三多維隨機變量及其分布市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

三、多維隨機變量及其分布隨機變量隨機變量分布函數(shù)概念及性質(zhì)離散型隨機變量概率分布連續(xù)型隨機變量概率密度常見隨機變量分布隨機變量函數(shù)分布考試內(nèi)容第1頁第1頁

設(shè)X1,X2,…,Xn為定義在同同樣本空間上隨機變量，則稱這n個隨機變量整體(X1,X2,…,Xn)為n維隨機變量(或n維隨機向量).（一）n維隨機變量與聯(lián)合分布函數(shù)1.n維隨機變量定義2.聯(lián)合分布函數(shù)與邊沿分布函數(shù)

設(shè)(X1,X2,…,Xn)為n維隨機變量,則稱Rn上n元函數(shù)第2頁第2頁F(x1,x2,…,xn)=P(X1x1,X2x2,…,Xnxn) (x1,x2,…,xn)Rn為n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)聯(lián)合分布函數(shù).n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)中每個變量Xi分布函數(shù)FX(xi)稱為邊沿分布函數(shù)，i=1,2,…,n.

3.聯(lián)合分布函數(shù)與邊沿分布函數(shù)之間關(guān)系

設(shè)F(x,y)為聯(lián)合分布函數(shù)，關(guān)于X和Y邊沿分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y)，則有第3頁第3頁1.聯(lián)合概率分布假如二維隨機變量(X,Y)每個分量X和Y都是離散型,則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量.(二)二維離散型隨機變量(X,Y)聯(lián)合概率分布有兩種表示：2.聯(lián)合概率分布(1)設(shè)(X,Y)一切也許值為則稱為(X,Y)聯(lián)合分布律，或聯(lián)合概率分布.第4頁第4頁XYy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………（2）(X,Y)聯(lián)合分布律（表）第5頁第5頁3.聯(lián)合概率分布性質(zhì)

（非負性）（歸一性）4.邊沿分布(X,Y)分量X和Y分布律稱為其邊沿分布律.它與聯(lián)合分布關(guān)系為第6頁第6頁5.條件分布對固定j，若則稱為X關(guān)于條件分布.類似地，若則稱為Y關(guān)于條件分布.注：第7頁第7頁（三）二維連續(xù)型隨機變量

1.定義設(shè)(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),假如存在非負可積函數(shù)f(x,y),使得對任意實數(shù)x,y,有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，f(x,y)為其聯(lián)合密度函數(shù).2.聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì)（非負性）（歸一性）第8頁第8頁xyf(x,y)

二元概率密度函數(shù)f(x,y)從圖形上看是在xoy平面上方一個曲面,包圍著下方體積為1.第9頁第9頁3.二維連續(xù)隨機變量性質(zhì)設(shè)(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),密度函數(shù)為f(x,y)，則（1）F(x,y)為二元連續(xù)函數(shù)；（2）對于任何平面曲線L，有（3）對于平面區(qū)域D，有概率計算公式：（4）對于f(x,y)連續(xù)點(x,y)，有第10頁第10頁4.邊沿分布設(shè)(X,Y)密度函數(shù)為f(x,y)，則X和Y分布函數(shù)可表示為分別稱為(X,Y)關(guān)于X和Y邊沿分布函數(shù)，而分別稱為(X,Y)關(guān)于X和Y邊沿密度函數(shù).第11頁第11頁5.條件分布對于給定x，若fX(x)>0,則稱為Y關(guān)于X=x條件密度函數(shù).為X關(guān)于Y=y條件密度函數(shù).類似地，若fY(y)>0,則稱條件密度函數(shù)同樣滿足密度函數(shù)所有性質(zhì).注：第12頁第12頁（四）隨機變量獨立性1.普通情形設(shè)n維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)為關(guān)于Xi邊沿分布函數(shù)為若對任意實數(shù)有則稱隨機變量互相獨立.第13頁第13頁2.離散型設(shè)為n維離散型隨機變量，若對一切也許值有則稱隨機變量互相獨立.特殊：二維情形X,Y互相獨立第14頁第14頁3.連續(xù)型設(shè)為n維離散型隨機變量，若對任意實數(shù)有其中是聯(lián)合密度，為Xi邊沿密度，則稱隨機變量互相獨立.X,Y互相獨立特殊：二維情形第15頁第15頁（五）隨機變量函數(shù)分布(重點)1.普通情形隨機變量Z為隨機變量X,Y函數(shù)，即Z=g(X,Y),則Z分布函數(shù)為2.離散型已知則Z分布為第16頁第16頁3.連續(xù)型已知(X,Y)密度函數(shù)為f(x,y)，Z=g(X,Y),則Z分布函數(shù)為若Z任為連續(xù)型隨機變量，則Z密度函數(shù)為第17頁第17頁4.X與Y和、商與極值分布（1）和分布設(shè)(X,Y)密度函數(shù)為f(x,y),則Z=X+Y密度函數(shù)為當(dāng)X,Y獨立時，有卷積公式：第18頁第18頁(2)商分布設(shè)(X,Y)密度函數(shù)為f(x,y),則

