2023年東北三省三校高考數(shù)學(xué)二模試卷及答案解析

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023年東北三省三校高考數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合A={1,2,3}，A.{2,1} B.{2,2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|+z=A.3+4i B.3?4i3.已知向量a=(1,0)，A.3 B.3 C.1 D.4.有7名運(yùn)動(dòng)員(5男2女)參加A，B，C三個(gè)集訓(xùn)營集訓(xùn)，其中A集訓(xùn)營安排5人，B集訓(xùn)營與C集訓(xùn)營各安排1人，且兩名女運(yùn)動(dòng)員不在同一個(gè)集訓(xùn)營，則不同的安排方案種數(shù)為(

)A.18 B.22 C.30 D.365.兩條直線y=kx(k>0)和y=?2kx分別與拋物線yA.12 B.1 C.2 6.如圖，直角梯形ABCD中，AB=3CD，∠ABC

A.112π3 B.48π C.1287.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1?xA.6 B.12 C.30 D.568.已知三個(gè)互異的正數(shù)a，b，c滿足c=2lnca+a，b=lA.a<b<c B.a>b二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.函數(shù)f(x)=A.f(x)為偶函數(shù) B.f(x)的最小正周期是π

C.f(x10.金槍魚因?yàn)槿赓|(zhì)柔嫩鮮美、營養(yǎng)豐富深受現(xiàn)代人喜愛，常被制作成罐頭食用.但當(dāng)這種魚罐頭中的汞含量超過1.0mg/kg時(shí)，食用它就會(huì)對人體產(chǎn)生危害.某工廠現(xiàn)有甲、乙兩條金槍魚罐頭生產(chǎn)線，現(xiàn)從甲、乙兩條生產(chǎn)線中各隨機(jī)選出10盒罐頭并檢驗(yàn)其汞含量(單位為mg/kg)，其中甲生產(chǎn)線數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.95，0.99A.甲生產(chǎn)線的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值樣本的上四分位數(shù)是0.82

B.甲生產(chǎn)線的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值樣本的上四分位數(shù)是0.775

C.由樣本估計(jì)總體，甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量平均值高于兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量平均值

D.由樣本估計(jì)總體，甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值較兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值更穩(wěn)定11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為3，點(diǎn)E，F(xiàn)是棱DD1，CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)A.MC1的最小值為6?2

B.存在點(diǎn)M，使得AM⊥CE

C.存在點(diǎn)M，使得12.已知函數(shù)f(x)=A.對任意m，n∈N*，函數(shù)f(x)有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.存在m，n∈N*，曲線y=f(x)有經(jīng)過原點(diǎn)的切線

C.對于任意三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.大氣壓強(qiáng)p=壓力受力面積，它的單位是“帕斯卡”(Pa,1Pa=1N/m2)，已知大氣壓強(qiáng)p(P14.曲線x2+y2=15.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F16.A、B、C、D、E五個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽(單循環(huán)賽制是指所有參賽隊(duì)在競賽中均能相遇一次)，勝一場得3分，負(fù)一場得0分，平局各得1分.若A隊(duì)2勝2負(fù)，B隊(duì)得8分，C隊(duì)得9分，E隊(duì)勝了D隊(duì)，則D隊(duì)得分為______．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知bc(1+cosA)=4a2．

(1)證明：b18.(本小題12.0分)

調(diào)查問卷中常常涉及到個(gè)人隱私或本人不愿正面回答的問題，被訪人可能拒絕回答，即使回答，也不能期望答案是真實(shí)的.某小區(qū)要調(diào)查業(yè)主對物業(yè)工作是否滿意的真實(shí)情況，現(xiàn)利用“隨機(jī)化選答抽樣”方法制作了具體調(diào)查方案，其操作流程如下：在一個(gè)箱子里放3個(gè)紅球和2個(gè)白球，被調(diào)查者在摸到球后記住顏色并立即將球放回，如果抽到的是紅球，則回答“你的性別是否為男性？”如果抽到的是白球，則回答“你對物業(yè)工作現(xiàn)狀是否滿意？”兩個(gè)問題均用“是”或“否”回答．

(1)共收取調(diào)查問卷100份，其中答案為“是”的問卷為60份，求一個(gè)業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意的概率，已知該小區(qū)共有業(yè)主500人，估計(jì)該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作滿意的人數(shù)；

(2)現(xiàn)為了提高對物業(yè)工作滿意的業(yè)主比例，對小區(qū)業(yè)主進(jìn)行隨機(jī)訪談，請表示不滿意的業(yè)主在訪談中提出兩個(gè)有待改進(jìn)的問題．

(i)若物業(yè)對每一個(gè)待改進(jìn)的問題均提出一個(gè)相應(yīng)的解決方案，該方案需要由5名業(yè)主委員會(huì)代表投票決定是否可行.每位代表投贊同票的概率均為13，方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，并最終解決該問題，求某個(gè)問題能夠被解決的概率p0；

