2022江蘇省南通市通州區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022屆江蘇省南通市通州區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A．1 B．i C．－1 D．－i【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的乘方運算計算．【詳解】，所以．故選：C．2．已知集合，則(RA)∩B＝（

）A．[0，2) B．[－1，0) C．[－1，0] D．(－∞，－1)【答案】C【分析】解不等式確定集合，然后由集合的運算法則計算．【詳解】或，所以或，所以，，所以．故選：C.3．若二項式的展開式中常數(shù)項為160，則a的值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】求出二項式展開式的常數(shù)項，再列式計算作答.【詳解】二項式的展開式的常數(shù)項為，依題意，，解得，所以a的值為.故選：B4．甲、乙、丙共3人參加三項知識競賽，每項知識競賽第一名到第三名的分數(shù)依次為10，5，3.競賽全部結(jié)束后，甲獲得其中兩項的第一名及總分第一名，則下列說法錯誤的是（

）A．第二名、第三名的總分之和為29分或31分B．第二名的總分可能超過18分C．第三名的總分共有3種情形D．第三名不可能獲得其中任何一場比賽的第一名【答案】C【分析】根據(jù)給定條件按甲的得分情況分類，再求出第二名、第三名的得分即可判斷作答.【詳解】依題意，甲的得分情況有兩種：10，10，5和10，10，3，顯然3人的總得分為54分，甲得分為10，10，5時，第二名、第三名的總分之和為29分，甲得分為10，10，3時，第二名、第三名的總分之和為31分，A正確；甲得分為10，10，5時，第二名得分有三種情況：5，5，10；5，3，10；3，3，10，總分分別為20分，18分，16分，第三名得分對應(yīng)有三種情況：3，3，3；3，5，3；5，5，3，總分分別為9分，11分，13分，甲得分為10，10，3時，第二名得分有三種情況：5，5，10；5，3，10；3，3，10，總分分別為20分，18分，16分，第三名得分對應(yīng)有三種情況：3，3，5；3，5，5；5，5，5，總分分別為11分，13分，15分，選項B，D正確，第三名總分有4種情況，C不正確.故選：C5．梅森素數(shù)是指形如2p－1的素數(shù)，其中p也是素數(shù)(質(zhì)數(shù))，如27－1＝127是梅森素數(shù)，211－1＝23×89不是梅森素數(shù).長期以來，數(shù)學(xué)家們在尋找梅森素數(shù)的同時，不斷提出一些關(guān)于梅森素數(shù)分布的猜測，1992年中國學(xué)者周海中提出一個關(guān)于梅森素數(shù)分布的猜想，并首次給出其分布的精確表達式，被數(shù)學(xué)界命名為“周氏猜測”.在不超過20的素數(shù)中隨機抽取2個，則至少含有1個梅森素數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】不超過的素數(shù)為：，共個，其中，即個梅森素數(shù)，所以在不超過20的素數(shù)中隨機抽取2個，則至少含有1個梅森素數(shù)的概率為.故選：A6．已知a＝log0.20.02，b＝log660，c＝ln6，則（

）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷．【詳解】，，，，，易知，所以，即，所以．故選：A．7．在正三棱錐P－ABC中，D是棱PC上的點，且PD＝2DC.設(shè)PB，PC與平面ABD所成的角分別為α，β，則sinα：sinβ＝（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點到平面的距離為，根據(jù)線面角的定義求，，由此可求.【詳解】設(shè)點到平面的距離為，∵PB與平面ABD所成的角分別為α，∴，又與與平面ABD所成的角相等，∴，又PD＝2DC∴，故選：D.【點睛】8．函數(shù)y＝[x]廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領(lǐng)域，其中[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f(x)＝[log2x]，則f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（

）A．4097 B．4107 C．5119 D．5129【答案】B【分析】根據(jù)新函數(shù)的定義，確定的值，然后用分組求和法、錯位相減法求和．【詳解】由題意時，，，在上奇數(shù)共有個，，，，設(shè)，則，相減得：，所以，所以．故選：B．二、多選題9．下列命題中，正確的是（

）A．若事件與事件互斥，則事件與事件獨立B．已知隨機變量的方差為，則C．已知隨機變量服從二項分布，若，則D．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則【答案】BC【分析】由事件的互斥性可知它們一定不獨立來判斷第一個選項，由方差和期望的運算性質(zhì)可判斷BC選項，由正態(tài)曲線的對稱性可判斷D選項.【詳解】事件與事件互斥，即事件與事件不能同時發(fā)生，也就是其中一個事件的發(fā)生會干擾另一件的發(fā)生，即事件與事件一定不獨立，則A選項錯誤；由方差的運算性質(zhì)可知B選項正確；由二項分布的期望公式，，由期望的運算性質(zhì)，，則，C選項正確；由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可知，，根據(jù)對稱性，，于是，D選項錯誤.故選：BC.10．已知點A(4，3)在以原點O為圓心的圓上，B，C為該圓上的兩點，滿足，則（

