2018年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題突破專題十講2018年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題突破專題九二次函數(shù)為背景的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

難題突破專題九二次函數(shù)為背景的動(dòng)態(tài)問(wèn)題以函數(shù)為背景的動(dòng)態(tài)問(wèn)題是近年來(lái)中考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，動(dòng)態(tài)包括點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和面動(dòng)三大類，解這類題目要“以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問(wèn)題變?yōu)殪o態(tài)問(wèn)題來(lái)解．類型1二次函數(shù)動(dòng)態(tài)下的周長(zhǎng)面積最值問(wèn)題、例題：（2017內(nèi)蒙古赤峰）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）．（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式；（2）點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段PM長(zhǎng)度的最大值；（3）在拋物線上是否存在異于B、D的點(diǎn)Q，使△BDQ中BD邊上的高為2？若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）可設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，由B點(diǎn)坐標(biāo)可求得拋物線的解析式，則可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BD解析式；（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PM的長(zhǎng)度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；（3）過(guò)Q作QG∥y軸，交BD于點(diǎn)G，過(guò)Q和QH⊥BD于H，可設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，表示出QG的長(zhǎng)度，由條件可證得△DHG為等腰直角三角形，則可得到關(guān)于Q點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4），∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+4，∵點(diǎn)B（3，0）在該拋物線的圖象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，∵點(diǎn)D在y軸上，令x=0可得y=3，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∴可設(shè)直線BD解析式為y=kx+3，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直線BD解析式為y=﹣x+3；（2）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m（m＞0），則P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴當(dāng)m=時(shí)，PM有最大值；（3）如圖，過(guò)Q作QG∥y軸交BD于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)E，作QH⊥BD于H，設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），則G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，當(dāng)△BDQ中BD邊上的高為2時(shí)，即QH=HG=2，∴QG=×2=4，∴|﹣x2+3x|=4，當(dāng)﹣x2+3x=4時(shí)，△=9﹣16＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，當(dāng)﹣x2+3x=﹣4時(shí)，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（﹣1，0）或（4，﹣5）．同步訓(xùn)練：（2017呼和浩特）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)記為M，自變量x=﹣1和x=5對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．若點(diǎn)M在直線l：y=﹣12x+16上，點(diǎn)（3，﹣4）在拋物線上．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)y=ax2+bx+c對(duì)稱軸右側(cè)x軸上方的圖象上任一點(diǎn)為P，在x軸上有一點(diǎn)A（﹣，0），試比較銳角∠PCO與∠ACO的大?。ú槐刈C明），并寫(xiě)出相應(yīng)的P點(diǎn)橫坐標(biāo)x的取值范圍．（3）直線l與拋物線另一交點(diǎn)記為B，Q為線段BM上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與M重合），設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t，n），過(guò)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，將以點(diǎn)Q，H，O，C為頂點(diǎn)的四邊形的面積S表示為t的函數(shù)，標(biāo)出自變量t的取值范圍，并求出S可能取得的最大值．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)已知條件得到拋物線的對(duì)稱軸為x=2．設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣8．將（3，﹣4）代入得拋物線的解析式為y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到結(jié)論；（2）由題意得：C（0，8），M（2，﹣8），如圖，當(dāng)∠PCO=∠ACO時(shí)，過(guò)P作PH⊥y軸于H，設(shè)CP的延長(zhǎng)線交x軸于D，則△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到x=，過(guò)C作CE∥x軸交拋物線與E，則CE=4，設(shè)拋物線與x軸交于F，B，則B（2+，0），于是得到結(jié)論；（3）解方程組得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①當(dāng)﹣1≤t＜0時(shí)，②當(dāng)0＜t＜時(shí)，③當(dāng)＜t＜2時(shí)，求得二次函數(shù)的解析式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵自變量x=﹣1和x=5對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2．∵點(diǎn)M在直線l：y=﹣12x+16上，∴yM=﹣8．設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣8．