(ii)19.(本小題12.0分)

如圖，已知斜四棱柱ABCD?A1B1C1D1，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，點(diǎn)A1在底面ABCD的射影為O，且AD=BC=CD=A20.(本小題12.0分)

已知數(shù)列{an}，設(shè)mn=a1+a2+?+ann(n∈N*)，若{an}滿足性質(zhì)Ω：存在常數(shù)c，使得對于任意兩兩不等的正整數(shù)i、j、k，都有21.(本小題12.0分)

已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為223，x軸被拋物線C2：y=x24?b截得的線段長與C1長軸長的比為2：3．

(1)求C1、C2的方程；

(2)設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B，直線MA、MB22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?ax?1(a>0)．

(1)當(dāng)a答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由題意可知，2∈B，即22?2+m=0，解得m=?2，

故B={x2.【答案】C

【解析】解：設(shè)z=a+bi，a，b∈R，

因?yàn)閨z|=a2+b2，

所以|z|+z=a+3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閍=(1,0)，b=(?12,32)4.【答案】B

【解析】解：由題意可知，完成這件事情分3類，第1類：2個(gè)女生分別去A，B，5個(gè)男生有1人去了C，

有C51A22=5×2×1=10種；第2類：2個(gè)女生分別去A，C，5個(gè)男生有1人去了B，

有C51A22=5×2×1=10種；第35.【答案】C

【解析】解：聯(lián)立y2=4xy=kx，由于x≠0，

可得xA=4k2，yA=4k，即A(4k2,4k)，

同理可得B(1k2,?26.【答案】D

【解析】解：由題意可知，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺(tái)．

取圓臺(tái)的軸截面，由題意知，球心O一定在線段AD或AD的延長線上，

如圖1，當(dāng)球心O在線段AD上時(shí)．

過點(diǎn)C作CE⊥AB于E點(diǎn)，則CE=BCsin30°=2，BE=BCcos30°=23，

所以CD=3，AB=33．

設(shè)球的半徑為R，OA=x(0≤x≤2)，OD=2?x，

則由勾股定理可得，R2=OD2+CD2=(2?x)2+3R2=OA7.【答案】C

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1?x)，所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱，故f(2+x)=f(?x)，

又f(x)是R上奇函數(shù)，所以f(2+x)=f(?x)=?f(x)，所以f(4+x)=f(x)，故函數(shù)f(x)的周期為4，

考慮一個(gè)周期[?1,3]，由函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，又由f(x)是R上奇函數(shù)，且關(guān)于直線x=1對稱，

知f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[?1,0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒(0)=08.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閏=2lnca+a，所以c?2lnc=a?2lna，設(shè)f(x)=x?2lnx(x>0)，

則f′(x)=1?2x=x?2x，令f′(x)>0得x>2，令f′(x)<0得0<x<2，

所以函數(shù)f(x)在(0,2)遞減，函數(shù)f(x)在(2,+∞)遞增，

所以f(x)min=f(2)=2(1?ln2)>09.【答案】AD【解析】解：對于A，x∈R，因?yàn)閒(?x)=|sin(?x)|+cos(?x)=|sinx|+cosx=f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；

對于B，因?yàn)閒(x+π)=|sin(x+π)|+cos(x+π)=|sinx|?cosx≠f(x)，所以f(x)的最小正周期不是π，故B錯(cuò)誤；

對于C，當(dāng)x∈(0,π2)時(shí)，f(10.【答案】AC【解析】解：AB選項(xiàng)，10×0.75=7.5，則從小到大排列，第8個(gè)數(shù)為上四分位數(shù)，

即0.82，A正確，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，甲生產(chǎn)線數(shù)據(jù)平均數(shù)為110×(0.07+0.24+0.39+0.54+0.61+0.73+0.82+0.95+0.99)=0.534，

故兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量為0.534+0.42=0.467，11.【答案】AC【解析】解：根據(jù)題意可知AD⊥平面CDD1C1，

所以∠AMD為AM與面CDD1C1所成角，且AD⊥DM，

因?yàn)檎襟wABCD?A1B1C1D1的棱長為3，AM與面CDD1C1所成角的正切值為32，

所以tan∠AMD=ADDM=3DM=32，解得DM=2，

所以點(diǎn)M的軌跡為以D點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓在側(cè)面CDD1C1內(nèi)的弧GH，如圖，

此時(shí)CH=GD1=1，

對于A選項(xiàng)，有MC1≥C1D?DM=6?2，當(dāng)且僅當(dāng)M，C1，D三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，

