層次分析法演示

（優(yōu)選）層次分析法ppt講解現(xiàn)在是1頁\一共有110頁\編輯于星期五第九章層次分析在管理中，人們常常需要對一些情況作出決策：例如企業(yè)的決策者要決定購置哪種設(shè)備，上馬什么產(chǎn)品；經(jīng)理要從若干求職者中決定錄用哪些人員；地區(qū)、部門官員要對人口、交通、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等領(lǐng)域的發(fā)展規(guī)劃作出決策。在日常生活中也常會(huì)遇到，在多種類不同特征的商品中選購。報(bào)考學(xué)校選擇志愿。畢業(yè)時(shí)選擇工作崗位等。現(xiàn)在是2頁\一共有110頁\編輯于星期五這一系列的問題，單純靠構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型來求解的方法往往行不通，而用完全主觀的定奪也常常表現(xiàn)為舉棋不定，而最終選擇不理想，甚至不滿意的決策方案。面對這樣的問題，運(yùn)籌學(xué)者開始了對人們思維決策過程進(jìn)行分析、研究。第九章層次分析現(xiàn)在是3頁\一共有110頁\編輯于星期五美國運(yùn)籌學(xué)家，T.L.Saaty等人在九十年代提出了一種能有效處理這類問題的實(shí)用方法，稱之為層次分析法（AHP法）T.L.Saaty等曾把它用于電力工業(yè)計(jì)劃，運(yùn)輸業(yè)研究，美國高等教育事業(yè)1985-2000展望，1985年世界石油價(jià)格預(yù)測等方面。第九章層次分析現(xiàn)在是4頁\一共有110頁\編輯于星期五這種方法的特征：定性與定量相結(jié)合，把人們的思維過程層次化，數(shù)量化。AHP法作為一種決策方法是在1982年11月召開的中美能源、資源、環(huán)境學(xué)術(shù)會(huì)議上，有Saaty學(xué)生H.Gholamnezhad首先向中國介紹的。以后層次分析法在中國得到很大的發(fā)展，很快應(yīng)用到能源系統(tǒng)分析，城市規(guī)劃，經(jīng)濟(jì)管理科研成果評價(jià)的許多領(lǐng)域。第九章層次分析現(xiàn)在是5頁\一共有110頁\編輯于星期五§9.1層次分析法的基本步驟

運(yùn)用AHP法進(jìn)行決策時(shí)，大體可以分為4個(gè)步驟進(jìn)行：（1）

分析系統(tǒng)中各個(gè)因素的關(guān)系，建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)；（2）

對同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準(zhǔn)則的重要性進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；第九章層次分析現(xiàn)在是6頁\一共有110頁\編輯于星期五（3）

由判斷矩陣計(jì)算被比較元素對于該準(zhǔn)則的相對權(quán)重；（4）

計(jì)算各層元素對系統(tǒng)目標(biāo)的合成權(quán)重，并進(jìn)行排序。第九章層次分析現(xiàn)在是7頁\一共有110頁\編輯于星期五一、建立層次分析的結(jié)構(gòu)模型：用AHP分析問題，首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造層次分析的結(jié)構(gòu)模型。這些層次大體上可分為3類：1、最高層：在這一層次中只有一個(gè)元素，一般是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此又稱目標(biāo)層；第九章層次分析現(xiàn)在是8頁\一共有110頁\編輯于星期五2、中間層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可由若干個(gè)層次組成，包括所需要考慮的準(zhǔn)則，子準(zhǔn)則，因此又稱為準(zhǔn)則層；3、最底層：表示為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策、方案等，因此又稱為措施層或方案層。層次分析結(jié)構(gòu)中各項(xiàng)稱為此結(jié)構(gòu)模型中的元素。第九章層次分析現(xiàn)在是9頁\一共有110頁\編輯于星期五決策目標(biāo)準(zhǔn)則1方案1準(zhǔn)則m1準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則1方案2子準(zhǔn)則2方案mr子準(zhǔn)則m2…………………方案層準(zhǔn)則層目標(biāo)層第九章層次分析現(xiàn)在是10頁\一共有110頁\編輯于星期五

注：層次之間的支配關(guān)系不一定是完全的，即可以有元素（非底層元素）并不支配下一層次的所有元素而只支配其中部分元素。這種自上而下的支配關(guān)系所形成的層次結(jié)構(gòu)，我們稱之為遞階層次結(jié)構(gòu)。遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及分析的詳盡程度有關(guān)，一般可不受限制。