密度函數(shù)為當(dāng)X,Y獨立時，有第19頁第19頁（3）極值分布當(dāng)X,Y互相獨立時,其分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y),則分布函數(shù)為可推廣為n個互相獨立隨機變量：若X與Y獨立同分布？第20頁第20頁（六）兩個常見二維分布1.二維均勻分布設(shè)(X,Y)密度函數(shù)為則(X,Y)~U（D）.性質(zhì)：設(shè)(X,Y)服從矩形域上均勻分布，則兩個邊沿分布都是均勻分布，即X~U[a,b],Y~U[c,d],且兩個條件分布也是均勻分布.第21頁第21頁2.二維正態(tài)分布性質(zhì)：(1)兩個邊沿分布為正態(tài)分布(2)

X與Y線性組合仍服從正態(tài)分布，即(3)X與Y互相獨立(X與Y不相關(guān))（任意兩個正態(tài)分布和不一定服從正態(tài)分布）兩個邊沿分布都是正態(tài)分布二維隨機變量不一定服從二維正態(tài)分布此時，第22頁第22頁(4)X關(guān)于Y=y(Y關(guān)于X=x)條件分布仍為正態(tài)分布:注：當(dāng)時,兩個條件分布就是相應(yīng)邊沿分布.第23頁第23頁幾點注意：1.幾種慣用事件關(guān)系第24頁第24頁2.聯(lián)合分布、邊沿分布和條件分布關(guān)系聯(lián)合分布邊沿分布和條件分布聯(lián)合分布邊沿分布獨立此時，離散型：連續(xù)型：X,Y互相獨立X,Y互相獨立第25頁第25頁考點與例題分析考點一：聯(lián)合分布、邊沿分布與條件分布計算考點二:利用已知分布求相關(guān)事件概率考點三:隨機變量獨立性考點四：隨機變量函數(shù)分布第26頁第26頁考點一：聯(lián)合分布、邊沿分布與條件分布計算利用聯(lián)合分布與邊沿分布之間關(guān)系、概率密度或分布律本身性質(zhì)如歸一性等.第27頁第27頁例1同一品種5個產(chǎn)品中,有2個正品,每次從中取1個檢查質(zhì)量,不放回地抽取,連續(xù)2次.記“Xk=0”表示第k次取到正品,而“Xk=1”為第k次取到次品(k=1,2).寫出(X1,X2)聯(lián)合分布律和邊沿分布.解X1,X2也許取值均為0,1,按乘法公式有第28頁第28頁0100.10.310.30.3故聯(lián)合分布律為010.40.4+0.6+同理，010.40.60.40.6求邊沿分布:由于0.6問隨機變量X1,X2獨立嗎？不獨立！第29頁第29頁求例1X1關(guān)于X2條件分布P{X1=0|X2=1}=0.3/0.6=0.5,P{X1=1|X2=1}=0.50100.10.310.30.3由P{X1=0|X2=0}=0.1/0.4=0.25,P{X1=1|X2=0}=3/40.40.60.40.601X1|X2=00.250.7501X1|X2=10.50.5由第30頁第30頁例2設(shè)隨機變量X~U(0,1),在X=x(0<x<1)條件下,Y~U(0,x),求（1）X和Y聯(lián)合分布；（2）Y概率密度；（3）概率P{X+Y>1}.解(1)依題意，有在時,X和Y聯(lián)合密度為在其它點處，f(x,y)=0,即第31頁第31頁(2)當(dāng)0<y<1時,Y概率密度為在其它點(x,y)處，因此(3)由圖,第32頁第32頁考點二:利用已知分布求相關(guān)事件概率弄清楚隨機變量所表示事件,利用概率基本性質(zhì)和主要公式以及常見分布定義和性質(zhì)求解.記住幾種常見分布第33頁第33頁例3設(shè)X和Y均服從且則解第34頁第34頁例4設(shè)Xi(i=1,2)分布律均為Xi-101(i=1,2)且滿足則第35頁第35頁-10p1201/40p21p22p231/210p3201/41/4

