數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出

數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六本篇主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程的建立和求解重點(diǎn)：數(shù)學(xué)物理方程求解方法中的分離變量法。特點(diǎn)：加強(qiáng)物理模型和數(shù)學(xué)物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據(jù)數(shù)學(xué)物理模型建立數(shù)學(xué)物理方程。

第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第二篇緒論數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程。數(shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律。第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)際中，經(jīng)常要研究空間連續(xù)分布的各種物理場的狀態(tài)和物理過程，例如電磁波在空間和時(shí)間中的變化，半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中雜質(zhì)濃度在硅片中的分布和隨時(shí)間變化關(guān)系等等。總之，是研究某個(gè)物理量在空間某個(gè)區(qū)域的分布以及它怎樣隨時(shí)間變化。其中的自變數(shù)不僅僅是時(shí)間，而且還必須包括空間坐標(biāo)。解決這些問題，首先必須掌握所研究的物理量在空間中的分布規(guī)律和時(shí)間中的變化規(guī)律，這就是物理課題中所研究并加以討論的物理規(guī)律。物理規(guī)律反映同一物理現(xiàn)象的共同規(guī)律，即普遍性，亦即共性。第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六個(gè)性：同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性，即個(gè)性。物理規(guī)律不反映這種個(gè)性。

例如，半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中，有“恒定表面濃度擴(kuò)散”和“限定源擴(kuò)散”。前者是表面雜質(zhì)濃度一定，后者是雜質(zhì)總量一定，雖擴(kuò)散規(guī)律一樣，但其結(jié)果顯然不同。又如電磁波在空間的傳播。因此，為解決具體問題，必須考慮“環(huán)境”的影響，即邊界所處的物理狀況——邊界條件。第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六同時(shí)，研究問題還不能割斷歷史。

例如同一根琴弦，用不同的東西去敲，發(fā)出的聲音是不一樣的。雖然其振動(dòng)是按照同一規(guī)律進(jìn)行，但是由于所謂“初始”時(shí)刻的振動(dòng)是不一樣的，故后來振動(dòng)也不一樣。又如，不同初始濃度的硅片雜質(zhì)擴(kuò)散，在相同的工藝條件下，其擴(kuò)散結(jié)果也是不一樣的。故還必須考慮研究對(duì)象特定“歷史”，即初始時(shí)刻的狀態(tài)——初始條件。第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環(huán)境和歷史，即問題的特殊性。在數(shù)學(xué)上，邊界條件和初始條件合稱為定解條件。物理規(guī)律用數(shù)學(xué)的語言“翻譯”出來，往往是偏微分方程——數(shù)學(xué)物理方程。數(shù)學(xué)物理方程，作為同一類物理現(xiàn)象的共性，跟具體條件無關(guān)。在數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)物理方程本身（不連帶定解條件）叫作泛定方程。第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六聲振動(dòng)是研究聲源與聲波場之間的關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場之間的關(guān)系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國數(shù)學(xué)家）方程表示的是電勢（或電場）和電荷分布之間的關(guān)系定解問題從物理規(guī)律角度來分析，數(shù)學(xué)物理定解問題表征的是場和產(chǎn)生這種場的源之間的關(guān)系．第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六根據(jù)分析問題的不同出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問題分為正向問題和逆向問題.不同出發(fā)點(diǎn)

正向問題，即為已知源求場

逆向問題，即為已知場求源.

前者是經(jīng)典數(shù)學(xué)物理所討論的主要內(nèi)容。后者是高等數(shù)學(xué)物理（或稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理）所討論的主要內(nèi)容。第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六多數(shù)為二階線性偏微分方程振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿足波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題滿足熱傳導(dǎo)方程靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程數(shù)學(xué)物理方程的類型和所描述的物理規(guī)律第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第七章數(shù)學(xué)物理定解問題1、數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出2、定解條件3、數(shù)學(xué)物理方程的分類4、達(dá)朗貝爾公式第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六7.1.1波動(dòng)方程的建立1、弦的微小橫振動(dòng)考察一根長為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題．要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定弦的運(yùn)動(dòng)方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律

（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

7.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六注意：物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡化。數(shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任何位置作為考察點(diǎn)。圖7.1第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六

根據(jù)牛頓第二定律方向運(yùn)動(dòng)的方程可以描述為

作用于小段的縱向合力應(yīng)該為零：

(7.1.2)僅考慮微小的橫振動(dòng)，

夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據(jù)級(jí)數(shù)展開式有（7.1.1）

第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六注意到:故由圖7.1得這樣，(7.1.1)和(7.1.2)簡化為(7.1.3)(7.1.4)第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六因此在微小橫振動(dòng)條件下，可得出

，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(7.1.5)變化量可以取得很小，根據(jù)微分知識(shí)有下式成立

這樣，段的運(yùn)動(dòng)方程(7.1.5)就成為

(7.1.6)第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六即為討論：（1）設(shè)弦的重量不能忽略不計(jì)，則弦振動(dòng)方程為怎樣形式？

（7.1.7）上式即為弦作微小橫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，簡稱為弦振動(dòng)方程．