第九章層次分析現(xiàn)在是11頁\一共有110頁\編輯于星期五為了避免由于支配的元素過多而給兩兩比較判斷帶來困難，每層次中各元素所支配的元素一般地不要超過9個(gè)，若多于9個(gè)時(shí)，可將該層次再劃分為若干子層。例1、某顧客選購電冰箱時(shí)，對市場上正在出售的四種電冰箱考慮6項(xiàng)準(zhǔn)則作為評價(jià)依據(jù)，得到如下層次分析模型：第九章層次分析現(xiàn)在是12頁\一共有110頁\編輯于星期五目標(biāo)層：準(zhǔn)則層：方案層：第九章層次分析現(xiàn)在是13頁\一共有110頁\編輯于星期五例2、選擇科研課題：某研究單位現(xiàn)有3個(gè)科研課題，限于人力物力，只能承擔(dān)其中一個(gè)課題，如何選擇？考慮下列因素：成果的貢獻(xiàn)大小，對人材培養(yǎng)的作用，課題可行性。在成果貢獻(xiàn)方面考察：應(yīng)用價(jià)值及科學(xué)第九章層次分析現(xiàn)在是14頁\一共有110頁\編輯于星期五意義（理論價(jià)值，對某科技領(lǐng)域的推動(dòng)作用）；在課題可行性方面考慮：難易程度（難易程度與自身的科技力量的一致性），研究周期（預(yù)計(jì)需要花費(fèi)的時(shí)間），財(cái)政支持（所需經(jīng)費(fèi)，設(shè)備及經(jīng)費(fèi)來源，有關(guān)單位支持情況等）。第九章層次分析現(xiàn)在是15頁\一共有110頁\編輯于星期五目標(biāo)層合理選擇科研課題A成果貢獻(xiàn)B1人才培養(yǎng)B2課題可行性B3課題D1課題D2課題D3應(yīng)用價(jià)值

c1科學(xué)意義

c2難易程度c3研究周期c4財(cái)政支持c5第九章層次分析方案層準(zhǔn)則層現(xiàn)在是16頁\一共有110頁\編輯于星期五例3、設(shè)某港務(wù)局要改善一條河道的過河運(yùn)輸條件，為此需要確定是否要建立橋梁或隧道以代替現(xiàn)有輪渡。此問題中過河方式的確定取決于過河方式的效益與代價(jià)（即成本）。通常我們用費(fèi)效比（效益/代價(jià)）作為選擇方案的標(biāo)準(zhǔn)。為此構(gòu)造以下兩個(gè)層次分析的結(jié)構(gòu)模型。第九章層次分析現(xiàn)在是17頁\一共有110頁\編輯于星期五準(zhǔn)則層過河的效益A經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益B2環(huán)境效益B3橋梁D1隧道D2渡船D3收入

c2岸間商業(yè)c3節(jié)省時(shí)間c1當(dāng)?shù)厣虡I(yè)c4建筑就業(yè)c5安全可靠c6交往溝通c7自豪感c8舒適c9進(jìn)出方便c10美化c11第九章層次分析方案層目標(biāo)層現(xiàn)在是18頁\一共有110頁\編輯于星期五過河的代價(jià)A經(jīng)濟(jì)代價(jià)B1社會(huì)代價(jià)B2環(huán)境代價(jià)B3橋梁D1投入資金c1操作維護(hù)c2沖擊渡船業(yè)c3沖擊生活方式c4交通擁擠c5居民搬遷

c6汽車排廢物c7對水的污染c8對生態(tài)的破壞c9隧道D2渡船D3第九章層次分析目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層現(xiàn)在是19頁\一共有110頁\編輯于星期五二、構(gòu)造判斷矩陣：上、下層之間關(guān)系被確定之后，需確定與上層某元素Z（目標(biāo)A或某個(gè)準(zhǔn)則Z）相聯(lián)系的下層元素（x1，x2，…，xn)各在上層元素Z之中所占的比重。

方法：每次取2個(gè)元素，如xi，xj，以aij表示xi和xj對Z的影響之比。這里得到的A=(aij)n×n稱為兩兩比較的判斷矩陣。第九章層次分析現(xiàn)在是20頁\一共有110頁\編輯于星期五Saaty建議用1~9及其倒數(shù)做為標(biāo)度來確定aij的值，1~9比例標(biāo)度的含義：

xi比xj強(qiáng)（重要）的程度

xi/xj相等稍強(qiáng)強(qiáng)很強(qiáng)絕對強(qiáng)

aij1234567891~9標(biāo)度的理由：兩兩比較的心理習(xí)慣，顯然，判斷矩陣A的元素有如下特征：第九章層次分析現(xiàn)在是21頁\一共有110頁\編輯于星期五1°aij>02°aji=1/aij3°aii=1

我們稱判斷矩陣A為正互反矩陣。

第九章層次分析現(xiàn)在是22頁\一共有110頁\編輯于星期五

例如在例2中，準(zhǔn)則層B對目標(biāo)層作因素兩兩比較，并可建立下面判斷矩陣：

B1：B2為3B1：B3為1認(rèn)為人才培養(yǎng)比另二項(xiàng)稍重要，另二項(xiàng)差不多相同重要。第九章層次分析現(xiàn)在是23頁\一共有110頁\編輯于星期五判斷矩陣

