例析數(shù)學(xué)思想方法在等腰三角形中的應(yīng)用 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選例析數(shù)學(xué)思想方法在等腰三角形中的應(yīng)用摘要：數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的精髓，也是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。注重?cái)?shù)學(xué)思想滲透是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。教師在教學(xué)過程中通過數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，能有效發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。文章通過選擇近年關(guān)于等腰三角形的典型試題并加以評析，以探求數(shù)學(xué)思想在實(shí)際教學(xué)過程中的具體運(yùn)用。 關(guān)鍵詞：等腰三角形，一般到特殊，方程，類比，分類討論，建模

引言：等腰三角形是一種特殊而又十分重要的幾何圖形。正是因?yàn)檫@種特殊性，決定了其性質(zhì)判定應(yīng)用靈活多樣，與之相對應(yīng)的，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐漸接觸并運(yùn)用到許多重要的數(shù)學(xué)思想，一般主要涉及一般到特殊、方程、類比、分類討論、建模這幾類數(shù)學(xué)思想方法。一、一般到特殊數(shù)學(xué)思想等腰三角形是一種特殊三角形，它具備有兩條邊相等的特點(diǎn)。教材內(nèi)容的安排是讓學(xué)生學(xué)習(xí)一般三角形知識后再拓展到等腰三角形，熟悉一般等腰三角形之后又繼續(xù)深入探究到更特殊的等腰三角形（等腰直角三角形、等邊三角形及含36度角的等腰三角形等）。這樣，學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過程自然順暢，一系列三角形的知識點(diǎn)導(dǎo)出過渡自然，水到渠成。二、方程思想 方程思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要思想，在等腰三角形求角度的代數(shù)問題中，往往可以通過設(shè)未知數(shù)，利用題意來設(shè)法建立方程（組）來求解。 例1.如圖1，點(diǎn)K、B、C分別在GH、GA、KA上，且AB=AC，BG=BH，KA=KG，求∠BAC的度數(shù)。分析：解決本題關(guān)鍵是利用等腰三角形性質(zhì)，在角度的基礎(chǔ)上建立一元一次方程。解:∵KA=KG

∴∠G=∠A

∵BG=BH

∴∠H=∠G

∴∠G=∠A=∠H，故設(shè)∠A=x°,則

由三角形的外角性質(zhì)，∠ABC=∠G+∠H=2∠A=2x°∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=2∠A=2x°

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°

∴x+2x+2x=180°圖1 解得x=36°

例2. 如圖2，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE。求∠A的度數(shù)，

分析：首先根據(jù)等腰三角形及三角形外角的性質(zhì)，利用方程思想設(shè) 圖212022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選未知數(shù)求解

解：設(shè)∠EBD=x°

∵BE=DE

∴∠EDB=∠EBD=x°

∴∠AED=2x°

∵AD=DE

∴∠A=∠AED=2x°

∴∠BDC=3x°

∵BD=BC

∴∠C=∠BDC=3x°

∵AB=AC

∴∠ABC=∠C=3x°

∵∠A+∠C+∠ABC=180°

∴2x+3x+3x=180°

解得x=22.5°

∴∠A=45°三、類比數(shù)學(xué)思想類比就是根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對象之間存在的某些相似或相同的屬性、特征等，推斷它們在其它方面也可能具有相似或相同的邏輯方法。本章很多概念都可以通過類比數(shù)學(xué)思想方法展開得到，比如等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，它不僅具有等腰三角形的一切性質(zhì)，而且還有自身的特殊性質(zhì)與判定定理，它的許多知識點(diǎn)都是通過類比等腰三角形得出的。在解題過程中恰當(dāng)?shù)厥褂妙惐葦?shù)學(xué)思想，能夠有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，下面這道中考題考查了等腰三角形的角度計(jì)算，可以采用類比方法進(jìn)行分類求解。例3.數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：

1、等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度數(shù)。（答案：35°）

2、等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度數(shù)。（答案：40°或70°或100°）變式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度數(shù)

（1）請你解答以上的變式題。（2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同。如果在等腰三角形ABC中，設(shè)∠A=x°，當(dāng)∠B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí)，請你探索x的取值范圍。 分析:本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是采用類比思想進(jìn)行分類求解。解：（1）當(dāng)∠A為頂角，則∠B=（180°－∠A）÷2=50°；當(dāng)∠A為底角，若∠B為頂角，則∠B=180°－2×80°=20°；當(dāng)∠A為底角，若∠B為底角，則∠B=80°；

∴∠B=50°或20°或80°；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)90≤x＜180時(shí)，∠A只能為頂角，