將（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．∴拋物線的解析式為y=4（x﹣2）2﹣8，整理得：y=4x2﹣16x+8．（2）由題意得：C（0，8），M（2，﹣8），如圖，當(dāng)∠PCO=∠ACO時(shí)，過(guò)P作PH⊥y軸于H，設(shè)CP的延長(zhǎng)線交x軸于D，則△ACD是等腰三角形，∴OD=OA=，∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4x2﹣16x+8，∵PH∥OD，∴△CHP∽△COD，∴，∴x=，過(guò)C作CE∥x軸交拋物線與E，則CE=4，設(shè)拋物線與x軸交于F，B，則B（2+，0），∴y=ax2+bx+c對(duì)稱軸右側(cè)x軸上方的圖象上任一點(diǎn)為P，∴當(dāng)x=時(shí)，∠PCO=∠ACO，當(dāng)2+＜x＜時(shí)，∠PCO＜∠ACO，當(dāng)＜x＜4時(shí)，∠PCO＞∠ACO；（3）解方程組，解得：，∴D（﹣1，28），∵Q為線段BM上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與M重合），∴Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①當(dāng)﹣1≤t＜0時(shí)，S=（﹣t）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，∵﹣1≤t＜0，∴當(dāng)t=﹣1時(shí)，S最大=18；②當(dāng)0＜t＜時(shí)，S=t?8+t（﹣12t+16）=﹣6t2+12t=﹣6（t﹣1）2+6，∵0＜t＜，∴當(dāng)t=﹣1時(shí)，S最大=6；③當(dāng)＜t＜2時(shí)，S=t?8+（12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣）2﹣，∵＜t＜2，∴此時(shí)S為最大值．解題方法點(diǎn)析解此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于通過(guò)三角形相似、三角形面積公式以及面積轉(zhuǎn)化等方法求出所求圖形的面積表達(dá)式，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最值．類型2二次函數(shù)與幾何圖形綜合型動(dòng)態(tài)問(wèn)題例題：（2017.江蘇宿遷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2﹣2x﹣3交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），將該拋物線位于x軸上方曲線記作M，將該拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得曲線記作N，曲線N交y軸于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）求曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求△ABC外接圓的半徑；（3）點(diǎn)P為曲線M或曲線N上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由已知拋物線可求得A、B坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱性可求得C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得曲線N的解析式；（2）由外接圓的定義可知圓心即為線段BC與AB的垂直平分線的交點(diǎn)，即直線y=x與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，可求得外接圓的圓心，再利用勾股定理可求得半徑的長(zhǎng)；（3）設(shè)Q（x，0），當(dāng)BC為平行四邊形的邊時(shí)，則有BQ∥PC且BQ=PC，從而可用x表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得到x的方程，可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，由B、C的坐標(biāo)可求得平行四邊形的對(duì)稱中心的坐標(biāo)，從而可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得到關(guān)于x的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x=0可得y=﹣3，又拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折后得到曲線N，∴C（0，3），設(shè)曲線N的解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C的坐標(biāo)代入可得，解得，∴曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3；（2）設(shè)△ABC外接圓的圓心為M，則點(diǎn)M為線段BC、線段AB垂直平分線的交點(diǎn)，∵B（3，0），C（0，3），∴線段BC的垂直平分線的解析式為y=x，又線段AB的解析式為曲線N的對(duì)稱軸，即x=1，∴M（1，1），∴MB==，即△ABC外接圓的半徑為；（3）設(shè)Q（t，0），則BQ=|t﹣3|①當(dāng)BC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖1，則有BQ∥PC，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，即過(guò)C點(diǎn)與x軸平行的直線與曲線M和曲線N的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，x軸上對(duì)應(yīng)的即為點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在曲線M上時(shí)，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=3可解得x=1+或x=1﹣，∴PC=1+或PC=﹣1，當(dāng)x=1+時(shí)，可知點(diǎn)Q在點(diǎn)B的右側(cè)，可得BQ=t﹣3，∴t﹣3=1+，解得t=4+，當(dāng)x=1﹣時(shí)，可知點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左側(cè)，可得BQ=3﹣t，∴3﹣t=﹣1，解得t=4﹣，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4+，0）或（4﹣，0）；當(dāng)點(diǎn)P在曲線N上時(shí)，在y=﹣x2+2x+3中，令y=3可求得x=0（舍去）或x=2，∴PC=2，此時(shí)Q點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè)，則BQ=t﹣3，∴t﹣3=2，解得t=5，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）；②當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，∵B（3，0），C（0，3），∴線段BC的中點(diǎn)為（，），設(shè)P（x，y），∴x+t=3，y+0=3，解得x=3﹣t，y=3，∴P（3﹣t，3），當(dāng)點(diǎn)P在曲線M上時(shí)，則有3=（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t=2+或t=2﹣，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，0）或（2﹣，0）；當(dāng)點(diǎn)P在曲線N上時(shí)，則有3=﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得t=3（Q、B重合，舍去）或t=1，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；綜上可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（4+，0）或（4﹣，0）或（5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．