B1

B2

B3

B1131A=

B2

1/311/3

B3

131第九章層次分析現(xiàn)在是24頁\一共有110頁\編輯于星期五三、單一準(zhǔn)則下元素相對排序權(quán)重計(jì)算及判斷矩陣一致性檢驗(yàn)：1、單一準(zhǔn)則下元素排序：求判斷矩陣A的最大特征值λmax及標(biāo)準(zhǔn)化（歸一化）的特征向量W。W的向量為同一層次中相應(yīng)元素對于上一層次中某個(gè)因素相對重要性的排序權(quán)重。有wi>0，i，。第九章層次分析現(xiàn)在是25頁\一共有110頁\編輯于星期五在構(gòu)造判斷矩陣時(shí)，各層元素間兩兩比較時(shí)，aij應(yīng)有某種傳遞性質(zhì)，即若甲比乙重要，乙比丙重要，合理地應(yīng)有甲比丙更重要，在數(shù)值上表示為aij·ajk=aik即若xi與xj相比aij=3，xj與xk相比ajk=2，那么有傳遞性的判斷應(yīng)xj與xk相比，ajk=6。第九章層次分析現(xiàn)在是26頁\一共有110頁\編輯于星期五

2、判斷矩陣的一致性概念：

判斷矩陣是各元素均為正數(shù)的矩陣這種正矩陣有下列重要性質(zhì)。第九章層次分析現(xiàn)在是27頁\一共有110頁\編輯于星期五定理⒈設(shè)n階方陣A為正矩陣，

λmax為A的最大模特征值，u=（u1，u2，…，un)T為λmax的相應(yīng)特征向量。ⅰ、λmax

>

0，ui>0，i=1，2，…，nⅱ、λmax是單特征根；（因此u除差一常數(shù)因子外是唯一的）ⅲ、A的任何其它特征值λ，有λmax>|λ|。第九章層次分析現(xiàn)在是28頁\一共有110頁\編輯于星期五定義：若正互反矩陣A滿足aij·ajk=aik

i，j，k=1，2，…，n則稱A為一致陣。一致陣的重要性質(zhì)：設(shè)A是一致陣，1°A的轉(zhuǎn)置亦是一致陣；

∵

aij=1/aji，aij=1，i，j=1，2，…n；由定義aij·ajk=aik則顯然第九章層次分析現(xiàn)在是29頁\一共有110頁\編輯于星期五2°A的每一行均為任意指定的另一行的正數(shù)倍，從而A的秩為1。（即只有一個(gè)非零特征值，其余n-1個(gè)為0特征值）；考慮第ⅰ行元素ai1，ai2，…，ain對于第k行元素ak1，ak2，…，akn

j=1，2，…，n，

aij=aik·akj即第ⅰ行各元素分別為第k行各元素的aik倍。

第九章層次分析現(xiàn)在是30頁\一共有110頁\編輯于星期五3°A的最大特征根λmax=

n，其余特征根皆為零；4°設(shè)u=(u1，u2，…，un)T是A對應(yīng)λmax的特征向量，則aij=ui/uj

i，j=1,2,…,n容易驗(yàn)證：對于n及向量u=(u1，u2，…，un)T若aij=ui/uj

ij則

Au=nu(i，)又由定理1及性質(zhì)2°可知λmax=n，u滿足4°

第九章層次分析現(xiàn)在是31頁\一共有110頁\編輯于星期五5°若A為判斷矩陣，那么A對應(yīng)于λmax

=n

的標(biāo)準(zhǔn)化（歸一化）特征向量u=(u1，u2，…，un)T就是一組排序權(quán)向量。（歸一化）由性質(zhì)4°即知。1.2進(jìn)一步地有如下定理定理2、n階正互反矩陣A=（aij)n×n是一致陣的充分必要條件為λmax=n第九章層次分析現(xiàn)在是32頁\一共有110頁\編輯于星期五Proof:

“必要性”即是上面性質(zhì)3°已證

“充分性”設(shè)A的最大特征值為λmax，相應(yīng)特征向量u=(u1，…，un)T

Au=λmaxu

分量形式：對i=1，2，…，n由定理1知ui>0，于是λmax=注意aij=1，λmax-1=aijuj

/ui

第九章層次分析現(xiàn)在是33頁\一共有110頁\編輯于星期五求和（把i=1，…，n的各式相加）：nλmax-n=aijuj

/ui

注意aji=1/aij

整理上式得：nλmax-n=(aijuj

/ui+1/aijuj

/ui)……()第九章層次分析*現(xiàn)在是34頁\一共有110頁\編輯于星期五()式末端=n2-n=n(n-1)注意：當(dāng)x>0時(shí)x+(1/x)≥2當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立。于是：aij(uj

/ui

)+(1/aij)(

uj

/ui)

≥2()式右端≥·2=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=n(n-1)=左端當(dāng)且僅當(dāng)aij(uj/ui)=1時(shí)等號成立第九章層次分析**現(xiàn)在是35頁\一共有110頁\編輯于星期五∴aij(uj/ui

)即aijajk=(ui/uj)·(uj/uk)=uj/uk=ajk故A是一致陣。由于客觀事物的復(fù)雜性與人的認(rèn)識的多樣性，我們得到的判斷矩陣常常不具有傳遞性和一致性，但應(yīng)該要求這些判斷大體是一致的。當(dāng)判斷矩陣過于偏離一致性時(shí)，它的可靠性值得懷疑，為此需對判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。第九章層次分析現(xiàn)在是36頁\一共有110頁\編輯于星期五一致性檢驗(yàn)步驟：ⅰ、計(jì)算一致性指標(biāo)C.I.=(λmax-n)/(n-1)(ConsisTeneyIndex)ⅱ、查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.(RandomIndex)1~15階正互反矩陣計(jì)算1000次得到的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)：

矩陣階數(shù)12345678

R.I.000.520.891.121.261.361.41第九章層次分析現(xiàn)在是37頁\一共有110頁\編輯于星期五矩陣階數(shù)9101112131415

R.I.

