志：學(xué)生能夠根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則推導(dǎo)出完全平方公式，把握完全平方公式的基本結(jié)構(gòu)與特征，會用符號表示，能用數(shù)學(xué)語言表述公式的內(nèi)容，當(dāng)字母表示具體的數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式時能正確使用公式進(jìn)行計算．達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志：學(xué)生掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、幾何解釋，學(xué)生在公式的探索過程中，經(jīng)歷“特例→歸納→猜想→證明”的知識發(fā)生過程，從而提高自身的推理能力，數(shù)感和符號感，真正理解公式的用公式的目的，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和推理能力．三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生剛接觸整式乘法公式，在對多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則的理解和運(yùn)用不很透徹，對完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的理解和掌握會有一定的難度．學(xué)生在應(yīng)用公式過程中經(jīng)常會出現(xiàn)的困難有：1公式中三個單項(xiàng)式的符號經(jīng)常出錯，正、負(fù)號的位置易混淆；2用于解釋完全平方公式的圖形的理解及用其推導(dǎo)完全平方公式正確性的時候，不會運(yùn)用面積法建立等式，從而對完全平方公式的正確性進(jìn)行驗(yàn)證．本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及公式的圖形驗(yàn)證方法的掌握．四、教學(xué)過程設(shè)計1．探究完全平方公式問題1計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律1＋22＝_______；2－22＝_______．師生活動：教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立計算，然后互相交流，得到結(jié)果．1＋22＝m＋2m＋2＝m2＋4m＋4；2－22＝m－2m－2＝m2－4m＋4．設(shè)計意圖：承前啟后，復(fù)習(xí)舊知，為本節(jié)內(nèi)容的引入作鋪墊；讓學(xué)生在每個算式的計算過程中進(jìn)一步鞏固多項(xiàng)式乘法法則，體會本節(jié)內(nèi)容與多項(xiàng)式乘法的關(guān)系．追問1：上述問題中原式有什么特點(diǎn)追問2：結(jié)果的項(xiàng)數(shù)和系數(shù)符號有什么特點(diǎn)師生活動：學(xué)生觀察并獨(dú)立思考，嘗試著進(jìn)行概括．發(fā)現(xiàn)原式是兩個數(shù)的完全平方，結(jié)果中有這兩個數(shù)的平方和，而2＝2·m·2，恰好是這兩個數(shù)乘積的二倍，12之間只差一個符號．設(shè)計意圖：以“探索”的形式安排的這4個題目，按照多項(xiàng)式的乘法法則計算，從而得到4個題目結(jié)果的共同點(diǎn)．問題2你能將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般化的式子表示出來嗎師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考后回答，相互補(bǔ)充得出：a＋b2＝a2＋2ab＋b2；a－b2=a2－2ab＋b2．設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會從特殊到一般的研究問題的方法．追問：你能推導(dǎo)出上述式子對任意的a，b都成立嗎師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則及合并同類項(xiàng)，可以推導(dǎo)出：a＋b2＝a＋ba＋b＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；a－b2＝a－ba－b＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2．對于a－b2＝a2－ab－ab＋b2，學(xué)生可能會利用已推導(dǎo)出的公式驗(yàn)證：a－b2＝[a＋－b2]＝a2＋2·a·－b＋b2＝a2－2ab＋b2，教師應(yīng)當(dāng)給予鼓勵．設(shè)計意圖：通過不同角度驗(yàn)證完全平方公式的正確性，讓學(xué)生學(xué)會辯證的看待問題，從而加深對公式的理解和對公式結(jié)構(gòu)的掌握，今后遇到該形式的多項(xiàng)式乘法時，可以正確地寫出結(jié)果．在推理論證猜想的過程中，體會“歸納——演繹”的基本思想方法．2．理解完全平方公式問題3我們將前面探究所得的式子a＋b2＝a2＋2ab＋b2；a－b2＝a2－2ab＋b2，稱之為乘法的完全平方公式，你能將完全平方公式用文字語言表述嗎師生活動：教師提出問題，學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組交流互相補(bǔ)充．若學(xué)生有困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)公式結(jié)構(gòu)特征：1等式左邊：兩數(shù)和或差的平方；2等式右邊：兩個數(shù)的平方和，加上或減去這兩數(shù)積的2倍．學(xué)生用自己的語言敘述這兩個公式：兩數(shù)和或差的平方，等于它們的平方和，加或減它們的積的2倍．設(shè)計意圖：讓學(xué)生將符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力；學(xué)生在用文字語言表述公式內(nèi)容時，可以加深對公式結(jié)構(gòu)特征的理解和掌握．練習(xí)下面各式的計算是否正確如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正1＋y2＝2＋y2； 2－y2＝2－y2；3－y2＝2＋2y＋y2； 4＋y2＝2＋y＋y2．師生活動：學(xué)生觀察、思考后回答問題，對錯誤的題目加以修改，如有答錯，其他同學(xué)給予及時的糾正，對于重點(diǎn)且易錯的環(huán)節(jié)教師在最后總結(jié)時進(jìn)行強(qiáng)調(diào)．