∴∠B的度數(shù)只有一個(gè)；

②當(dāng)0＜x＜90時(shí)，22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選當(dāng)DA為頂角，則DB180-=(2x)°當(dāng)∠A為底角，若∠B為頂角，則∠B=（180－2x)°，當(dāng)∠A為底角，若∠B為底角，則∠B=x°。當(dāng)180-x1180-2x且180-x1x且180-2x1x22即x≠60時(shí)，∠B有三個(gè)不同的度數(shù).綜合①②，當(dāng)0＜x＜90且x≠60時(shí)，∠B有三個(gè)不同的度數(shù)。四、分類討論數(shù)學(xué)思想因?yàn)榈妊切蔚捻旤c(diǎn)、頂角、底角、腰、底邊及形狀等都有很多不確定性，所以我們常常按照一定標(biāo)準(zhǔn)，把所研究的問題分成若干類，互不包含，又沒有遺漏，一類一類解決，然后進(jìn)行歸納，得出問題的答案。這種分類討論思想有利于學(xué)生化整為零、完整的考慮問題。1.對頂角和底角或者腰長和底邊長又或者三角形形狀的分類討論的計(jì)算題例4.等腰三角形的兩邊長分別為6cm，13cm，其周長為cm． 分析:題目給出等腰三角形有兩條邊長為6cm和13cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以需要根據(jù)等腰三角形定義確定腰和底邊的長，再利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行判斷并計(jì)算，所以要進(jìn)行討論。解：由題意知，應(yīng)分兩種情況：

（1）當(dāng)腰長為6cm時(shí)，三角形三邊長為6，6，13，6+6＜13，不能構(gòu)成三角形；（2）當(dāng)腰長為13cm時(shí)，三角形三邊長為6，13，13，周長＝2×13+6＝32cm．故答案為32．例5.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰所成夾角為45o，則頂角度數(shù)為。分析：根據(jù)等腰三角形腰上的高的位置不確定性分類討論并求解。圖3圖4圖5解：（1）如圖3，如果頂角為銳角，則腰上的高在等腰三角形的內(nèi)部?！連D⊥AC，∠ABD=45°，∴∠A=45°，即頂角度數(shù)為45°。（2）如圖4，如果頂角為鈍角，則一腰上的高在等腰三角形的外部?！連D⊥AC，∠DBA=45°，∴∠BAD=45°

∴∠BAC=180°－45°=135°，即頂角度數(shù)為135°。（3）如圖5，若頂角為直角，兩條腰相互垂直，則一腰上的高與另一腰重合，因此它們的夾角為0°。顯然與已知矛盾，故舍去。綜上所述，此等腰三角形的頂角為45°、135°。 2.運(yùn)用分類討論分割等腰三角形的操作題

例6.已知△ABC三邊長分別為4、4、6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）條．A.3B.4C.5D.632022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選分析：本題主要考察的是等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并用分類方法進(jìn)行討論研究。解:假設(shè)AB=AC=4，BC=6，畫出圖6。(1)分別以B、C為圓心，以4為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)G、D，連AG、AD,則△BAG與△CAD均為等腰三角形(2)作AB、AC的垂直平分線，分別交BC于點(diǎn)E、F，連接AE、AF,則△ABE與△ACF均為等腰三角形。綜上所述，最多可畫4條直線。圖6 3.在網(wǎng)格或平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)用分類討論思想求作等腰三角形的探究題例7.如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，連接AO，點(diǎn)P在x軸上，使△AOP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4分析:△AOP為等腰三角形，共三種情況（如圖7）：（1）OA=OP，此時(shí)應(yīng)以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓交x軸于P1、P2，P1、P2圖7為所求；（2）AO=AP，此時(shí)應(yīng)以A為圓心，AO為半徑作圓交x軸于P3，P3為所求；（3）PA=PO，此時(shí)作線段OA的中垂線交x軸于P4，P4為所求。綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4，故選D．例8.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為(10,4)，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)。當(dāng)△ODP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為多少？分析:如圖8，當(dāng)OD=OP時(shí)，以點(diǎn)O為圓心以O(shè)D=5為半徑畫圓，交BC于點(diǎn)P1，P1點(diǎn)坐標(biāo)為(3，4)；當(dāng)PD=PO時(shí)，作線段OD的垂直平分線，交BC于點(diǎn)P2，P2點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,4)；當(dāng)DO=DP時(shí)，以點(diǎn)D為圓心，以DO=5為半徑畫圓，交BC于點(diǎn)P3、P4，坐標(biāo)分別為(2，4)、(8，4)。圖8 綜上所述，此題共有4個(gè)答案，P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(3,4)或P2(2.5,4)或P3(2,4)或P4(8,4)。五、建模思想數(shù)學(xué)新課標(biāo)教學(xué)大綱中明確提出，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行歸納總結(jié)且應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生在思維情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到發(fā)展，所以說強(qiáng)化了數(shù)學(xué)建模能力，不僅能使學(xué)生更好的掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，學(xué)會(huì)基本思想方法，也能增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，提高分析問題、解決實(shí)際問題的能力，常見的幾何模型有一些就是以等腰三角形為背景的構(gòu)圖。比如手拉手模型、一線三直角模型、等腰三角形中120°含60°半角模型、等腰直角三角形中90°含45°半角模型1.手拉手模型它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形形成的圖形。例9.如圖9所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC＝∠DAE，且點(diǎn)B、A、D在一條直線上，連接BE、CD、M、N分別為BE、CD的中點(diǎn)．（1）求證：①BE=CD.②AN=AM.（2）在圖9的基礎(chǔ)上，將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖10所示的圖圖9 圖1042022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選形．則（l）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明；否則，說明理由． （1）∵∠BAC=∠DAE

∴∠BAE=∠CAD

在△ABE和△ACD中ì

?í?

