數(shù)學(xué)解題理論概述

數(shù)學(xué)解題理論概述第1頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

數(shù)學(xué)解題方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)解題的一般規(guī)律、法則和方法的學(xué)科，是關(guān)于解題和尋找解題方法途徑的研究。解題是數(shù)學(xué)教師的基本功，美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：“問題是數(shù)學(xué)的心臟,數(shù)學(xué)家存在的理由就是解問題。因此，數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問題和解”。著名的數(shù)學(xué)家波利亞也曾說過，“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”，“中學(xué)數(shù)學(xué)教育首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”。名師出高徒,要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力,教師首先要有高超的解題能力。一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師,必須具備良好的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)和精湛的教學(xué)藝術(shù),而解題基本功不僅僅是數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)的構(gòu)成因素,同時(shí)也是教學(xué)藝術(shù)的某種體現(xiàn)。

第2頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§1數(shù)學(xué)問題及其類型一、數(shù)學(xué)問題的含義

1、數(shù)學(xué)問題是一種需要行動(dòng)的情況波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中指出，“有問題指的是，有意識(shí)地尋求某一適當(dāng)?shù)男袆?dòng)以便達(dá)到一個(gè)被清楚地意識(shí)到但又不能立即達(dá)到的目的。”

2、數(shù)學(xué)問題是一種情境

尼斯Niss指出，一個(gè)數(shù)學(xué)問題是一個(gè)對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的，沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的未解決問題的情景。

第3頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3、數(shù)學(xué)問題是一種題系統(tǒng)奧加涅相認(rèn)為，研究系統(tǒng)（S,R），其中S代表某個(gè)主體，R代表某個(gè)構(gòu)成一個(gè)抽象系統(tǒng)的幾何，稱集合R為題系統(tǒng)。

4、數(shù)學(xué)問題是一種集合

斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》中指出，用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)記號(hào)敘述某一個(gè)“對(duì)象領(lǐng)域”，這種對(duì)象領(lǐng)域可以用一個(gè)或幾個(gè)集合，這幾個(gè)集合能并成一個(gè)全集，與其中規(guī)定的謂詞構(gòu)成的問題稱為數(shù)學(xué)問題。

第4頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5、數(shù)學(xué)問題是一種以潛問題的形式被主題數(shù)學(xué)心理場(chǎng)所感知的數(shù)學(xué)模式序缺

王秋海先生提出，數(shù)學(xué)模式序缺是數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的根源，這種模式序缺以潛在的形式獨(dú)立存在于數(shù)學(xué)模式之中，只有被人們的數(shù)學(xué)心理場(chǎng)感知方向方可稱為真正的數(shù)學(xué)問題。第5頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六所有的問題都會(huì)有三種成分:

①給定(Givens),即一組給予的信息;②目標(biāo)(Goals),問題要求的或結(jié)尾的狀態(tài),即關(guān)于構(gòu)成問題的結(jié)論描述;③障礙(Obstacles),思維者無法立即找到正確的答案,必須通過一定的方式來改變給定狀態(tài),逐步達(dá)到目標(biāo)要求.

問題的一般含義：給定的信息和目標(biāo)之間有某些障礙需要加以克服的情景。

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二、數(shù)學(xué)問題的特征數(shù)學(xué)問題具有以下特征:

（1）客觀性:數(shù)學(xué)問題對(duì)于主體來說就是一種客觀的存在,所以,主體在接受問題時(shí),必然會(huì)對(duì)問題產(chǎn)生感知和理解.

（2）障礙性:數(shù)學(xué)問題對(duì)于主體來說具有一定的困難,用習(xí)慣的反應(yīng)和模式會(huì)失敗,于是可能出現(xiàn)多次失敗的嘗試.

（3）挑戰(zhàn)性:數(shù)學(xué)問題一旦為個(gè)人所感知,就對(duì)人的智能構(gòu)成了一種挑戰(zhàn),迫使他探索新的處理方法.

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三、數(shù)學(xué)問題的類型

1、弗里得曼的三分法:即按數(shù)學(xué)的問題的外在形式可以分成求解題、證明或說明題、變換題或求作題.

2、系統(tǒng)要素分類法:按照奧加涅相等人的觀點(diǎn),數(shù)學(xué)問題是一個(gè)系統(tǒng),其構(gòu)成要素主要有四個(gè):問題的條件，問題的結(jié)論、解題的方法、解題的依據(jù).根據(jù)題目系統(tǒng)中要素的已知情況,可以將數(shù)學(xué)問題分為標(biāo)準(zhǔn)性題、訓(xùn)練性題、探索性題和問題性題四類.四個(gè)要素都為已知的題即為標(biāo)準(zhǔn)性題.如果四個(gè)要素中有一個(gè)要素未知,其余三個(gè)要素已知,這樣的題稱為訓(xùn)練題.如果四個(gè)要素中有兩個(gè)要素已知,其余兩個(gè)要素未知,則稱這樣的題為探索性題.如果四個(gè)要素中僅有一個(gè)要素是學(xué)生已知的,其余三個(gè)都是學(xué)生所不知道的,這樣的題稱為問題性題.

