分析法與綜合法在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用 論文

分析法與綜合法在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是智力的核心，教學(xué)的目的是為了培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。心理學(xué)認(rèn)為：“思維的基本過程是分析和綜合”，這兩種思維是彼此相反的，同時(shí)也是緊密聯(lián)系著的，在教學(xué)中應(yīng)運(yùn)用分析法與綜合法相結(jié)合的原則：分析法是從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的一種思維方法；綜合法是從原因到由原因產(chǎn)生的結(jié)果的另一種思維方法。在解數(shù)學(xué)題時(shí)若能將分析法與綜合法很好的結(jié)合起來運(yùn)用，就可以使學(xué)生對知識的理解既深刻又全面。我們在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，既需要富有普適性的策略作宏觀指導(dǎo)，也需要各種具體的方法和技巧進(jìn)行微觀處理。只有把策略、方法、技巧和諧地結(jié)合起來，創(chuàng)造性地加以運(yùn)用，才能幫助我們準(zhǔn)確、快速地解題。解題的方法和技巧有很多，其中分析法和綜合法是在實(shí)際解題過程中較常運(yùn)用的方法，在解題中具有十分重要的作用。分析法和綜合法源于分析和綜合，使思維方向相反的兩種思考方法。 一、 分析與綜合

分析是在思想中把整體分解為部分，把復(fù)雜事物分解為簡單要素，把過程分解為階段，并分別加以研究的思維方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，分析是首先和大量要用到的一種思維發(fā)法，對于未知的整體事物，要能深刻地認(rèn)識它、理解它，首先就得恰當(dāng)?shù)胤纸馑?、簡化它。綜合是在思想中把事物的各個(gè)部分、各個(gè)方面、各種要素、各個(gè)階段連結(jié)為整體進(jìn)行考察的思維方法。綜合不是把事物的各個(gè)部分簡單地拼湊才一起，而是著眼于找出其相互聯(lián)系的規(guī)律性。分析和綜合是最基本的思維方法，它們相互依存、相互滲透和相互轉(zhuǎn)化，是對立的統(tǒng)一。分析時(shí)在綜合指導(dǎo)下的分析，綜合是以分析為基礎(chǔ)的綜合。在形式思維中，傳統(tǒng)的分析綜合方法的邏輯起點(diǎn)是分析，邏輯程序是先分析后綜合：分析→綜合，是一個(gè)單向進(jìn)行的思維過程。在辯證思維中，系統(tǒng)分析方法的邏輯起點(diǎn)則是綜合，其邏輯程序是綜合分析綜合雙向的并存和反饋，它體現(xiàn)了矛盾分析的特點(diǎn)，要求從系統(tǒng)整體出發(fā)，以總體優(yōu)化為目標(biāo)，把綜合貫徹始終，堅(jiān)持在綜合指導(dǎo)和控制下進(jìn)行分析，通過逐步的綜合達(dá)到總體的綜合。二、分析法

1、 概述1分析法是數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常用到的一種推理和證明的重要方法。數(shù)學(xué)分析法就是從需證明的數(shù)學(xué)結(jié)論出發(fā)，以一系列的已知定義、定理為依據(jù)，逐步地逆推，最后到達(dá)已知條件，也簡稱為“執(zhí)果索因法”。從上述定義可以看出，當(dāng)我們用分析法研究或證明某一命題時(shí)，其過程式從未知到已知的證明。首先不是直接由已知條件出發(fā)，而是從其結(jié)論的正確性出發(fā)，以此為前提，利用定義、定理。逆推出所給已知條件得正確性，這就是分析法的實(shí)質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須十分重視分析能力的培養(yǎng)，特別注意突出啟發(fā)性，把數(shù)學(xué)知識或結(jié)果的學(xué)習(xí)與知識本身發(fā)生、發(fā)展的思維過程的揭露結(jié)合起來，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓，逐步提高分析問題和解決問題的能力。 2、 例題

例1. 已知等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長分成9CM和15CM兩部分,求這個(gè)三角 形腰長和底邊的長. 解(設(shè)等腰三角形腰長為xcm,底邊長為ycm,由題意得,

x+x/2=9或x+x/2=15

y+x/2=15y+x/2=9

解得：x=6或x=10

y=12y=4

第一組解不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，應(yīng)舍去。故所求等腰三角形腰長10cm，底邊長為4cm。例2． 已知(如圖，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一點(diǎn)，且EA=ED。求證EB=EC.證明(分析法)要證EB=EC，只要證△ABE≌△DCE，

而已知AB=CD，EA=ED，因此只要證

∠BAE=∠CDE

因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，AB=CD，所以∠BAD=∠CDA，因?yàn)镋A=ED，所以∠EAD=∠EDA2 所以∠BAE=∠CDE

例1，例2用的分析法，從結(jié)論入手進(jìn)行分析易于找到解題的突破口.例1借助方程作工具.用分析法證題時(shí)，常用“要證……,只要證……,而已知……”進(jìn)行聯(lián)結(jié)，或用符號←表示逆推. 3、 注意事項(xiàng)

在運(yùn)用分析法時(shí)，如果對其使用形式不能正確理解，經(jīng)常也會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，其中常見的有兩種：

（1） 書寫錯(cuò)誤

此類錯(cuò)誤的產(chǎn)生主要是將證明過程書寫成為原命題的逆命題的證明，實(shí)際這不是分析法。例若（z－x）2－4(x－y)(y－z)=0，求證x、y、z成等差數(shù)列。錯(cuò)誤證明：因?yàn)閤、y、z成等差數(shù)列，所以x+z=2y， 即x+z-2y=0,兩邊平方得（x+z-2y）2=0, 所以（x+z）2－2×2y(x+z)+4y2=0. 變形整理得(z-x)2+4(zx-xy-yz+y2)=0,