1.461.491.521.541.561.581.59計(jì)算：R.I.=(λmax-n)/(n-1)，λmax為m次判斷矩陣λmax的平均值。λmax產(chǎn)生方法：取定階數(shù)n，隨機(jī)構(gòu)造正互反矩陣?=（?ij)n×n，?ij在1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9這17個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取，第九章層次分析現(xiàn)在是38頁\一共有110頁\編輯于星期五(只需取n(n-1)/2個(gè)，對角元為1，其余按正互反性得到）取充分大的子樣計(jì)算所有?的最大特征值，然后求平均即為λmax

。ⅲ、計(jì)算一致性比率C.R.(consistencyratio)

C.R.=C.I./R.I.當(dāng)C.R.<0.1時(shí)認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可接受的。當(dāng)C.R.≥0.1時(shí)應(yīng)修正判斷矩陣。第九章層次分析現(xiàn)在是39頁\一共有110頁\編輯于星期五例如對前面矩陣131

A=1/311/3131計(jì)算出λmax=3歸一化向量u=(3/7，1/7，3/7)T

C.I.=(λmax-3)/(3-1)=0∴C.R.=0是一致陣。第九章層次分析現(xiàn)在是40頁\一共有110頁\編輯于星期五例：125

A=1/2171/51/71計(jì)算出λmax=3.1189，u=(0.5415，0.3816，0.0761)T

C.I.=（3.1189-3）/（3-1）=0.05945查表得R.I.=0.52

C.R.=0.05945/0.52=0.1143≥0.1，應(yīng)修正判斷矩陣第九章層次分析現(xiàn)在是41頁\一共有110頁\編輯于星期五四、計(jì)算各層元素對目標(biāo)層的總排序權(quán)重：

層次總排序過程：計(jì)算同一層次所有因素對于最高層（總目標(biāo)）相對重要性的排序權(quán)值。

從最高層到底層逐層進(jìn)行：設(shè)已算出第k-1層上nk-1個(gè)元素相對于總目標(biāo)的排序?yàn)?/p>

w(k-1)=(w1(k-1)，w2(k-1)，…，w

n

(k-1))T第九章層次分析K-1現(xiàn)在是42頁\一共有110頁\編輯于星期五第k層nk個(gè)元素對于第k-1層上第j個(gè)元素為準(zhǔn)則的單排序向量

uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un

j(k))T

j=1，2，…nk-1其中不受第j個(gè)元素支配的元素權(quán)重取零，于是可得到nk×nk-1階矩陣

u11(k)

u12(k)…

u1n

(k)

U(k)=u21(k)

u22(k)…u2n

(k)

………………

un1(k)

un2(k)…unn(k)第九章層次分析kkkkk-1k-1k-1現(xiàn)在是43頁\一共有110頁\編輯于星期五第k層上各元素對總目標(biāo)的總排序w(k)為：

w(k)=(w1(k)，w2(k)，…，wn(k))T

w(k)=U(k)w(k-1)分量形式：wi(k)=uij(k)wj(k-1)

i=1，2，…，n于是可得到公式:w(k)=U(k)U(k-1)…U(3)w(2)w(2)為第二層上元素對目標(biāo)的排序（即是單層排序）第九章層次分析k現(xiàn)在是44頁\一共有110頁\編輯于星期五各層總排序的一致性檢驗(yàn)：由高層向下，逐層進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)第k層中某些因素對k-1層第j個(gè)元素單排序的一致性指標(biāo)為C.I.j(k)，平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為R.I.j(k)，(k層中與k-1層的第j個(gè)元素?zé)o關(guān)時(shí)，不必考慮)，那么第k層的總排序的一致性比率為：

C.R.(k)=[]/[]第九章層次分析現(xiàn)在是45頁\一共有110頁\編輯于星期五當(dāng)C.R.(k)<0.1時(shí)認(rèn)為第k層，層次總排序具有滿意的一致性。第九章層次分析現(xiàn)在是46頁\一共有110頁\編輯于星期五