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3、成分分析分類法:任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題的陳述,都是由某些題設(shè)條件和問題的要求等兩部分組成的,即初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài),系統(tǒng)由初始狀態(tài)向目標(biāo)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)變化過程的發(fā)現(xiàn),即是解決問題的過程.從而,對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題,我們可以把它分解成三個(gè)基本成分:A.初始狀態(tài)—問題的條件；B.解決問題的過程—根據(jù)一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),變換問題的條件,向結(jié)論過渡;C.最終狀態(tài)—問題的結(jié)論.

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這樣可以將數(shù)學(xué)問題分為三類:標(biāo)準(zhǔn)題、封閉性變式題、開放性變式題.

如果一道題的條件和結(jié)論都是很明顯的,其解題過程也是解題者所熟知的，那么就稱為標(biāo)準(zhǔn)題.

如果對(duì)標(biāo)準(zhǔn)題作一些改造和變化，使其三個(gè)基本成分中缺少一個(gè)或兩個(gè)，這些成分解題者不知道或不明確，這樣的題稱為封閉性變式題（A、B已知，C未知）或開放性變式題（A已知，B、C未知）.第10頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

4、按開放性分類:

按題目中條件或結(jié)論等成分確定與否,可將數(shù)學(xué)題分為封閉題和開放題兩類.凡是具有完備的條件和固定的答案的題目稱之為封閉題,凡是答案不固定或者條件可以變換的題目稱之為開放題.

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5、按問題層次分類:

在英國(guó),對(duì)“問題”有兩種理解,一是認(rèn)為“問題”應(yīng)與現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際有關(guān);另一觀點(diǎn)則只考慮數(shù)學(xué)理論中的問題.布茨綜合二者,按照題目性質(zhì)、水平層次,將數(shù)學(xué)問題由低到高劃分五類:識(shí)別練習(xí)題、算法練習(xí)題、應(yīng)用問題、開拓—探究問題、情景問題.

識(shí)別練習(xí)題只要求解題者識(shí)別或回顧一個(gè)具體的事實(shí)、定義或一個(gè)定理的陳述.通常以判斷正誤、填空或多重選擇等形式提出.

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算法練習(xí)題是指依據(jù)程序算法,可通過一步步的推理演算解決的問題。應(yīng)用問題即應(yīng)用算法解決實(shí)際問題,其解法包括兩大步驟:首先用符號(hào)公式表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系;再按各種算法對(duì)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算.開拓—探究問題本身的陳述通常不包含解題策略,不像前三類題目那樣：解題策略包含在問題的陳述中,克服困難主要是文字轉(zhuǎn)換以用相應(yīng)知識(shí)解決.開拓—探究問題需要解題者嘗試、分析、探究,才能明確解題策略和方法.

情景問題包括的不是問題本身,而是情景.這類問題不告訴你:“這是個(gè)問題,解決它”,而是說:“這是個(gè)情景,試想一想”.解決情景題重要的一步是認(rèn)識(shí)情景中解題所利用的問題本身的屬性.第13頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

§2問題解決的要素和一般模式

一、問題解決的要素

1、問題表征

心理學(xué)把信息在頭腦中記載或呈現(xiàn)方式稱為表征(簡(jiǎn)稱表征).表征是影響問題解決的一個(gè)重要因素,是問題解決的中心環(huán)節(jié),他說明問題在頭腦里是如何呈現(xiàn)、如何表現(xiàn)出來的,這是解題活動(dòng)的開始起著十分重要的作用.表征可借助實(shí)物、畫圖等方式。第14頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

2、問題解決的程序:問題解決通常使用“手段—目的分析法”.它的思維方法是把總目標(biāo)分成子目標(biāo),把自己現(xiàn)有的狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)作比較,運(yùn)用算子(認(rèn)知心理學(xué)將在解決問題中從一種狀態(tài)變?yōu)榱硪粻顟B(tài)所采取的各種方法稱為“算子”)進(jìn)行匹配,消滅差別,最終達(dá)到總目標(biāo).