）A．直線BC的斜率為 B．∠AOC＝60°C．△ABC的面積為 D．B、C兩點在同一象限【答案】ABD【分析】由向量相等得直線平行，線段相等，同時得出的方向，從而由斜率判斷A，由四邊形的形狀判斷B，求出三角形面積判斷C，確定與的夾角的大小判斷D．【詳解】，則平行且相等，，A正確；而，所以是菱形，且都是正三角形，即，B正確，，，C錯誤，設(shè)的傾斜角為，由且，若直線在直線上方，則，，均在第二象限，若直線在直線下方，由于，，因此點在第四象限，則（取較小角），在第四象限，綜上，在同一象限，D正確．故選：ABD．11．已知函數(shù)(A＞0，0＜φ＜π)的圖象如圖所示，則（

）A．B．是偶函數(shù)C．當時，f(x)的最大值為1D．若，則的最小值為π【答案】AC【分析】根據(jù)圖象求得，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性、最值等知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】由圖可知，A選項正確.，，所以.為奇函數(shù)，B選項錯誤.，，C選項正確.，若，則，，，，，當時，取得最小值為，D選項錯誤.故選：AC12．已知函數(shù)f(x)＝ekx，g(x)＝，其中k≠0，則（

）A．若點P(a，b)在f(x)的圖象上，則點Q(b，a)在g(x)的圖象上B．當k＝e時，設(shè)點A，B分別在f(x)，g(x)的圖象上，則|AB|的最小值為C．當k＝1時，函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于D．當k＝－2e時，函數(shù)G(x)＝f(x)－g(x)有3個零點【答案】ACD【分析】利用反函數(shù)的性質(zhì)判斷A；結(jié)合反函數(shù)性質(zhì)，求出的與直線相切的切線的切點坐標，由切點到直線的距離可得與圖象上兩點間的最短距離，從而判斷B；利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值判斷C；根據(jù)函數(shù)與的單調(diào)性及反函數(shù)的性質(zhì)，確定它們的交點個數(shù)，判斷D．【詳解】由得，，所以是的反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，A正確；時，，，由得，，所以函數(shù)的與直線平行的切線的切點是，到直線的距離是，所以，B錯；時，，則，是增函數(shù)，，，所以在，即在上存在唯一零點，，時，，時，，即在上遞減，在上遞增，所以，，，所以，由對勾函數(shù)知在上是減函數(shù)，，所以，C正確；時，是減函數(shù)，也是減函數(shù)，它們互為反函數(shù)，作出它們的圖象，如圖，易知它們有一個交點在直線上，在右側(cè)，的圖象在軸上方，而的圖象在處穿過軸過渡到軸下方，之間它們有一個交點，根據(jù)對稱性，在左上方，靠近處也有一個交點，因此函數(shù)與的圖象有3個交點，所以有3個零點，D正確．故選：ACD．【點睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點等知識．考查綜合應(yīng)用的能力．對于互為反函數(shù)的兩個函數(shù)和的圖象上兩點間的距離的最小值問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值，從而轉(zhuǎn)化為求出與直線平行的切線的切點坐標即可得．函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，從而可利用反函數(shù)的函數(shù)圖象的性質(zhì)，結(jié)合圖象的變化趨勢得出結(jié)論．本題屬于較難題．三、填空題13．已知單位向量滿足，則＝__________.【答案】【分析】先將兩邊平方，求得，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運算法則求得的值.【詳解】由可知：，即，則，所以，故答案為：14．若，則α的一個可能角度值為__________.【答案】等答案較多【分析】先把化簡成，解得后，解三角方程即可解決.【詳解】則，故，或故答案為：等均符合題意.15．已知橢圓的上頂點與拋物線C′：x2＝2py(p＞0)的焦點F重合，P為C與C′的一個公共點.若C的離心率為，且|PF|＝2，則p＝__________.【答案】3【分析】由橢圓上頂點與拋物線焦點相同，及橢圓離心率把用表示，由焦半徑公式求得點坐標，代入橢圓方程后可解得值．【詳解】由題意，又，所以，又，所以，則，所以，化簡得，解得（負的舍去）．故答案為：3．四、雙空題16．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A′－BD－C，設(shè)三棱錐A′－BDC的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為r1，r2，球心分別為O1，O2.若正方形ABCD的邊長為1，則________；O1O2＝__________.【答案】