§9.2幾個(gè)問題的處理方法一、求正互反矩陣的最大特征值及相應(yīng)特征向量：1、冪法由于§9.1定理1知正互反矩陣的最大特征值λmax是單重特征值，且對任意其它特征值λ有λmax>∣λ∣。冪法一致產(chǎn)生，使得，其它λ≈0第九章層次分析現(xiàn)在是47頁\一共有110頁\編輯于星期五冪法是處理這類矩陣求最大特征值及特征向量的一個(gè)簡單而有效的方法。⑴冪法原理：設(shè)n階矩陣A的特征值為λ1，λ2，…，λn有如下性質(zhì)：

∣λ1∣>

∣λ2∣≥∣λ3∣≥…∣λn∣有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量u1，u2，…，un

x(0)∈Rn，則可表示為x(0)=αiui第九章層次分析現(xiàn)在是48頁\一共有110頁\編輯于星期五利用迭代公式x(k+1)=Ax(k)

k=0，1，…得到點(diǎn)列{x(0)，x(1)，x(2)，…}顯然，x(k+1)=A(k)x0

=Akαiui=αiAkui

=αiλikui

=λik[αiui+αi(λi

/λ1)kui]

第九章層次分析現(xiàn)在是49頁\一共有110頁\編輯于星期五由于∣λi/λ1∣<1，i=2，3，…，n當(dāng)k充分大時(shí)有Akx(0)≈λ1k

α1u1于是(Ak+1x(0))i/(Akx(0))i≈λ1

i=1，2，…，n特別地，當(dāng)(Akx(0))j=1時(shí)(Ak+1x(0))j≈λ1

Ak+1x(0)即為特征向量。第九章層次分析現(xiàn)在是50頁\一共有110頁\編輯于星期五例：131

A=1/311/3取初始向量x=(1，0，0)T

131ix1x2x3y1y2y3

α01001001111/3111/311231311/313331311/313第九章層次分析現(xiàn)在是51頁\一共有110頁\編輯于星期五

第九章層次分析λmax=3，u=(3，1，3)T歸一化：w=(3/7，1/7，3/7)T

現(xiàn)在是52頁\一共有110頁\編輯于星期五⑵、實(shí)用方法第九章層次分析x>0，且最大分量α=maxxi，ε>0，1inα=βy=(1/α)xx=Ay，β=maxxi1in∣β-α∣<ε?停特征值β特征向量xNOyes現(xiàn)在是53頁\一共有110頁\編輯于星期五此法當(dāng)矩陣一致性較好時(shí)，收斂很快。在實(shí)用上常用下面的一些更為簡單的方法（僅對近似一致性矩陣適應(yīng)）。2、方根法：步驟：ⅰ、求Mi=(aij)1/n

i=1，2，…，nⅱ、標(biāo)準(zhǔn)化（歸一化）：Wi=Mi/Mjⅲ、λmax=（1/n）(AW)i/Wi

第九章層次分析現(xiàn)在是54頁\一共有110頁\編輯于星期五EX.131M1==1.4422

A=1/311/3M2==0.4807131M3==1.4422

w1=0.4286歸一化：

w2=0.1428

w3=0.4286Aw=(1.2856，0.4285，1.2856)Tλmax=2.9999第九章層次分析現(xiàn)在是55頁\一共有110頁\編輯于星期五3、和積法：步驟：ⅰ、求（每列歸一化）bij=aij/akj

i，j=1，2…nⅱ、行求和Mi=bij

i=1，2，…，n再歸一化：Wi=Mi/Mji=1，2，……，nⅲ、λmax=(1/n)(AW)i/Wi

第九章層次分析現(xiàn)在是56頁\一共有110頁\編輯于星期五例：131ⅰ3/73/73/7ⅱM1=9/7

A=1/311/3B=1/71/71/7M2=3/71313/73/73/7M3=9/7

Mj=3

w2=1/7Aw=(9/7，3/7，9/7)Tw3=3/7λmax=3顯然，當(dāng)A是一致陣時(shí)，λmax=n，對歸一化的waij=wi/wj

第九章層次分析∴w1=3/7?，F(xiàn)在是57頁\一共有110頁\編輯于星期五方根法：Mi=(aij)1/n=Wi/SS=(Wj)1/n

i=1，2，…，n歸一化后w即為(w1，w2，…，wn)T

λmax=(1/n)(Aw)i/wi(Aw=nw)=n2/n=n第九章層次分析現(xiàn)在是58頁\一共有110頁\編輯于星期五和積法：

akj=wk/wjbij=aij/akj=wi/wkMi=bij=(nwi)/wk

歸一化后w即為(w1，w2，…，wn)T同理λmax=n當(dāng)A近似一致陣時(shí)，這些量是近似的。例：125

A=1/2131/51/31第九章層次分析現(xiàn)在是59頁\一共有110頁\編輯于星期五用冪法：取x(0)=(1，0，0)T

kx1x2x3

αy1y2y301001100110.50.2110.50.2231.60.566731.5333.188933.01111.60.56673.01111.5314.188243.00371.59590.56533.00371.5313.188253.00371.59590.56533.0037第九章層次分析現(xiàn)在是60頁\一共有110頁\編輯于星期五λmax=3.0037C.I.=(λmax-3)/(3-1)=0.00185C.R.=C.I./R.I.=0.00185/0.52=0.0036滿足一致陣要求