3、模式再認(rèn):長(zhǎng)期積累的知識(shí)基礎(chǔ)是問題解決的有效操作依據(jù).知識(shí)基礎(chǔ)構(gòu)成快速活動(dòng)的模式再認(rèn)系統(tǒng),這種系統(tǒng)極大地減少信息加工的負(fù)荷,模式的特點(diǎn)是它與新問題在知識(shí)組織的層次和性質(zhì)上的相似性,它能對(duì)適宜的操作過程提供幫助.第15頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

美國(guó)數(shù)學(xué)教育家舍費(fèi)爾德提出了問題解決能力的四個(gè)構(gòu)成要素：1認(rèn)知資源：解題者所具有的與問題有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)；2發(fā)現(xiàn)式解題策略：解決非常規(guī)、非標(biāo)準(zhǔn)的問題時(shí)所用的策略和技巧；3控制：對(duì)解題過程的控制；4信念系統(tǒng)：解題者怎樣看待自己，看待數(shù)學(xué)，看待環(huán)境。

一般數(shù)學(xué)解題的思考過程：1了解問題；2嘗試?yán)斫庹麄€(gè)問題；3試探一些思路；4尋找新信息和局部評(píng)價(jià)；5實(shí)施計(jì)劃；6證實(shí)；7以上各階段之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)變。第16頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、問題解決的一般模式1、杜威的五個(gè)步驟經(jīng)驗(yàn)到困難解決方法的檢查驗(yàn)證通過推斷檢驗(yàn)解決方程可能解決方法的產(chǎn)生困難的界定弄清題意回顧解題實(shí)施計(jì)劃擬訂計(jì)劃

2、產(chǎn)生式模式產(chǎn)生式是一種“條件——?jiǎng)幼鳌币?guī)則。只要條件一出現(xiàn)，動(dòng)作就會(huì)自動(dòng)產(chǎn)生，這里所說的動(dòng)作不僅是外顯的行為反應(yīng)，還包括內(nèi)隱的心理活動(dòng)或心理運(yùn)算。3、波利亞的“怎樣解題表”第17頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4、RMI原則

關(guān)系（relationship）映射（mapping）反演（inversion）方法，簡(jiǎn)稱為RMI方法，它是一種十分重要的數(shù)學(xué)方法，由于徐利治教授的大力倡導(dǎo)，在國(guó)內(nèi)普及很快，其基本思想可用以下框圖來表述:問題解答問題*問題**解答*解答**映射逆映射映射逆映射

從框圖不難看出，RMI方法仍是化歸方法。它是一種特殊的化歸方法，其關(guān)鍵是找出映射關(guān)系。第18頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六中國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)方法論專家-----徐利治第19頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六原象關(guān)系結(jié)構(gòu)（原象系統(tǒng)中的問題）映射映射關(guān)系結(jié)構(gòu)（映射系統(tǒng)中的問題）在映射系統(tǒng)中求得解決在原象系統(tǒng)中作出解決反演關(guān)系映射反演方法的基本含義第20頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六稱大象的問題轉(zhuǎn)化稱石頭的問題石頭問題得到解決大象問題得到解決轉(zhuǎn)化映射反演原象系統(tǒng)中的問題映象系統(tǒng)中的問題在映象系統(tǒng)中求得解決在原象系統(tǒng)中作出解決曹沖稱象與關(guān)系映射反演法第21頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

例某班有四個(gè)課外活動(dòng)小組。已知有二分之一的學(xué)生參加語(yǔ)文小組，有四分之一的學(xué)生參加英語(yǔ)小組，有八分之一的學(xué)生參加數(shù)學(xué)小組，還有6名學(xué)生參加科技小組。如果參加者互不重復(fù)，該班有多少人？第22頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第23頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§3數(shù)學(xué)解題觀

數(shù)學(xué)解題觀即是一個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)解題所持有的看法,以回答“解題的實(shí)質(zhì)是什么?”數(shù)學(xué)解題觀是解題理論中一個(gè)基本問題,因?yàn)?對(duì)于一個(gè)訓(xùn)練有素的數(shù)學(xué)教師來說形成一個(gè)正確、合理的解題觀,這對(duì)于從較高角度認(rèn)識(shí)解題過程、弄清解題本質(zhì)是非常必要的,也只有這樣,才會(huì)在解題觀基礎(chǔ)上掌握解題規(guī)律、形成解題經(jīng)驗(yàn)、提高解題能力.第24頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

一、解題就是問題轉(zhuǎn)換

波利亞的數(shù)學(xué)解題觀可以簡(jiǎn)單概括為“問題轉(zhuǎn)換”。他認(rèn)為解題就是把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問題，把原問題化歸為一個(gè)已解決的問題，即問題的連續(xù)變換過程。第25頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

為了達(dá)到“問題轉(zhuǎn)換”,波利亞在他的“怎樣解題表”,給出了一系列提示語(yǔ):把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問題,把原問題化歸為一個(gè)已解決的問題,去考慮一個(gè)可能相關(guān)的問題,先解決一個(gè)更特殊的,或更一般的問題,等等,由此可見,在大數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞眼里，解題的實(shí)質(zhì)就是問題轉(zhuǎn)換，問題轉(zhuǎn)換的過程就是解題。波利亞的結(jié)論是：“如果我們不用‘題目變更’，幾乎是不能有什么進(jìn)展的”。第26頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

