梯度與方向?qū)?shù)

梯度與方向?qū)?shù)第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六一、方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)zf(x，y)在點P(x，y)的某一鄰域U(P)內(nèi)有定義．自點P引射線l．設(shè)x軸正向到射線l的轉(zhuǎn)角為j，并設(shè)P

(xx，yy)為l上的另一點且P

U(P)．若此極限存在，則稱此極限為函數(shù)

f(x，y)在點P沿方向l的方向?qū)?shù)，記作，即其中r．OxyPljPxy考慮，，r第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六定理如果函數(shù)zf(x，y)在點P(x，y)是可微分的，那么函數(shù)在該點沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在，且有方向?qū)?shù)與偏導數(shù)的關(guān)系：=cosj+sinj，其中j為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角．簡要證明：f(xx，yy)f(x，y)第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六定理如果函數(shù)zf(x，y)在點P(x，y)是可微分的，那么函數(shù)在該點沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在，且有方向?qū)?shù)與偏導數(shù)的關(guān)系：=cosj+sinj，其中j為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角．簡要證明：f(xx，yy)f(x，y)第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六討論函數(shù)zf(x，y)在點P沿x軸正向和負向，沿y軸正向和負向的方向?qū)?shù)如何?討論：

根據(jù)公式=cosj+sinj提示：沿x軸正向時，cosj=1，sinj=0，沿x軸負向時，cosj=-1，sinj=0，；=cosj+sinj．=cosj+sinj，第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六例1求函數(shù)zx

e2y在點P(1，0)沿從點P(1，0)到點Q(2，1)的方向的方向?qū)?shù)．因此x軸到方向因為l的轉(zhuǎn)角為j．

e2y，2x

e2y．故所求方向?qū)?shù)為在點(1，0)處，1，2．1·cos()2·sin()．xyO-112PQ第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六x軸到射線l的轉(zhuǎn)角為j，x軸到的轉(zhuǎn)角為q，討論：jq和j

q

時的方向?qū)?shù)．解因為sinq．cosq，所以cosqcosj

sinqsinj

cos(qj)．Oxylj第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六其中r，xrcosa，yrcosb，對于三元函數(shù)uf(x，y，z)，定義它在空間一點P(x，y，z)著方向(設(shè)方向的方向角為a、b、g)的方向?qū)?shù)如下，zrcosg．如果函數(shù)在所考慮的點處可微分，有=cosa

sinb

cosg．三元函數(shù)的方向?qū)?shù)：第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六二、梯度設(shè)函數(shù)zf(x，y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于任一點P(x，y)D及任一方向l，有稱為函數(shù)f(x，y)在點P的梯度，記作gradf(x，y)，即gradf(x，y)

=cosj+sinj{，}·{cosj，sinj}，其中向量第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六梯度與方向?qū)?shù)：=cosj

sinj{，}·{cosj，sinj}第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值．討論：已知方向?qū)?shù)為的最大值是什么？結(jié)論：梯度的模：|gradf(x，y)|．=cosj

sinj第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六曲面z

f(x，y)上的曲線等高線：在xOy面上的投影曲線f(x，y)c稱為函數(shù)zf(x，y)的等高線．第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六梯度與等高線的關(guān)系：等高線f(x，y)c上任一點P(x，y)處的法線的斜率為yxOgradf(x，y)fyfxgradf(x,y)法線的方向向量是什么？PyxOf(x，y)cf(x，y)c1(c1>c)第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六函數(shù)zf(x，y)在點P(x，y)的梯度的方向與過點P的等高線f(x，y)c在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)．這個法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向．梯度與等高線的關(guān)系：等高線f(x，y)c上任一點P(x，y)處的法線的斜率為第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六三元函數(shù)的梯度：設(shè)函數(shù)uf(x，y，z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，對于每一點P(x，y，z)G，函數(shù)uf(x，y，z)在該點的梯度gradf(x，y，z)定義為：結(jié)論：三元函數(shù)的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值．第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六等量面：曲面

f(x，y，z)c為函數(shù)uf(x，y，z)的等量面．函數(shù)uf(x，y，z)在點P(x，y，z)的梯度的方向與過點P的等量面f(x，y，z)c在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)．第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六例3求grad．解這里f(x，y)．因為，，所以grad．例4設(shè)f(x，y，z)x2y2z2，求gradf(1，1，2)．解gradf

{fx，fy，fz

}{2x，2y，2z}，于是gradf(1，1，2){2，2，4}．第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期六如果與點M相對應的是一個向量(M)，則稱在這空間區(qū)域G如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M，都有一個確定的數(shù)量f(M)，則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場(例如溫度場、密度場等)．一個數(shù)量場可用一個數(shù)量函數(shù)f(M)來確定．數(shù)量場與向量場：內(nèi)確定了一個向量場(例如力場、速度場等)．一個向量場可用一個向量函數(shù)(M)來確定，而其中P(M)，Q(M)，R(M)