2016屆山西省忻州臨汾長(zhǎng)治康杰高三下學(xué)期第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（A卷）

試題類(lèi)型：A2016屆高三年級(jí)第試題類(lèi)型：A數(shù)學(xué)（理）試題命題：忻州臨汾長(zhǎng)治康杰【滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘】第Ⅰ卷（選擇題60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知全集為R，集合則或B.或C.D.2.已知為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為A. B．C．D．3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù),又在上為增函數(shù)的是A． B．C． D.4.下列命題的說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．對(duì)于命題,則B．是的充分不必要條件C．若命題為假命題，則p，q都是假命題D．命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”5.某研究機(jī)構(gòu)對(duì)兒童記憶能力和識(shí)圖能力進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)：記憶能力識(shí)圖能力由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，,若某兒童的記憶能力為時(shí)，則他的識(shí)圖能力約為A.9.2B.9.5C6.從6個(gè)盒子中選出3個(gè)來(lái)裝東西，且甲、乙兩個(gè)盒子至少有一個(gè)被選中的情況有A.16種B.18種C.22種D.37種7.如果的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式中的系數(shù)是 A.7 B.﹣7 C.21 D.﹣21開(kāi)始結(jié)束輸出是否8.開(kāi)始結(jié)束輸出是否A.96 B.108 C.180 D.1989.如上圖所示程序框圖中，輸出S= A．45 B.﹣55 C.﹣66 D.6610.已知函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．若在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為 A． B． C． D．11.已知拋物線的焦點(diǎn)F到雙曲線C：漸近線的距離為，點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，P到雙曲線C的上焦點(diǎn)的距離與到直線的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為 A. B. C.D.12.已知函數(shù),若對(duì),均有,則的最小值為A. B． C.-2 D.0第Ⅱ卷（非選擇題90分）二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上)13.設(shè)滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_________14.已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形的中心,則__________15.已知函數(shù)的圖象如圖所示，它與軸在原點(diǎn)相切，且軸與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域（如圖陰影部分）的面積為,則的值為_(kāi)________16．在中,分別為角所對(duì)的邊,且,若,則__

三、解答題(本大題6小題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，并把解答寫(xiě)在答卷紙的相應(yīng)位置上)17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若，且數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，求證：.組別PM2.5（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率第一組(0,15]40.1第二組(15,30]120.3第三組(30,45]80.2第四組(45,60]80.2第五組(60,75]40.1第六組(75,90)40.118.（本小題滿分12分）根據(jù)國(guó)家《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定:居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱(chēng)可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過(guò)35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過(guò)75微克/立方米.某城市環(huán)保部門(mén)隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）寫(xiě)出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）；（2）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說(shuō)明理由；（3）將頻率視為概率，對(duì)于去年的某2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差.19.（本小題滿分12分）DBPAC在四棱錐中，底面是直角梯形，，,平面⊥平面DBPAC（1）求證：⊥平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的大小.SHAPE20.（本小題滿分12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為.以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的方程；(2)如圖，若斜率為的直線與軸、橢圓順次相交于(點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)的右側(cè))，且.求證直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出斜率的取值范圍．21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求的最大值.選做題:請(qǐng)考生從第22、23、24三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)。22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，的兩條中線和相交于點(diǎn)，且四點(diǎn)共圓.(1)求證：；(2)若，求.23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(其中為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求C的普通方程和直線的傾斜角；(2)設(shè)點(diǎn)(0，2)，和交于兩點(diǎn)，求.24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知（1）若，求不等式的解集；（2）對(duì)有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2016屆高三年級(jí)第四次四校聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）答案一．A卷：ADDCBACCBCDA二．3-117.(1)當(dāng)時(shí)有……………1分所以,當(dāng)時(shí)有,………3分又符合上式,所以…………………4分(2)………………8分所以………………11分所以……………12分18．（1）眾數(shù)為22.5微克/立方米,中位數(shù)為37.5微克/立方米．………4分（2）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為（微克/立方米）．因?yàn)椋匀ツ暝摼用駞^(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)．…………7分（3）記事件表示“一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，則.隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2.且.所以，所以變量的分布列為01210分（天）,或（天）……11分12分19.解：（1）證明：因?yàn)?，所以AB⊥BC因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB平面ABCD，所以AB⊥平面PBC.…………4分（2）如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)镻B=PC，所以PO⊥BC.因?yàn)镻B=PC，所以PO⊥BC，因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在的直線為x軸，在平面ABCD內(nèi)過(guò)O垂直于BC的直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.不妨設(shè)BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得，.6分所以，設(shè)平面PAD的法向量為.因?yàn)?，所以令，則.所以.8分取平面BCP的一個(gè)法向量，9分所以11分所以平面ADP與平面BCP所成的銳二面角的大小為…………12分20.(1)由題意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，即a2＝2b2.又∵b＝eq\f(\r(2),\r(1＋1))＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴橢圓方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.4分(2)由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＋2y2＝2))得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.由Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＞0，得m2則有x1＋x2＝eq\f(－4km,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2m2－2,2k2＋1).7分∵∠NF2F1＝∠MF2且∠MF2A≠90°，kMF2＋kNF2又F2(1,0)，則eq\f(y1,x1－1)＋eq\f(y2,x2－1)＝0，即eq\f(kx1＋m,x1－1)＋eq\f(kx2＋m,x2－1)＝0，化簡(jiǎn)得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m將x1＋x2＝eq\f(－4km,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2m2－2,2k2＋1)代入上式得m＝－2k，9分∴直線l的方程為y＝kx－2k，即直線過(guò)定點(diǎn)(2,0)．10分將m＝－2k代入m2＜2k2＋1，得4k2＜2k2＋1，即k2＜eq\f(1,2)，又∵k≠0，∴直線l的斜率k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).12分21.（1）函數(shù)f（x）=ex-ax-2的定義域是R，f′（x）=ex-a，1分

若a≤0，則f′（x）=ex-a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增2分

若a＞0，則當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）=ex-a＜0；當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）=ex-a＞0；

所以，f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增。5分

（2）由于a=1，7分令，，令，在單調(diào)遞增，9分且在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，11分由，又所以的最大值為212分（22）選修：幾何證明選講本小題主要考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、切割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．滿分10分．解法一：（Ⅰ）連結(jié)，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，則． 2分又因?yàn)闉椤鞯膬蓷l中線，所以分別是的中點(diǎn)，故∥． 3分所以， 4分從而． 5分（Ⅱ）因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，故為△的重心，延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，且． 6分在△與△中，因?yàn)?，，所以△∽△?7分所以，即． 9分因?yàn)?，，，所以，即，又，所以?10分解法二：（Ⅰ）同解法一． 5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以， 6分所以∽，所以， 7分由割線定理，， 9分又因?yàn)槭堑闹芯€，所以是的重心，所以,又，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以?10分23.解法一：（Ⅰ）由消去參數(shù)，得，2分由，得，（＊）3分將代入（＊），化簡(jiǎn)得，4分所以直線的傾斜角為．5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點(diǎn)在直線上，可設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），