二、解題就是給出原理序列

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家費(fèi)里得曼在《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》一書中對(duì)數(shù)學(xué)解題的實(shí)質(zhì)也進(jìn)行了研究,他認(rèn)為“解數(shù)學(xué)題,這就是要找到一種數(shù)學(xué)原理(定義,公理,定理,定律,公式)的序列,把這些原理用于習(xí)題的條件或者條件的推論(解題的中間結(jié)果)得到習(xí)題所要的東西,即習(xí)題的答案”.第27頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第28頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

弗里得曼認(rèn)為:“如果把解題過程理解為從開始得到習(xí)題到完全解完這道題的過程,那么這個(gè)過程顯然不單是由敘述已經(jīng)找到的解題組成的,而是由一系列的階段組成的,敘述題解只是其中的一個(gè)階段.”

他把全過程分成8個(gè)階段：

1-----分析習(xí)題;

2-----作習(xí)題的圖示;

3-----尋找解題方法;

4-----進(jìn)行解題;

5-----檢驗(yàn)解題;

6-----討論習(xí)題;

7-----陳述習(xí)題答案;

8-----分析題解.

第29頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、數(shù)學(xué)解題就是連續(xù)化簡(jiǎn)

唐以榮教授提出了“解題過程的本質(zhì)”這個(gè)問題,并經(jīng)過潛心研究得出“連續(xù)化簡(jiǎn)”這一觀點(diǎn).唐以榮教授指出:“解題的根本要求是什么?是有目的、有根據(jù)的連續(xù)化簡(jiǎn)(簡(jiǎn)稱連續(xù)化簡(jiǎn)),即在完全合乎邏輯的前提下,把原題連續(xù)地化成比較簡(jiǎn)單的題目,直到新的題目與原題的結(jié)論或條件產(chǎn)生明顯的邏輯聯(lián)系為止”,“解題的根本要求就是連續(xù)化簡(jiǎn)”.第30頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第31頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第32頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第33頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

唐以榮教授指出:“題目的復(fù)雜部分之所以能夠連續(xù)化簡(jiǎn),那是由于復(fù)雜部分本來由若干簡(jiǎn)單部分組成,完全可以作到每步化簡(jiǎn)都有充分根據(jù),穩(wěn)扎穩(wěn)打,用不著猜想.當(dāng)題目的已知條件在兩項(xiàng)以上時(shí),之所以能連續(xù)化簡(jiǎn),是因?yàn)?可以把二項(xiàng)(或一項(xiàng)條件與另一項(xiàng)條件的明顯的推論)聯(lián)系起來引出過渡性結(jié)論,而這一過渡性結(jié)論又能與其他的條件(或它的明顯的推論)聯(lián)系起來,引出新的過渡性結(jié)論--這樣連續(xù)下去,就得到通向結(jié)論的一系列過渡性結(jié)論”.

第34頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§4數(shù)學(xué)解題的目的

波利亞的名言:“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題.”數(shù)學(xué)解題的目的、價(jià)值有三個(gè)方面:知識(shí)基礎(chǔ)性、方法技能性、觀念意識(shí)性,分別對(duì)應(yīng)著認(rèn)識(shí)論、方法論、世界觀.一、加深理解概念，鞏固拓展知識(shí)

數(shù)學(xué)概念是整個(gè)數(shù)學(xué)宮殿的基石,任何數(shù)學(xué)公式、定理、原理或法則都孕育在數(shù)學(xué)概念之中.第35頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

二、掌握數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能解題需要方法,而解題方法大多是數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)方法的變式.如果將解題過程比作珍珠項(xiàng)鏈,那么概念、公式、法則、定理公理等基礎(chǔ)知識(shí)就是珍珠,而數(shù)學(xué)方法則是將“珍珠”串起來的“線”.

缺乏方法的內(nèi)容是死的，脫離內(nèi)容的方法是盲的。數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)方法緊密相連，數(shù)學(xué)解題是培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能的良好途徑，并且數(shù)學(xué)技能通過數(shù)學(xué)解題能夠反映出來。第36頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

三、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練思維品質(zhì)解題過程無不蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想，解題的方法技巧是數(shù)學(xué)思想下的方法技巧，數(shù)學(xué)思想是解題活動(dòng)的指導(dǎo)思想。

數(shù)學(xué)思維的核心是什么?正是數(shù)學(xué)思想.

因此，解題的一個(gè)重要意義就是通過解題掌握數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想分析問題、解決問題的能力。數(shù)學(xué)解題是培養(yǎng)思維品質(zhì)的良好途徑，具體表現(xiàn)為：①在運(yùn)用知識(shí)中