?AB=ACDBAE=DCADAD=AE∴△ABE≌△ACD

∴BE=CD②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD

∵M(jìn)、N分別是BE、CD的中點(diǎn)

∴BM=CN，

在△ABM和△ACN中ì

?í?

?AB=ACDABM=DACNBM=CN ∴△ABM≌△ACN

∴AM＝AN

即△AMN為等腰三角形

（2）圖10所示的圖形中，（1）的兩個(gè)結(jié)論仍然成立。利用（1）中的證明方法仍然可以得出（1）中的結(jié)論，思路不變。2.一線三直角模型這個(gè)模型是初中幾何中的一個(gè)重要模型，也稱為“三垂直模型”。最簡單的基本圖形就是一條直線上，依次有三個(gè)直角，若在等腰直角三角形的背景下，可構(gòu)造出全等三角形。 例10.如圖11，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過點(diǎn)A的一條直線，且點(diǎn)B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于點(diǎn)D，CE⊥AE于點(diǎn)E.（1）求證：BD＝DE＋CE. （2）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖12所示的位置(BD＜CE)，其他條件不變，則BD與DE，CE之間有何數(shù)量關(guān)系？請予以說明． （3）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖13所示的位置(BD＞CE)，其他條件不變，則BD與DE，CE之間有何數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)果．圖11圖12圖13證明：（1）∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠EAC=90°，52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選又∵BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠EAC，

在△ABD與△CAE中，ì

?í?

?DADB=DCEADABD=DCAEAB=CA∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，AD=CE，

∵AE=AD+DE=CE+DE，

∴BD=DE+CE．（2）

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠EAC=90°，

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠EAC，

在△ABD與△CAE中，ì

?í?

?DADB=DCEADABD=DCAEAB=CA∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE=CE+BD，

∴DE=BD+CE．（3）DE=BD+CE．例11.如圖14，△ABC中，∠ABC=90°，AC=CE，BC=CD，∠ACE=∠BCD=90°，BC的延長線交DE于F．（1）求證：EF=DF；（2）求證：S△ABC=S△DCE分析：本題考查了一線三直角模型及全等三角形的判定性質(zhì)、三角形面積等知識的綜合運(yùn)用證明：（1）作EG⊥BF，交BF延長線于G，如圖15所示：則∠CGE=∠ABC=90°，

∵∠ACE=90°，

∴∠ACB+∠ECG=90°，

∵∠ACB+∠BAC=90°，

∴∠ECG=∠BAC，

在△ABC和△CGE中，圖14圖1562022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選ì

?í?

?DECG=DBAC，DCGE=DABCAC=CE∴△ABC≌△CGE（AAS），

∴BC=EG，

∵BC=CD，

∴EG=CD，

∵∠BCD=90°，

∴∠DCF=90°=∠EGF，

在△CFD和△GFE中，ì

?í?

?DDCF=DEGF，DCFD=DGFECD=EG∴△CFD≌△GFE（AAS），

∴EF=DF；

（2）∵△CFD≌△GFE，

∴S△CFD=S△GFE，

∴S△CFD+S△CFE=S△GFE+S△CFE，即S△DCE=S△CGE，

∵△ABC≌△CGE，

∴S△ABC=S△CGE，

∴S△ABC=S△DCE．3.半角模型它是一個(gè)角包含著它的一半大小的角，且共頂點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，解決此類模型問題常用的方法為通過角翻折，將一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行了等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等性質(zhì)，得出線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而解決問題。1.等腰三角形中120°含60°半角模型

例12.如圖16△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N，連接MN．（1）探究BM、MN、NC之間的關(guān)系，并說明理由．（2）若△ABC的邊長為2，求△AMN的周長．解：（1）MN=BM+NC，理由如下： 圖16延長AC至E，使得CE=BM（或延長AB至E，使得BE=CN），并連接DE，如圖1所示：∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°，

∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，圖1772022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選在△MBD與△ECD中，Qì?í??BD=CDD，DMBD=DECCE=BM∴△MBD≌△ECD（SAS），

∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，

∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，

∴∠BDM+∠CDN=60°，

∴∠CDE+∠CDN=60°，即∠EDN=60°，