教師對學(xué)生可能會出現(xiàn)的錯誤作及時的預(yù)防，1漏了乘積項(xiàng)；2等號右邊變成平方差；3乘積項(xiàng)符號和前面一致；4乘積項(xiàng)漏了系數(shù)2．設(shè)計意圖：通過觀察、對比，找出它們的異同，提高對公式的理解，增強(qiáng)對公式特點(diǎn)的掌握，消除知識的負(fù)遷移作用，杜絕錯誤的發(fā)生．問題4你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說明完全平方公式嗎圖圖2bbaaDEAHMCGBFbbbaa圖1師生活動：教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組交流，學(xué)生代表展示求解過程．若學(xué)生感到有困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶用面積說明平方差公式時關(guān)鍵是用a，b表示出圖中相關(guān)正方形和長方形矩形的面積，再找到它們的等量關(guān)系．通過圖1，可以看出大正方形的邊長是a＋b．還可以看出大正方形是由兩個小正方形和兩個矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和．陰影部分的正方形邊長是a，所以它的面積是a2；另一個小正方形的邊長是b，所以它的面積是b2；另外兩個矩形的長都是a，寬都是b，所以每個矩形的面積都是ab；大正方形的邊長是a＋b，其面積是a＋b2．于是就可以得出：a＋b2＝a2＋2ab＋b2．這正好符合完全平方公式．可以用相同的方法來研究圖2的幾何意義．如圖2，大正方形的邊長是a，它的面積是a2；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形，長都是a，寬都是b，所以它們的面積都是ab；正方形HCGM的邊長是b，其面積就是b2；正方形AFME的邊長是a－b，所以它的面積是a－b2．從圖中可以看出正方形AFME的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形HCGM的面積．就是a－b2＝a2－2ab＋b2，這也正好符合完全平方公式．設(shè)計意圖：教師提供多種模式，由學(xué)生選擇一種去解決．培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，開闊學(xué)生的思路．同時對滲透數(shù)形結(jié)合思想、換元思想，也是分散、分步突破本節(jié)的難點(diǎn)的第一個層次；正確引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時知識的正遷移，公式的幾何意義有利于學(xué)生對公式的直觀理解，在此過程中體會數(shù)形結(jié)合思想．3．應(yīng)用完全平方公式例1運(yùn)用完全平方公式計算：14m＋n2；2．師生活動：師生共同分析，引導(dǎo)學(xué)生分清題目中哪部分相當(dāng)于公式中的a，哪部分相當(dāng)于公式中的b，就是讓學(xué)生明確“公式中的a，b可表示數(shù)，也可表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式或其他的式子”的變化規(guī)律．在這個過程中教師要關(guān)注學(xué)生能否正確的利用完全平方公式計算，可提醒學(xué)生：第一步先選擇公式；第二步準(zhǔn)確代入公式；第三步化簡．設(shè)計意圖：具體體會公式在解題中的應(yīng)用，進(jìn)一步熟悉公式．例2運(yùn)用完全平方公式計算：11022；2992．師生活動：師生共同分析解答，教師板書．學(xué)生掌握了這種方法后，可讓同桌相互出題解答，再次體會公式的價值．設(shè)計意圖：這是體會公式“優(yōu)勢”的實(shí)例．讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般后，再體會從一般運(yùn)用到特殊，也就是當(dāng)公式中的項(xiàng)換成具體數(shù)字時仍適用，開闊學(xué)生的思維，學(xué)生對公式的理解也獲得了升華．問題5思考：a＋b2與－a－b2相等嗎a－b2與b－a2相等嗎a－b2與a2－b2相等嗎為什么師生活動：教師出示題目后，給學(xué)生一定的獨(dú)立思考的空間，然后小組之間進(jìn)行討論和交流，確定做法和答案后，在班級進(jìn)行展示，其他小組糾正、補(bǔ)充，全班達(dá)成一致后，教師做最后的歸納總結(jié)，讓學(xué)生在理論上得以提升．前兩對都相等，－a－b2轉(zhuǎn)化為[－a＋b]2的方法講評，力求人人過關(guān)．做了一些題目鞏固方法后，再嘗試讓學(xué)生歸納出用“同號得正，異號得負(fù)”的方法來驗(yàn)證結(jié)論中乘積項(xiàng)符號的正確性，第三對可以用做差法得到2b2－2ab，只有a＝b或b＝0才相等，學(xué)生答對即可，無須嚴(yán)格推導(dǎo)．設(shè)計意圖：通過式子間的互相轉(zhuǎn)化，不僅可以加深學(xué)生對知識間聯(lián)系的認(rèn)識，更可以提高學(xué)生靈活運(yùn)用公式解決問題的能力．練習(xí)1．計算：1a＋52；2y－72；33＋2；42－y2．設(shè)計意圖：給出一組簡單的習(xí)題，對照公式，如果學(xué)生掌握較好可以口答，讓學(xué)生結(jié)合具體問題牢記公式．2．計算：12＋3y2；2－2＋3y2；3；4．師生活動：選擇4名水平相當(dāng)?shù)膶W(xué)生進(jìn)行板演，其他學(xué)生自己練習(xí)，教師巡視檢查，及時給予點(diǎn)撥和糾正，學(xué)生檢查、修改完畢后，對板演同學(xué)題目的過程和結(jié)果進(jìn)行核對，糾錯，教師對產(chǎn)生的共性問題進(jìn)行解釋和強(qiáng)調(diào)．設(shè)計意圖：進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對法則的理解，由淺入深，循序漸進(jìn)的原則，分?jǐn)?shù)作為字母的系數(shù)，可以提高學(xué)生的識別能力和計算能力．3．在下列多項(xiàng)式中，哪些是由完全平方公式得來的1；2；3；4；5．設(shè)計意圖：靈活運(yùn)用所學(xué)知識，逆用完全平方公式，為因式分解和配方法打基礎(chǔ)．預(yù)案：例3若a＋b＝5，ab＝－6，求a2＋b2，a2－ab＋b2．設(shè)計意圖：提高學(xué)生運(yùn)用公式的靈活性、增強(qiáng)學(xué)生的思維張力．4．小結(jié)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容2完全平方公式結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程兩個方面總結(jié)自己