探索相似三角形相似的條件 知識講解(提高)-初中數(shù)學(xué)【名校學(xué)案詳細(xì)解答】

探索相似三形相似的條(高【習(xí)標(biāo)1.相似三角形的概.2.相似三角形的三個(gè)判定定.3.黃金分割.4.進(jìn)步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用，提高運(yùn)用“類比”思想的自覺性，提高推理能.【點(diǎn)理要一相三形概相似三角形：三個(gè)角分別相等，三邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角.要詮：(1)書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要意對應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說明點(diǎn)A的應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的應(yīng)點(diǎn)是B′，對應(yīng)點(diǎn)是′；(2)對于相似比，要注意順序和應(yīng)的問題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和二個(gè)三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似當(dāng)相似比為1時(shí)兩個(gè)三角形全等.要二相三形三判定定理：兩分相等兩三形似兩成例夾相的個(gè)角相.三成例兩三形似要詮：（1）要判定兩個(gè)三角形是否相，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相.（2）此方法要求用三角形的兩及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤.要三相三形常圖及變：要四黃分定義一般點(diǎn)把線AB分兩條線段AC和BC兩,如果

AC

,那么線段被點(diǎn)C黃金割點(diǎn)做線段AB的黃金分割點(diǎn)AC與AB的比做黃金.要詮：

55AB≈0.618AB(0.618是金分割的近似值，2

是黃金分割的準(zhǔn)確值.

作一條段黃分點(diǎn)如圖，已知線段，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥，=

AB.（2）連接，在DA上截取DE.（3）在上取ACAE則點(diǎn)C為段AB的黃金分割.要詮：一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).【型題類一相三形概1、買西瓜為什么挑大個(gè)？思馳是一個(gè)好奇心很強(qiáng)的女孩，凡都喜歡問個(gè)為什么．一天，思馳跟爸爸上街買西瓜．見爸爸選中的全是大個(gè)西瓜，她的小腦袋瓜又轉(zhuǎn)開了：買西瓜為什么挑大個(gè)？“你這個(gè)沈老師的得意門生，能用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解決嗎？”，爸爸“將”了思馳一軍．回到學(xué)校，思馳就找來遠(yuǎn)兮一起商量．兩人便開始了一番精彩對話．思馳：西瓜可以近似看成球體，可以應(yīng)用球的體積公式．遠(yuǎn)兮：大西瓜和小西瓜的皮厚幾乎相等．思馳：人們買瓜是為了吃瓤．遠(yuǎn)兮：瓤的體積在整個(gè)西瓜體積中占的比越大越好．思馳：兩者的體積比如何求呢？經(jīng)過一段時(shí)間的商討，她們提出了解決方案：設(shè)瓜瓤（視為球體）的半徑為r，瓜皮厚度為a，則瓤和整個(gè)瓜的體積比為：

43

433r)

3

rr)(r)3r

3

＜1當(dāng)a一定時(shí)r值越大

r()r

的值越接近于1，即西瓜越大瓤與整個(gè)瓜的體積比越接近于1．思馳把解決方案講給父親聽后，父親充滿了贊許之意，父親同時(shí)又提出了：能用你正在學(xué)習(xí)的相似圖形知識解決問題嗎？你學(xué)完圖形的似這一章后，我相信你還能找出方的．問題：你認(rèn)為生活中還有哪些與它類似的情形？【思路點(diǎn)撥】通過選西瓜的方法學(xué)會分析決生活中簡單的實(shí)際問題，將西瓜沿球心所直線切開，得到瓤和皮兩個(gè)圓，根據(jù)相似形的性質(zhì)，算其半徑的比，得到面積比，而得出正確結(jié)果．【答案與解析】解：如圖，設(shè)西瓜外徑為R，西瓜內(nèi)徑為r，瓜厚度為a，

于是兩圓面積比為

Sr2rS(rR

2

，當(dāng)r越大時(shí)，S：S越接近與1，故西瓜越大越合算．與此類似，買雞蛋也應(yīng)挑大個(gè)的．【總結(jié)升華】此題是一道材料分析題，通過題目息所給出的研究方法，進(jìn)行探究是解答類題目的基本思路．類二相三形三判定2.如圖，在正方形ABCD中E分別是邊AD、CD上的，的延長線于點(diǎn)G．（1求證：△ABE∽△DEF；（2若正方形的邊長為4，求的長