。u=(3.0037，1.5959，0.5653)T歸一化得：w=(0.5816，0.3090，0.1094)T第九章層次分析現(xiàn)在是61頁\一共有110頁\編輯于星期五用方根法：ⅰ、M1===2.1544

M2==1.1447

M3==0.4055ⅱ、歸一化：M1+M2+M3=3.7046

w1=2.1544/3.7046=0.5815

w2=1.1447/3.7046=0.3090

w3=0.4055/3.07046=0.1095

w=(0.5815，0.3090，0.1095)T第九章層次分析3333現(xiàn)在是62頁\一共有110頁\編輯于星期五ⅲ、Aw=(1.7470，0.9283，0.3388)T11.74700.92830.328830.58150.30900.1095

3.0037第九章層次分析max=++=現(xiàn)在是63頁\一共有110頁\編輯于星期五用和積法：ⅰ、1250.58820.60.5556

A=1/213B=0.29410.30.33331/51/310.11770.10.1111ⅱ、行求和M=(1.7438，0.9274，0.3288)T

M1+M2+M3=3歸一化：w=(0.5813，0.3091，0.1096)T第九章層次分析列歸一化現(xiàn)在是64頁\一共有110頁\編輯于星期五ⅲ、Aw=(1.7475，0.9286，0.3289)T11.74750.92860.328930.58130.30910.1096

3.0038第九章層次分析max=++=現(xiàn)在是65頁\一共有110頁\編輯于星期五二、殘缺判斷與群組決策：1、殘缺判斷及處理方法：應(yīng)用AHP進(jìn)行決策時(shí)，每個(gè)準(zhǔn)則應(yīng)有一個(gè)判斷矩陣，需進(jìn)行[n(n-1)]/2次兩兩比較(判斷矩陣的上或下三角)。當(dāng)層次很多，因素復(fù)雜時(shí)，判斷量很大，可能出現(xiàn)某個(gè)參與決策的專家對某些判斷缺少把握，或不想發(fā)表意見，使判斷矩陣殘缺。第九章層次分析現(xiàn)在是66頁\一共有110頁\編輯于星期五⑴可接受的殘缺判斷矩陣若任一殘缺元素都可通過已給出的元素間接獲得的殘缺判斷矩陣。根據(jù)一致性的條件：間接獲得的元素指，若aij缺少可由aij=aikakj或更一般地aij=aikakkakk…akj得到。第九章層次分析11232s現(xiàn)在是67頁\一共有110頁\編輯于星期五⑵可接受的殘缺矩陣的排序向量計(jì)算常用的有特征根方法，對數(shù)最小二乘法及最小偏差法等。特征根法：設(shè)A對應(yīng)λmax的特征向量w=(w1，w2，…，wn)T由一致性條件知aij=wi/wj，特征根法即把缺少的的元素用wi/wj來替代。第九章層次分析現(xiàn)在是68頁\一共有110頁\編輯于星期五設(shè)原判斷矩陣A=(aij)n×n構(gòu)造輔助矩陣

C=(cij)n×n使cij=aij,aij≠0

wi/wj,aij=0例：設(shè)

120

A=1／212是可接受的殘缺矩陣01／21第九章層次分析現(xiàn)在是69頁\一共有110頁\編輯于星期五輔助矩陣

12w1／w3

C=1/212

w1／w3

1/21解特征根問題：cw=maxw展開：左=（2w1+2w2，1/2w1+w2+2w3，1/2w2+2w3)T=max(w1,w2,w3)T解得：max=3w=(0.5714，0.2857，,0.1429）T第九章層次分析現(xiàn)在是70頁\一共有110頁\編輯于星期五可以看出:C的特征值問題等價(jià)于

220

ā=1/21201/22

的特征值問題（Aw=maxw與Cw=maxw相同）第九章層次分析現(xiàn)在是71頁\一共有110頁\編輯于星期五故只需求下列矩陣的特征值及特征向量ā

=(aij)n×n

aij當(dāng)aij≠0，i≠jaij=

0當(dāng)aij=0mi+1當(dāng)i≠j時(shí)，mi為第i行中殘缺元素的個(gè)數(shù)求解ā

w=maxw可得不完整信息下的排列向量第九章層次分析現(xiàn)在是72頁\一共有110頁\編輯于星期五(3)一致性檢驗(yàn)：

max-n

C.I.=

(n-1)-（）

當(dāng)C.R.=C.I./R.I.<0.1時(shí)認(rèn)為有滿意的一致性。第九章層次分析現(xiàn)在是73頁\一共有110頁\編輯于星期五2.群組決策：

為使決策科學(xué)化、民主化，一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)通常是由多個(gè)決策者（專家）或決策部門參與決策的。群組決策問題是指采取一定的方法以使決策者的決策綜合成一個(gè)較合理的結(jié)果的過程。