其中（7.1.8）

第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六(2)如果在弦的單位長度上還有橫向外力作用，則式(7.1.7)應(yīng)該改寫為

(7.1.9)式中稱為力密度

，為時(shí)刻作用于處單位質(zhì)量上的橫向外力式（7.1.9）稱為弦的受迫振動(dòng)方程。第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六2、均勻桿的縱振動(dòng)（7.1.10）可得

（7.1.11）

這就是桿的縱振動(dòng)方程。圖7.2從圖容易得到B段的伸長為而相對(duì)伸長則為確切的說，相對(duì)伸長隨地點(diǎn)而異，B的兩端相對(duì)伸長不一樣。根據(jù)胡克定理，B段的運(yùn)動(dòng)方程為：第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六討論(1)對(duì)于均勻桿，和是常數(shù)，(7.１.11）可以改寫成（7.１.12）

其中這與弦振動(dòng)方程（7.１.8）具有完全相同的形式．（2）桿的受迫振動(dòng)方程跟弦的受迫振動(dòng)方程（7.１.9）完全一樣，只是其中應(yīng)是桿的單位長度上單位橫截面積所受縱向外力第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六3*、傳輸線方程（電報(bào)方程）

（7.1.13）

同理可得：

(7.1.14)

式（7.1.13）及（7.1.14）即為一般的傳輸線方程。圖7.3第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六(1)無失真線

(7.1.15)

其中(2)無損耗線（7.1.16）

(7.1.17)

具有與振動(dòng)方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六(3)無漏導(dǎo)，無電感線（7.1.18）

(7.1.19)它們具有與下節(jié)將討論的一維熱傳導(dǎo)方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同．第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六7.1.2

熱傳導(dǎo)類型方程的建立

1、熱傳導(dǎo)方程

第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六圖7.3第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六或?qū)懗?/p>

(7.1.21)第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六

2、擴(kuò)散方程

(7.1.24)

其中將一維推廣到三維，即得到

(7.1.25)上述方程與熱傳導(dǎo)方程具有完全類似的形式

第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為（7.1.26）

從上面的推導(dǎo)可知，熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不同的物理現(xiàn)象，但可以用同一類方程來描述。第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六7.1.3靜電場的電勢方程上兩方程分別稱為泊松方程和拉普拉斯方程。第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六2、穩(wěn)定溫度分布導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時(shí)間變化故熱傳導(dǎo)方程中對(duì)時(shí)間的偏微分項(xiàng)為零，從而熱傳導(dǎo)方程（7.1.22)，(7.1.23)即為下列拉普拉斯方程和泊松方程.

(7.1.29)

(7.1.30)第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六總結(jié)三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六作業(yè)P1521,4（7.1.8）

推導(dǎo)不忽略重力時(shí)的弦振動(dòng)方程第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六7.2定解條件7.2.1初始條件對(duì)于隨著時(shí)間發(fā)展變化的問題，必須考慮到研究對(duì)象的特定“歷史”，也就是某個(gè)所謂“初始”時(shí)刻的狀態(tài)，即初始條件。1、波動(dòng)方程的初始條件

第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六例7.2.1

一根長為的弦，兩端固定于和,在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為的位置將弦沿著橫向拉開距離

，如圖7.4所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫出初始條件。

b

xuolh圖7.4

解:初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移如圖所示

第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六2、熱傳導(dǎo)方程的初始條件對(duì)于輸運(yùn)過程（擴(kuò)散，熱傳導(dǎo)），初始狀態(tài)指的是研究的物理量的初始分布（初始濃度分布、初始溫度分布）。因此，初始條件為（7.2.2）

其中是已知函數(shù)。3、沒有初始條件的問題在周期性外源引起的輸運(yùn)問題或周期性外力作用下的振動(dòng)問題中，經(jīng)過很多周期后，初始條件引起的自由運(yùn)輸或自由振動(dòng)可以認(rèn)為消失，這樣就完全可以忽略初始條件的影響，這類問題稱為沒有初始條件的問題。穩(wěn)定場問題（靜電場、穩(wěn)定濃度分布，穩(wěn)定溫度分布等）根本就不存在初始條件問題，無需多說。第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六7.2.2邊界條件研究具體的物理系統(tǒng)，還必須考慮研究對(duì)象所處的特定“環(huán)境”，二周圍環(huán)境的影響通常體現(xiàn)為邊界上的物理情況，即邊界條件。常見的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件

直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值（7.2.3）

第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第二類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值（7.2.4）

第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第三類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值（7.2.5）

其中是時(shí)間的已知函數(shù)，為常系數(shù)．

第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六7.2.3銜接條件由于某些原因，研究的區(qū)域里出現(xiàn)躍變點(diǎn)，泛定方程在躍變點(diǎn)失去意義，把躍變點(diǎn)兩邊連接起來需要滿足的條件稱為銜接條件。第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六例7.2.2

長為的弦在端固定，另一端自由，且在初始時(shí)刻時(shí)處于水平狀態(tài)，初始速度為，且已知弦作微小橫振動(dòng)，試寫出此定解問題.

【解】（1）確定泛定方程：取弦的水平位置為軸，為原點(diǎn)，弦作自由（無外力）橫振動(dòng)，所