1/21/41X2X1-101由表p12=1/4,p32=1/4,從而p22=0,故解由易知即Xi都不取零列出聯(lián)合分布律：第36頁第36頁考點三:隨機變量獨立性X,Y互相獨立X,Y互相獨立1.普通型：X,Y互相獨立F(x,y)=FX(x)FY(y)2.離散型：3.連續(xù)型：第37頁第37頁例5設(shè)二維隨機變量則解因(X,Y)服從二維正態(tài)分布,且故X和Y互相獨立,且第38頁第38頁例6

設(shè)隨機變量X和Y獨立同分布,試證實證實：設(shè)X和Y分布函數(shù)為F(x)和F(y),密度函數(shù)為f(x)和f(y),由獨立性知X和Y聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)=f(x)f(y),故第39頁第39頁考點四：隨機變量函數(shù)分布掌握利用分布律或分布函數(shù)定義求解辦法.求解時注意隨機變量獨立性條件.(重點和難點：求二維隨機變量函數(shù)分布)注意處理分段多元函數(shù)積分.第40頁第40頁例7將兩封信隨機地往編號為1,2,3,44個郵筒內(nèi)投.Xi表示第i個郵筒內(nèi)信數(shù)目(i=1,2).(1)寫出(X1,X2)聯(lián)合分布及(X1,X2)中關(guān)于X1邊沿分布；(2)兩個郵筒內(nèi)信數(shù)目之和X1+X2分布律.解(1)Xi所有也許取值：0,1,2.試驗共有42=16種不同等可能結(jié)果:第41頁第41頁0129/166/161/1601204/164/161/169/1614/162/1606/1621/16001/16上表計算出邊沿分布計算結(jié)果列于下表并計算X1邊沿分布第42頁第42頁01204/164/161/1614/162/16021/16000121/41/21/4(2)求X1+X2分布律：所有也許取值0,1,2,3,4.因此，X1+X2分布律：第43頁第43頁01204/164/161/1614/162/16021/1600-2-10121/164/166/164/161/16用斜線法計算分布律：因此第44頁第44頁例8(0713)設(shè)二維隨機變量(X1,X2)概率密度為求（1）（2）Z=X+Y概率密度fZ(z).解(1)第45頁第45頁(2)

法1先求Z分布函數(shù)，如圖當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故第46頁第46頁法2利用卷積公式：當(dāng)或時，當(dāng)時，當(dāng)時，故第47頁第47頁例9設(shè)隨機變量X概率分布為令Y=X2，F(xiàn)(x,y)為二維隨機變量(X,Y)分布函數(shù)，求(1)Y概率密度fY(y);解(1)Y分布函數(shù)為當(dāng)時，當(dāng)時，（06134）第48頁第48頁當(dāng)時，當(dāng)時，故Y概率密度當(dāng)時，第49頁第49頁當(dāng)0y<1時,當(dāng)1y<4時,另解：不需先求出分布函數(shù)詳細表示式第50頁第50頁注意：（由于X,Y不獨立）第51頁第51頁考研題與練習(xí)題1.(02103)設(shè)隨機變量

且二次方程y2+4y+X=0無實根概率為則應(yīng)填4.解二次方程判別式為42-4X<0,即X>4,依題意有4第52頁第52頁2.(08134)設(shè)X,Y互相獨立,X概率分布