故MC1的最小值為6?2，正確；

對于B選項(xiàng)，因?yàn)锳D⊥平面CDD1C1，CE?平面CDD1C1，所以AD⊥CE，

假設(shè)存在點(diǎn)M，使得AM⊥CE，則AD?AM=A，CE⊥平面ADM，

由于DM?平面ADM，故有CE⊥DM，

另一方面，在側(cè)面CDD1C1中，取棱C1D1的中點(diǎn)N，

由點(diǎn)E是棱DD1的中點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合平面幾何知識(shí)易得CE⊥DN，

故要使CE⊥DM，則點(diǎn)N與點(diǎn)M重合，

由于CH=GD1=1，ND1=3212.【答案】BC【解析】解：對于A，當(dāng)m=2，n=1時(shí)，f(x)=x2+1x，f′(x)=2x?1x2=0，解得x=312，

故當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(0,312)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(312,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)=x2+1x只有一個(gè)極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對于B，由A選項(xiàng)知，當(dāng)m=2，n=1時(shí)，f(x)=x2+1x，f′(x)=2x?1x2，

假設(shè)其存在過原點(diǎn)知切線，則可設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)(x0>0)，斜率為k=2x0?1x02

所以，其切線方程為：y?(x02+1x0)=(2x0?1x02)(x?x0)

又因?yàn)槠溥^坐標(biāo)原點(diǎn)，則0?(x02+1x0)=(2x0?1x02)(0?x0)，整理解方程得x0=32，

故該曲線f(x)=x2+1x存在過原點(diǎn)的切線，故B正確；

對于C，對于m，n∈N*，f′(13.【答案】8730

【解析】解：由題意可知：p=p0e?kh=13p0，解得?kh=?14.【答案】2+【解析】解：∵將?x或?y代入曲線方程中，曲線方程不變，

∴曲線x2+y2=|x|+|y|關(guān)于x軸，y軸對稱，

∴只需求出第一象限的面積即可，

∵當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，曲線方程可化為(x?12)2+(y?12)2=12，

15.【答案】15【解析】解：設(shè)直線MN為y=2(x?c)，

雙曲線的漸近線方程為y=±bax，

聯(lián)立y=baxy=2(x?c)可得，x=2ac2a?b，y=2bc2a?b，不妨令M(2ac2a?b,2bc2a?b)，

同理可得N(2ac16.【答案】1

【解析】解：由題意每個(gè)隊(duì)伍都進(jìn)行了四場比賽，

因?yàn)锽隊(duì)得8分，C隊(duì)得9分，

所以B隊(duì)2勝2平，C隊(duì)3勝1負(fù)，

又因A隊(duì)2勝2負(fù)，

則B隊(duì)只能和D、E是平局，所以B隊(duì)勝了A、C兩隊(duì)，

因此C隊(duì)負(fù)的一場，輸給B隊(duì)，即C隊(duì)勝了A，D，E三隊(duì)，

所以A隊(duì)贏D、E兩隊(duì)，

又因?yàn)镋隊(duì)勝了D隊(duì)，

所以D隊(duì)負(fù)了三場，平了一場，贏了零場，

所以D隊(duì)得分為1分．

故答案為：1．

根據(jù)B隊(duì)得8分，C隊(duì)得9分，可得B隊(duì)2勝2平，C隊(duì)3勝1負(fù)，先分析B隊(duì)的情況，再分析C隊(duì)的情況，再分析A隊(duì)的情況，即可得出答案．

本題主要考查簡單的合情推理，完成本題的關(guān)鍵是抓住“A隊(duì)2勝2負(fù)，B隊(duì)得8分，C隊(duì)得9分”這三個(gè)條件，以此為突破口，根據(jù)賽制與得分之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行推理分析，進(jìn)而得出結(jié)論．

17.【答案】證明：(1)因?yàn)閎c(1+cosA)=4a2，

所以bc(1+b2+c2?a22bc)=4a2，

所以bc+b2+c2?a【解析】(1)利用余弦定理結(jié)合條件即得；

(2)利用余弦定理結(jié)合條件可得b18.【答案】解：(1)記：事件A“業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意”，則P(A)×25+35×12=60100?P(A)=34，

所以，500×34=375(人)，

故該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意的人數(shù)約為375人；

(2)(i【解析】(1)根據(jù)紅球與白球的個(gè)數(shù)比例以及問卷調(diào)査的情況，通過比例求解即可；

(2)(i)由每位代表投贊同票的概率均為13，且方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式運(yùn)算求解即可；

(ii)由(119.【答案】解：(1)證明：∴AB=2，BC=CD=AD=1，作CE//AD交AB于E，如圖，

則可得四邊形ADCE是菱形，AE=CD=EB=CE=BC，△BCE是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，∠DCE=∠ECB=60°，∠ACD=∠ACE=30°，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，

又BC⊥AA1，AA1∩AB=A，AA1，AB?平面AA1C1C，

∴BC⊥平面A1ACC1，又BC?平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面A1ACC【解析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理，面面垂直判定定理，即可證明；

(2)20.【答案】解：(1)(i?j)mk+(j