中考總復(fù)習(xí)：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)-知識(shí)講解(基礎(chǔ))

PAGE中考總復(fù)習(xí)：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】(1)借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，會(huì)求有理數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)與絕對(duì)值．理解有理數(shù)的運(yùn)算律，并能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算；（2）了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算；（3）了解整式、分式的概念，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加、減運(yùn)算；會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)算．會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除運(yùn)算．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)1．實(shí)數(shù)及其分類實(shí)數(shù)可以按照下面的方法分類：實(shí)數(shù)還可以按照下面的方法分類：要點(diǎn)詮釋：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)．2．?dāng)?shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸．每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．要點(diǎn)詮釋：實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)的這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系是數(shù)學(xué)中把數(shù)和形結(jié)合起來的重要基礎(chǔ)．3．相反數(shù)實(shí)數(shù)a和-a叫做互為相反數(shù)．零的相反數(shù)是零．一般地，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，分別在原點(diǎn)的兩旁，并且離原點(diǎn)的距離相等．要點(diǎn)詮釋：兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的運(yùn)算特征是它們的和等于零，即如果a和b互為相反數(shù)，那么a+b＝0；反過來，如果a+b＝0，那么a和b互為相反數(shù)．4．絕對(duì)值一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零，即如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＜0，那么|a|＝-a；如果a＝0，那么|a|＝0．要點(diǎn)詮釋：從絕對(duì)值的定義可以知道，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)．5．實(shí)數(shù)大小的比較在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大．6．有理數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則(略)．(2)運(yùn)算律：加法交換律a+b＝b+a；；(a≠0，m＞n)．其中m、n都是正整數(shù)．②整式的乘法：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式，用它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對(duì)于相同字母，用它們的指數(shù)的和作為積里這個(gè)字母的指數(shù)，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．③乘法公式：；．④零和負(fù)整數(shù)指數(shù)：在(a≠0，m，n都是正整數(shù))中，當(dāng)m＝n時(shí)，規(guī)定；當(dāng)m＜n時(shí)，如m-n＝-p(p是正整數(shù))，規(guī)定．7．因式分解（1）因式分解的概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解．在因式分解時(shí)，應(yīng)注意：①在指定數(shù)(有理數(shù)、實(shí)數(shù))的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解．②因式分解以后，如果有相同的因式，應(yīng)寫成冪的形式，并且要把各個(gè)因式化簡(jiǎn)．（2）因式分解的方法①提公因式法：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．②運(yùn)用公式法：；；③十字相乘法：．（3）因式分解的步驟①多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提取公因式；②考慮所給多項(xiàng)式是否能用公式法分解．要點(diǎn)詮釋：因式分解時(shí)應(yīng)注意:①在指定數(shù)（有理數(shù)、實(shí)數(shù)）的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，若題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式，并且要把各個(gè)因式化簡(jiǎn)，同時(shí)每個(gè)因式的首項(xiàng)不含負(fù)號(hào)；③多項(xiàng)式的因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆變形.8．分式（1）分式的概念形如的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零．（2）分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．，．(其中M是不等于零的整式)（3）分式的運(yùn)算①加減法：，．②乘法：．③除法：．④乘方：（n為正整數(shù)）．要點(diǎn)詮釋：

解分式方程的注意事項(xiàng)：（1）去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；（2）解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審——仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗(yàn)——檢驗(yàn)增根；

(6)答——答題．【典型例題】類型一、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念及運(yùn)算1．實(shí)數(shù)，，，，中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．2B．3C．4D．5【思路點(diǎn)撥】常見的無理數(shù)有以下幾種形式：（1）字母型：如π是無理數(shù)，等都是無理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)；（2）構(gòu)造型：如2.10100100010000…（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)0）就是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù)；（3）根式型：…都是一些開方開不盡的數(shù)；（4）三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.【答案】A；【解析】本題主要考查無理數(shù)的概念.無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，，都是無限不循環(huán)小數(shù)，故共有2個(gè)無理數(shù).【總結(jié)升華】無理數(shù)通常有以下幾類：①開方開不盡的數(shù)；②含的數(shù)；③看似循環(huán)但實(shí)際不循環(huán)的小數(shù)；④三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.抓住這幾類無理數(shù)特征，則可以輕松解決有關(guān)無理數(shù)的相關(guān)試題.舉一反三：【高清課程名稱：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)高清ID號(hào)：402392關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1—2】【變式】如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為－1和，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)為()．A． B．－C． D．【答案】A. 2．計(jì)算：(1)；(2)．【思路點(diǎn)撥】注意在第（1）題中，與的不同運(yùn)算順序和的運(yùn)算順序.【答案與解析】(1)．(2)．【總結(jié)升華】在進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算的順序，要有靈活運(yùn)用運(yùn)算律、運(yùn)算法則和相反數(shù)、倒數(shù)、0、1的運(yùn)算特性的意識(shí)，尋求簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑．舉一反三：【變式】；【答案】．3．若，計(jì)算.【思路點(diǎn)撥】幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)必定同時(shí)為0，進(jìn)而求出x、y的值.【答案與解析】依題意得解得∴【總結(jié)升華】這三個(gè)非負(fù)數(shù)中任意幾個(gè)相加得0，則每一個(gè)都得0.舉一反三：【變式】已知，則．【答案】本題考查絕對(duì)值與算數(shù)平方根的非負(fù)性，兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，所以這兩數(shù)都為0.因?yàn)?，所以a=-1,b=8.﹣9.類型二、分式的有關(guān)運(yùn)算4．對(duì)于分式，當(dāng)x取何值時(shí)，(1)分式有意義?(2)分式的值等于零?【思路點(diǎn)撥】當(dāng)分母等于零時(shí)，分式?jīng)]有意義，此外，分式都有意義；當(dāng)分子等于零，并且分母不等于零時(shí)，分式的值等于零.【答案與解析】(1)由分母x+1＝0，得x＝-1．∴當(dāng)x≠-1時(shí)，分式有意義．(2)由分子，得或．而當(dāng)x＝-1時(shí)，分母x+1＝0；當(dāng)x＝1時(shí)，分母．∴當(dāng)x＝l時(shí)，分式的值等于零．【總結(jié)升華】討論分式有無意義時(shí)，一定要對(duì)原分式進(jìn)行討論，而不能討論化簡(jiǎn)后的分式．類型三、二次根式的運(yùn)算5．計(jì)算：（1）；（2）．【思路點(diǎn)撥】在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，一般先化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式．在進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算時(shí)，一般先進(jìn)行乘除運(yùn)算，再化成最簡(jiǎn)二次根式．無論進(jìn)行何種運(yùn)算，最后結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)二次根式的形式．【答案與解析】（1）．（2）．【總結(jié)升華】在二次根式運(yùn)算中，要注意根據(jù)題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)．能夠運(yùn)用乘法公式使運(yùn)算簡(jiǎn)捷一些的，可以應(yīng)用乘法公式．舉一反三：【變式】計(jì)算：；【答案】．6．當(dāng)x為何值時(shí)，下列式子有意義？（1）；（2）．【思路點(diǎn)撥】第（1）題中，根號(hào)外的負(fù)號(hào)與根號(hào)是否有意義無關(guān)；第（2）題中，因?yàn)榕c分式有關(guān)，因此要綜合考慮x的取值范圍．【答案與解析】（1），即．∴當(dāng)時(shí)，有意義．（2），且x+5≠0，∴當(dāng)，且x≠-5時(shí)，有意義．【總結(jié)升華】要使偶次根式有意義，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；分式有意義分母不為0.舉一反三：【高清課程名稱：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)高清ID號(hào)：402392關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1—2】【變式】下列說法中，正確的是()A．3的平方根是B．5的算術(shù)平方根是C．－7的平方根是D．a(chǎn)的算術(shù)平方根是【答案】B.類型四、數(shù)與式的綜合運(yùn)用7．用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按圖1-1方式鋪地板，則第（3）個(gè)圖形中有黑色瓷磚塊，第n個(gè)圖形中需要黑色瓷磚塊（用含n的代數(shù)式表示）．（1）（1）（2）（3）……圖1-1【思路點(diǎn)撥】找規(guī)律題至少要推算出三個(gè)式子的值，再去尋求規(guī)律，考察了認(rèn)真觀察、分析、歸納、由特殊到一般，由具體到抽象的能力.【答案】10，1+3n．【解析】根據(jù)圖形可得出以下數(shù)據(jù)：第1個(gè)圖形，黑色瓷磚4塊；第2個(gè)圖形，黑色瓷磚7塊；第3個(gè)圖形，黑色瓷磚10塊……不難看出，每幅圖形中的黑色瓷磚依次增加3塊，如果把第一個(gè)圖形中的黑色瓷磚表示為1＋3，則第2個(gè)圖形中的黑色瓷磚可表示為1＋3×2……所以第n個(gè)圖形中的黑色瓷磚為1+3n．【總結(jié)升華】本題考查數(shù)形結(jié)合、整理信息，將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)