所以（z-x）2－4(x-y)(y-z)=0.因此，x、y、z成等差數(shù)列。錯(cuò)誤分析上面證法雖然也是從結(jié)論出發(fā)，最后推倒出已知條件，但實(shí)際上，其證明過程式對原命題的逆命題的證明。一般地說，逆命題與原命題并不等價(jià)，所以即使逆命題成立，也不能說明原命題成立。正確解法應(yīng)該是把原證法的“因?yàn)閤、y、z成等差數(shù)列”改為“欲證x、y、z成等差數(shù)列”；其推導(dǎo)過程中每步之間也應(yīng)用“欲證…，需證…”的推導(dǎo)模式；最后還應(yīng)添上“等式（z-x）2－4(x-y)(y-z)=0是已知的，且以上各式皆可逆，由此命題得證。”這樣才是分析法。(2)推理過程不可逆

例已知︱a︱<1,︱b︱<1,求證︱a+b︱/︱1+ab︱<1.錯(cuò)誤證明欲證︱a+b︱/︱1+ab︱<1，①

須證︱a+b︱<︱1+ab︱.②

兩邊平方得（a+b）2<(1+ab)2.③展開并整理得a2+b2<1+a2b2.④3 因?yàn)?ab<a2+b2,⑤

所以2ab<1+a2b2,⑥

即須證0<(1－ab)2.⑦

由已知︱a︱<1,︱b︱<1，所以1－ab≠0,因而上式成立，而上述每步皆可逆推，可得原不等式成立。錯(cuò)誤分析在分析法證明問題時(shí)，要求推導(dǎo)過程必須可逆，即每步之間是充分必要的。然而，在上面的推導(dǎo)過程中并非如此。如從⑤和⑥推不出④，因?yàn)棰?、⑥不是④的充分條件。所以證明不可逆。正確解法得出④后，移項(xiàng)并分解因式得（a2－1）(1－b2)<0.因?yàn)棣騛︱<1,︱b︱<1,所以a2－1<0,1－b2>0,從而（a2－1）(1－b2)<0成立。這樣，每一步均可逆，故原不等式成立。 貌似可逆而實(shí)際上并不可逆，這是證題中最常見的錯(cuò)誤，因此，在使用分析法時(shí)，一定要注意推理過程的等效性，即各步之間互為充分必要條件。 三、 綜合法

1、概述

綜合法也是數(shù)學(xué)中經(jīng)常用來推理與證明的方法，它是一種從已知到未知的邏輯推理方法。 綜合法是從題設(shè)條件出發(fā)，以一系列已知定義、定理為依據(jù)，通過逐步推導(dǎo)從而得出所需證明的結(jié)果。其形式可記為：已知→結(jié)論。又簡稱為“由因?qū)Чā?。由此可知，綜合法是邏輯推理法，恰恰地同分析法相反，因而將前面例題中推理方法逆過來，就是綜合法。但是綜合法并不是分析結(jié)果的簡單相加，由于研究對象各部分或各方面性質(zhì)的有機(jī)聯(lián)結(jié)，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)許多新的聯(lián)系和性質(zhì)，因此它并不排斥發(fā)現(xiàn)性的一面。2、例題

例設(shè)a,b∈R+,且a≠b,求證：a3+b3>a2b+ab2.證法1用分析法

要證a3+b3>a2b+ab2成立，

只需證（a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2>ab成立.（因?yàn)閍,b∈R+）只需證a2-2ab+b2>0成立.即需證（a-b）2>0成立.4而已知條件是a,b∈R+，a≠b，所以（a-b）2>0顯然成立。由此命題得證。證法2用綜合法

依題設(shè)，a,b∈R+,且a≠b，有

（a-b）2>0→a2-2ab+b2>0→a2-ab+b2>ab.因?yàn)閍+b>0,

所以（a+b）(a2-ab+b2)>ab.所以a3+b3>a2b+ab2.從上面的例子可以看出，分析法與綜合法各有其優(yōu)缺點(diǎn)。因此在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來運(yùn)用，先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過程。 四、 分析法與綜合法的綜合運(yùn)用

例1設(shè)a,b,c,d是互不相等的整數(shù)，則(x－a)(x－b)(x－c)(x－d)－9=0①有整數(shù)根，試證：a+b+c+d能被4整除。 證明設(shè)x0為方程①的整數(shù)根，則(x－a)(x－b)(x－c)(x－d)=9.②

由題設(shè)可知，x0－a,x0－b,x0－c,x0－d是互不相等的整數(shù)，且必為9的不同因數(shù)。注意到9只能分解成+1，－1，+3，－3這四個(gè)相異整數(shù)的積，則x0－a,x0－b,x0－c,x0－d只能分別等于這四個(gè)相異整數(shù)。于是(x0－a)+(x0－b)+(x0－c)+(x0－d)

=(+1)+(－1)+(+3)+(－3)=0.所以a+b+c+d=4x0

所以4∣(a+b+c+d).例1把方程和數(shù)的整除性結(jié)合起來，構(gòu)思十分巧妙，不大容易入手。解題的關(guān)鍵在于發(fā)掘方程①中數(shù)字“9”的結(jié)構(gòu)特征。由此可見，注意觀察關(guān)系式中的數(shù)字、字母、算式等在結(jié)構(gòu)上的特征，有助于從明顯的已知條件中發(fā)掘隱含條件。不難發(fā)現(xiàn)，方程①中的數(shù)字“9”，如果改為“p2”(p為素?cái)?shù))，結(jié)論仍然成立。從上面的例子可以看出，分析法與綜合法都是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法，但都不是萬能的，它們在具體應(yīng)用時(shí)各有優(yōu)缺點(diǎn)。從尋求解題思路