【分析】由題可得，然后利用等積法可得，最后利用球的性質(zhì)即求.【詳解】設(shè)，則，∴三棱錐A′－BDC的外接球，點即為，∵將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A′－BD－C，又，∴平面，平面，∴，，∴，，∴，解得，∴，設(shè)球與平面，平面BCD分別切于P，Q，則為正方形，∴.故答案為：，.五、解答題17．從以下3個條件中選擇2個條件進行解答.①BA＝3；②BC＝；③∠A＝60°.在△ABC中，已知，D是AC邊的中點，且BD＝，求AC的長及△ABC的面積.【答案】，三角形的面積為【分析】結(jié)合余弦定理、三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】選①②，設(shè)，由余弦定理得，，所以，由于，所以.所以.選①③，設(shè)，由余弦定理得，所以，所以.選②③，設(shè)，在三角形中，由余弦定理得①，在三角形中，由余弦定理得②，由①②解得，所以，所以.18．已知數(shù)列的前n項和為，滿足＝2，2()＝6－.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)的最大值為M，最小值為m，求M－m的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由數(shù)列前n項和與通項公式之間的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得數(shù)列的前n項和的解析式，求其最值后即可解決.(1)數(shù)列中，＝2，2()＝6－當時，2()＝6－則2()-2()＝6－－（6－），整理得當時，由2()＝6－，可得，滿足綜上，數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，(2)由（1）可知，等比數(shù)列的前n項和為當n為奇數(shù)時，，則當n為偶數(shù)時，，則綜上得，數(shù)列的前n項和的最大值為2，最小值為故M－m19．如圖，C，D分別是以AB為直徑的半圓O上的點，滿足，△PAB為等邊三角形，且與半圓O所成二面角的大小為90°，E為PA的中點.(1)求證：DE//平面PBC；(2)求二面角A－BE－D的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明平面平面來證得平面.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得二面角的余弦值.(1)依題意，所以，所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，所以，所以四邊形是菱形，所以，由于平面，平面，所以平面.由于是的中點，是的中點，所以，由于平面，平面，所以平面.由于，所以平面平面，所以平面.(2)設(shè)的中點為，連接，則，由于四邊形是菱形，所以，則，依題意平面平面且交線為，所以平面.連接，則，由于三角形是等邊三角形，所以，由于平面平面且交線為，所以平面，則，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)，則，平面的法向量為.，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，為銳角，所以.20．當今時代，國家之間的綜合國力的競爭，在很大程度上表現(xiàn)為科學(xué)技術(shù)水平與創(chuàng)新能力的競爭.特別是進入人工智能時代后，誰掌握了核心科學(xué)技術(shù)，誰就能對競爭對手進行降維打擊.我國自主研發(fā)的某種產(chǎn)品，其厚度越小，則該種產(chǎn)品越優(yōu)良，為此，某科學(xué)研發(fā)團隊經(jīng)過較長時間的實驗研發(fā)，不斷地對該產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)進行改造提升，最終使該產(chǎn)品的優(yōu)良厚度達到領(lǐng)先水平并獲得了生產(chǎn)技術(shù)專利.(1)在研發(fā)過程中，對研發(fā)時間x(月)和產(chǎn)品的厚度y(nm)進行統(tǒng)計，其中1~7月的數(shù)據(jù)資料如下：x(月)1234567y(nm)99994532302421現(xiàn)用作為y關(guān)于x的回歸方程類型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并估計該產(chǎn)品的“理想”優(yōu)良厚度約為多少?(2)某企業(yè)現(xiàn)有3條老舊的該產(chǎn)品的生產(chǎn)線，迫于競爭壓力，決定關(guān)閉并出售生產(chǎn)線.現(xiàn)有以下兩種售賣方案可供選擇：①直接售賣，則每條生產(chǎn)線可賣5萬元；②先花20萬元購買技術(shù)專利并對老舊生產(chǎn)線進行改造，使其達到生產(chǎn)領(lǐng)先水平后再售賣.已知在改造過程中，每條生產(chǎn)線改造成功的概率均為，若改造成功，則每條生產(chǎn)線可賣20萬元；若改造失敗，則賣價為0萬元.請判斷該企業(yè)應(yīng)選擇哪種售賣方案更為科學(xué)?并說明理由.參考數(shù)據(jù)：設(shè)z＝，zi＝，＝0.37，＝50，＝184.5，－72＝0.55；參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線＝u＋中的斜率和縱截距的最小二乘法估計的計算公式為＝，＝－.【答案】(1)，13nm；(2)方案②，詳見解析.【分析】（1）利用回歸直線公式即求；（2）分別計算兩種方案的收益，比較即得.(1)由題可得，∴，∴，∵，∴，即該產(chǎn)品的“理想”優(yōu)良厚度約為13nm.(2)方案①，售賣收益為萬元；方案②，設(shè)為3條老舊生產(chǎn)線改造成功的收益，的可能取值為－20,0,20,40，，，，，∴，∵，∴該企業(yè)應(yīng)選擇方案②更為科學(xué).21．已知雙曲線的兩條漸近線方程為，直線l交C于A，B兩點.(1)若線段AB的中點為，求l的方程；(2)若以線段AB為直徑的圓過坐標原點O，且O到l的距離為，求C的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用點差法求得直線的方程.（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，求得，從而求得的方程.(1)依題意，雙曲線的漸近線方程為，