第九章層次分析現(xiàn)在是74頁\一共有110頁\編輯于星期五應(yīng)做好如下工作：⑴重視并做好專家咨詢工作；ⅰ、合理選擇咨詢對象；（專長及熟悉的領(lǐng)域）ⅱ、創(chuàng)造適合于咨詢工作的良好環(huán)境；（介紹AHP方法，提供信息，獨(dú)立思考）ⅲ、正確的咨詢方法；（通過咨詢確定遞階層次結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)好表格）

第九章層次分析現(xiàn)在是75頁\一共有110頁\編輯于星期五ⅳ、及時(shí)分析專家咨詢信息，必要時(shí)要進(jìn)行反饋及多輪次咨詢⑵群組決策綜合分析方法：兩類方法：Ⅰ、將各專家的判斷矩陣綜合，得到綜合判斷矩陣，再計(jì)算排序。第九章層次分析現(xiàn)在是76頁\一共有110頁\編輯于星期五Ⅱ、先求各專家判斷矩陣的排序向量，再綜合成群組排序向量。設(shè)S個(gè)專家的判斷矩陣：

Ak=(aij(k))k=1,2,…S分別求出它們各自的排序向量

wk=(w1(k)，w2(k)…wn(k))T

實(shí)用中傾向第Ⅱ類方法！(k)第九章層次分析現(xiàn)在是77頁\一共有110頁\編輯于星期五再記平均綜合向量為w=(w1,w2,…,wn)T方法1.加權(quán)幾何平均綜合排序向量法：計(jì)算

wj=wj/

（歸一化）

其中，λk≥0且

λk為第k個(gè)決策者的權(quán)重.

j=1,2….n第九章層次分析現(xiàn)在是78頁\一共有110頁\編輯于星期五對可采用性的考察：計(jì)算wj的標(biāo)準(zhǔn)差：j=其相應(yīng)于新的總體判斷矩陣A=(aij)

(aij=wi/wj)的總體標(biāo)準(zhǔn)差：①第九章層次分析(K)2現(xiàn)在是79頁\一共有110頁\編輯于星期五σij=個(gè)體標(biāo)準(zhǔn)差：σ（k)=

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差滿足要求時(shí)，這組群組判斷可采用，當(dāng)個(gè)體標(biāo)準(zhǔn)差σ(k)滿足要求時(shí)，認(rèn)為第k個(gè)決策者的決策可通過，否則將信息反饋給有關(guān)專家，供修改時(shí)參考。②③第九章層次分析(K)2現(xiàn)在是80頁\一共有110頁\編輯于星期五方法2.加權(quán)算術(shù)平均綜合向量法：計(jì)算

W=λ1Wj(1)+λ2Wj(2)+…+λsWj(s)λk≥0，可類似地根據(jù)①，②，③式判斷可采用性。第九章層次分析現(xiàn)在是81頁\一共有110頁\編輯于星期五§9.3應(yīng)用舉例一、某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，要決定如何使用。供選擇方案：作獎(jiǎng)金，集體福利設(shè)施，引入設(shè)備技術(shù)

建立如下層次分析模型：第九章層次分析現(xiàn)在是82頁\一共有110頁\編輯于星期五目標(biāo)層：準(zhǔn)則層C：方案層P：合理使用留成利潤A改善職工生活條件C3提高技術(shù)水平C2調(diào)動(dòng)職工積極性C1引進(jìn)設(shè)備技術(shù)P3福利P2獎(jiǎng)金P1第九章層次分析現(xiàn)在是83頁\一共有110頁\編輯于星期五A-C判斷矩陣:

AC1C2C3

w(2)

C1

11/51/30.105

C2

5130.637

C331/310.258

λmax=3.038歸一化特征向量w(2)

C.I.=0.019C.R.=0.03276<0.1滿意的一致性第九章層次分析現(xiàn)在是84頁\一共有110頁\編輯于星期五C1-P:

C1P1P2

U1(3)

P111/30.75

P2310.75

λmax=2C.I.=0

第九章層次分析現(xiàn)在是85頁\一共有110頁\編輯于星期五C2-P:

C2P2P3

U2(3)

P211/50.167

P3510.833λmax=2C.I.=0第九章層次分析現(xiàn)在是86頁\一共有110頁\編輯于星期五C3-P:

C3P1P3

U3(3)