，連接EF并延交BC【思路點(diǎn)撥）利用正方形的性質(zhì)，可A=D根據(jù)已知可得角相等三角形相似，可eq\o\ac(△,得)ABEDEF；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，得CG的，即可求得BG的．【答案與解析）證明ABCD為方形，，A=D=90AE=ED

，根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例且夾

，DC，

，，ABE△DEF；（2）解：ABCD為方形，EDBG，

，又，正方形的邊長為，ED=2，CG=6∴．

【總結(jié)升華】此考查了相似三角形的判定、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識的合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．舉一反三【變式】如圖，已知在△ABC△DEF中∠C=54°∠A=47°∠F=54°∠E=79°，求證：△ABC∽△DEF．【答案】解：在△ABC中，∠B=180∠A-∠C=79°在△ABC和△DEF中，＝

，∴△ABC∽△DEF．3、如圖eq\o\ac(△,)ABC中AB=5，，CA=4D為AB中點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線與BC交點(diǎn)，直線DE所得的三角形eq\o\ac(△,)ABC相，則DE的長為多少？【答案與解析】解：D為的中點(diǎn)，BD=，，當(dāng)DBE=ACBeq\o\ac(△,)BAC時(shí)，如圖1，則

=

，即

=

，解得DE=2；當(dāng)BDE=ACB時(shí)，如圖，DEAC于F，

DAF=CAB，ADFACB，△，

=

，即

=

，解得

，綜上所述，若直線DE所的三角形ABC似，則DE=2或

．【總結(jié)升華】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想在本題的應(yīng)用，避免漏解．舉一反三【變式】如圖，在△于△ADE中,件，這個(gè)條件是___________．

AB

，要使△ABC于△ADE相似，還需要添加一個(gè)條【答案】∠∠．4如圖，方格紙中每個(gè)小正形的邊長為1，△ABC和DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上．（1）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；（2）P，P，P，P，，D，F(xiàn)是DEF邊上7個(gè)點(diǎn)，請?jiān)谶@7個(gè)格點(diǎn)中選取3個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，構(gòu)成的三形與△ABC似（要求寫出2個(gè)符合條件的三角形，在圖連接相應(yīng)線段，不必說明理由）【思路點(diǎn)撥）先根據(jù)小方的邊長，出△ABC△DEF的三邊長，后判斷它是否對應(yīng)成比例即可．

（2）只要構(gòu)成的三角形與△ABC的邊比相等即可（答案不唯一【答案與解析】解：（1）△ABC和△DEF相似；根據(jù)勾股定理AB=2

5

5

BC=5；DE=4

，DF=2

，EF=2

；∵

AB2DEDF

,∴△ABC∽△DEF．（2）答案不唯一，下面6個(gè)三形中的任意2個(gè)可；△DP，△PPF，△DPP，△P，PP，△FDP．【總結(jié)升華】此題主要考查的是相似三角形的判定方法：如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似SSS）舉一反三【變式如圖已知每個(gè)小正方形的邊長均為eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)與△DEF的頂點(diǎn)都在小正方形的頂上，那么△DEF與△ABC相似的是（）【答案】B.由勾股定理求得各三角形的三邊長，然后根三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．類型三、黃金分割折紙與證明--用紙折出黃金分點(diǎn)：第一步：如圖（將一張正方形紙片ABCD折，得到折痕；折出矩形BCFE的角線BF第二步：如圖（AB邊到BF，得到折痕，試說明點(diǎn)G為線AD的金分割點(diǎn)（AG＞GD【思路點(diǎn)撥連GF，設(shè)正方形邊長為1，由折紙第一步，可知DF=

12

，在eq\o\ac(△,Rt)BCF中根據(jù)勾股定理得

出BF，在eq\o\ac(△,Rt)′GF和eq\o\ac(△,Rt)DGF中根據(jù)勾股定理由GF不列出關(guān)于AG的程，解方程求出的長即可說明點(diǎn)G是AD的金分割點(diǎn)．【答案與解析】證明：如圖，連接GF，正方形的邊長為1則DF=

12

．在eq\o\ac(△,Rt)BCF中，5則A′F=BF-BA′=2

-1．

52

，設(shè)AG=A′G=x，則，在Rt△A和eq\o\ac(△,Rt)中有A'F

+A'G=DF+DG，即

52

1-1)2+x=()，2解得

52

，即點(diǎn)G是AD的金分割點(diǎn)（【總結(jié)升華】本題考查黃金分割概念：把線段AB分成條線段AC和BC＞BC使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC做線段AB黃分割，點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn)