上海市浦東新區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 Word版含答案

/上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二上期中考數(shù)學(xué)試卷2020.11一、填空題1．過(guò)點(diǎn)且法向量為的直線方程是．2．已知向量，，則在上的投影是．3．已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．4．直線與的夾角是．5．已知方程表示一個(gè)圓的充要條件是．6．圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是．7．已知點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與直線有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是．8．已知直線，，若直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為．9．在中，，，點(diǎn)為內(nèi)（包括邊界）任意一點(diǎn)，若，則的取值范圍是．10．若恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對(duì)滿足關(guān)系式，則實(shí)數(shù)的所有可能的值為．二、選擇題11．“兩條直線的斜率乘積為”是“兩條直線互相垂直”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件12．已知點(diǎn)在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．不確定

13．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；③曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①B．②C．①②D．①②③14．已知是平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，若，則的最小值是（）A．B．C．D．5三、解答題15．已知，，且向量與不共線．（1）若與的夾角為，求；（2）若向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求邊所在的直線方程．17．在中，，，，點(diǎn)為所在平面上一點(diǎn)，滿足（，且）．（1）證明：；（2）若點(diǎn)為的重心，求的值；（3）若點(diǎn)為的外心，求的值．18．（1）已知直線過(guò)點(diǎn)，若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，求直線的一般式方程；（2）已知直線過(guò)點(diǎn)且與軸，軸的正半軸相交于兩點(diǎn)，求面積最小值及這時(shí)直線的一般式方程；（3）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與第一象限的平分線，軸（原點(diǎn)除外）分別交于兩點(diǎn)，直線，射線，軸圍成的三角形的面積為12，則符合要求的直線共有幾條，并說(shuō)明理由．四、附加題19．已知曲線，直線都過(guò)點(diǎn)且互相垂直，若曲線與直線中的至少一條相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．設(shè)，過(guò)兩定點(diǎn)，分別引直線和（斜率都存在），使與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)共圓時(shí)，求直線和的交點(diǎn)的軌跡．

參考答案一、填空題1．2．23．4．5．且6．7．8．9．10．，，【第1題解析】由直線的點(diǎn)法向式，得，即．【第2題解析】在上的投影是．【第3題解析】動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．【第4題解析】?jī)芍本€的法向量為，，，∴兩直線的夾角．【第6題解析】由題意，圓心在過(guò)點(diǎn)，直線的垂線上，易得該直線的方程為，即，與聯(lián)立，可求得圓心為，半徑為與的距離，∴所求的圓的方程為．【第7題解析】直線的斜率為，直線與直線不平行即可，∴．【第8題解析】直線與直線的交點(diǎn)為，由可得直線的斜率，∴直線的方程為，即．【第9題解析】記，則，由等系數(shù)和線知識(shí)，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，由，得此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，由題意，易得，此時(shí)，，，綜上，的取值范圍是．【第10題解析】條件即，表示有且僅有三條不同的直線（不過(guò)原點(diǎn)），使得點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離等于．（1）時(shí)，易得符合題意的直線為線段的垂直平分線以及直線的兩條平行線和；（2）時(shí)，有4條直線會(huì)使得點(diǎn)和點(diǎn)到它們的距離相等，注意到不過(guò)原點(diǎn)，∴當(dāng)其中一條直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，會(huì)作為增根被舍去，①作為增根被舍去的直線，過(guò)原點(diǎn)和的中點(diǎn)，其方程為，此時(shí)，符合；②作為增根被舍去的直線，過(guò)原點(diǎn)且以為方向向量，其方程為，此時(shí)，符合；綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)為，，．二、選擇題11．A12．A13．C14．B【第11題解析】必要性的反例：一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在．【第12題解析】由題意，，從而，∴直線與圓相交，選A．【第13題解析】整點(diǎn)僅有6個(gè)；，；“心形”區(qū)域的面積，∴①②正確，選C．【后話】所圍面積與所圍面積相等，表示橢圓，將其順指針旋轉(zhuǎn)可得其標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴，由橢圓面積公式可得；還可利用橢圓的長(zhǎng)短軸的概念求出曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的取值范圍為．【第14題解析】設(shè)，，則，記，，，，利用共線相似構(gòu)造阿氏圓，，其中，于是，即，從而，選B．三、解答題15．（1）；（2）且與不平行，解得．16．（1）設(shè)，則中點(diǎn)為，∵在的平分線上，且中點(diǎn)在中線上，∴，解得，即點(diǎn)坐標(biāo)為；（2），直線的斜率為，由，可得，∴邊所在的直線方程為，即．【說(shuō)明】也可求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，直線即為所求．17．（1）；（2）若點(diǎn)為的重心，則，∴，解得；（3）若點(diǎn)為的外心，則，，，∴，即，解得．18．（1）設(shè)直線方程為，由題意，解得或，∴直線的一般式方程為或；（2）設(shè)直線方程為，由題意，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴，即面積最小值為12，此時(shí)直線的一般式方程為；（3）設(shè)直線方程為，（或），易得，，則，化簡(jiǎn)得，①時(shí)，即，無(wú)實(shí)根，②時(shí)，即，解得或（舍）∴符合題意的直線只有1條．四、附加題19．若直線中有一條斜率為0，一條斜率不存在，則顯然與其中之一（）相交．下面僅研究斜率都存在的情況，不妨設(shè)的斜率為，則的斜率為，從反面考慮，即存在，使得都與不相交．當(dāng)時(shí)，由圖象可知，曲線與直線必有交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，由，得，，①解得．由，得，，∴，∴，②解得或．由題意，若方程組①②無(wú)