P1

120.667

P2

1/210.333

λmax=2C.I.=0

第九章層次分析現(xiàn)在是87頁\一共有110頁\編輯于星期五

0.2500.667U(3)=0.750.1670.33300.8330w(3)=U(3)w(2)=(0.198，0.27，0.531)T得到P3優(yōu)于P1又優(yōu)于P2，從分配上可以用53.1%來引進(jìn)新設(shè)備，新技術(shù)；用19.8%來發(fā)獎(jiǎng)金；用29.1%來改善福利。第九章層次分析現(xiàn)在是88頁\一共有110頁\編輯于星期五二、層次分析法對于下面幾種情況的優(yōu)化問題特別適用：⑴問題中除可計(jì)量的量外，還存在不可計(jì)量的量時(shí)，可用AHP通過對不可計(jì)量的量與可計(jì)量的量的相對比較，而獲得相對的量測；⑵當(dāng)優(yōu)化問題的結(jié)構(gòu)難以事先確定，而在很大程度上取決于決策者的經(jīng)驗(yàn)時(shí)；第九章層次分析現(xiàn)在是89頁\一共有110頁\編輯于星期五⑶各變量不獨(dú)立，有內(nèi)部相關(guān)性時(shí)；⑷目標(biāo)與約束，約束與約束之間緊密聯(lián)系時(shí)；⑸多目標(biāo)問題；第九章層次分析現(xiàn)在是90頁\一共有110頁\編輯于星期五在用AHP法解決優(yōu)化問題時(shí)，常用的有兩種方式：⑴當(dāng)模型中涉及不可計(jì)量的量時(shí)，用AHP法的比例標(biāo)度來確定目標(biāo)函數(shù)，約束函數(shù)的權(quán)重（系數(shù)）⑵直接采用AHP模型AHP法有廣泛的應(yīng)用前景，可以用來決定其它方面的一些問題。下面舉一個(gè)解決優(yōu)化問題的例子。第九章層次分析現(xiàn)在是91頁\一共有110頁\編輯于星期五例：最佳食品搭配問題！

假設(shè)某人有3種食品可供選擇：肉，面包，蔬菜它們所含營養(yǎng)成分及單價(jià)如下表：食品維生素A維生素B2

熱量單價(jià)搭配量

（國際（毫克/克）（千卡/克）

（元/克）單價(jià)/克）肉0.35270.00212.860.0055X1面包00.00062.760.0012X2蔬菜25.00.0020.250.0014X3第九章層次分析現(xiàn)在是92頁\一共有110頁\編輯于星期五該人體重55公斤，每天對各種營養(yǎng)的最小需求為：維生素A：7500國際單位維生素B2：1.6338毫克熱量：2050千卡問題：應(yīng)如何搭配食品？（自然的想法是：使在保證營養(yǎng)的情況下支出最?。┑诰耪聦哟畏治霈F(xiàn)在是93頁\一共有110頁\編輯于星期五

容易建立如下線性規(guī)劃模型：minZ=0.0055x1+0.0012x2+0.0014x3s.t.0.3527x1+25.0x3≥75000.0021x1+0.0006x2+0.002x3≥1.63382.86x1+2.76x2+0.25x3≥2050x1，x2，x3≥0利用單純形法可得解x*=(0,689.44,610.67)Tz*<1.67⑴第九章層次分析現(xiàn)在是94頁\一共有110頁\編輯于星期五即，不吃肉，面包689.44克，蔬菜610.67克，每日支出1.67元。顯然這個(gè)最優(yōu)方案是行不通的，它沒有考慮本人對食品的偏好。我們可根據(jù)偏好加約束:x1≥140,x2≤450,x3不限得到線性規(guī)劃解：x*=(245.44,450.00424.19)T

Z*=2.48元⑵第九章層次分析現(xiàn)在是95頁\一共有110頁\編輯于星期五其次，在這里各營養(yǎng)成分被看成同樣重要，起決定因素的是支出。但實(shí)際上，營養(yǎng)價(jià)值與支出都需考慮，只是地位（權(quán)重）不同。這樣無法建立目標(biāo)函數(shù)。下面用層次分析法來處理問題：層次結(jié)構(gòu)：

第九章層次分析現(xiàn)在是96頁\一共有110頁\編輯于星期五每日需求R支出C營養(yǎng)N維生素A維生素B2維生素Q肉me面包br蔬菜ve第九章層次分析現(xiàn)在是97頁\一共有110頁\編輯于星期五對于一個(gè)中等收入的人，滿足營養(yǎng)要求比支出更重要。于是：

R

NCw(2)

N130.75

C1/310.25

λmax=2C.I.=0第九章層次分析現(xiàn)在是98頁\一共有110頁\編輯于星期五

NAB2Q

w1(3)

A1120.4

B2

1120.4

Q1/21/210.2

λmax=3C.I.=0第九章層次分析現(xiàn)在是99頁\一共有110頁\編輯于星期五

0.40w(3)=0.400.250.200.25=(0.3,0.3,0.15,0.25)T01最底層（方案層）對準(zhǔn)則層的單排列權(quán)重，只需對題目給的數(shù)據(jù)歸一化即可。由于要支出最小價(jià)格倒數(shù)，價(jià)格倒數(shù)歸一：(181.818，833.333，714.286)T

于是得到第九章層次分析現(xiàn)在是100頁\一共有110頁\編輯于星期五

AB2QC(價(jià)格)

me

0.01390.44680.48720.1057U(4)

br

0.00000.12770.47020.4819

ve

0.98610.42550.04260.4310合成權(quán)重w(4)=U(4)w(3)=(0.24,0.23,0.53)T第九章層次分析現(xiàn)在是101頁\一共有110頁\編輯于星期五設(shè)x1=0.24k,x2=0.23k,x3=0.53k則minZ=0.002338k

s.t.13.3346k≥75000.0017k≥1.6338