同步訓(xùn)練：（2017山東煙臺(tái)）如圖1，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AB=4，矩形OBDC的邊CD=1，延長(zhǎng)DC交拋物線于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)P是直線EO上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線EO于點(diǎn)G，作PH⊥EO，垂足為H．設(shè)PH的長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求l與m的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出m的取值范圍），并求出l的最大值；（3）如果點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以M，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由條件可求得A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可先求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得直線OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的長(zhǎng)，從而可表示出l的長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；（3）分AC為邊和AC為對(duì)角線，當(dāng)AC為邊時(shí)，過(guò)M作對(duì)稱軸的垂線，垂足為F，則可證得△MFN≌△AOC，可求得M到對(duì)稱軸的距離，從而可求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，設(shè)AC的中點(diǎn)為K，可求得K的橫坐標(biāo)，從而可求得M的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵矩形OBDC的邊CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直線OE解析式為y=﹣x，由題意可得P（m，﹣m2﹣m+2），∵PG∥y軸，∴G（m，﹣m），∵P在直線OE的上方，∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，∵直線OE解析式為y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l(xiāng)=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，∴當(dāng)m=﹣時(shí)，l有最大值，最大值為；（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，則有MN∥AC，且MN=AC，如圖，過(guò)M作對(duì)稱軸的垂線，垂足為F，設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)L，則∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴點(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離為3，又y=﹣x2﹣x+2，∴拋物線對(duì)稱軸為x=﹣1，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣，當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣）或（﹣4，﹣）；②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，設(shè)AC的中點(diǎn)為K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵點(diǎn)N在對(duì)稱軸上，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為﹣1，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此時(shí)y=2，∴M（﹣2，2）；綜上可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．專題訓(xùn)練1.（2017.湖南懷化）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn)，且以B，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)H是直線CE下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H且與y軸平行的直線與BC，CE分別交于點(diǎn)F，G，試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形CHEF的面積最大，求點(diǎn)H的坐標(biāo)及最大面積；（4）若點(diǎn)K為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M（4，m）是該拋物線上的一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)P，Q，使四邊形PQKM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法直接拋物線解析式；（2）分兩種情況，利用相似三角形的比例式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）先求出直線BC的解析式，進(jìn)而求出四邊形CHEF的面積的函數(shù)關(guān)系式，即可求出最大值；（4）利用對(duì)稱性找出點(diǎn)P，Q的位置，進(jìn)而求出P，Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0）在拋物線y=ax2+bx﹣5上，∴，∴，∴拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣4x﹣5，（2）如圖1，令x=0，則y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5，要使以B，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有或，①當(dāng)時(shí)，CD=AB=6，∴D（0，1），②當(dāng)時(shí)，∴，∴CD=，∴D（0，），即：D的坐標(biāo)為（0，1）或（0，）；（3）設(shè)H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x軸，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為﹣5，∵E在拋物線上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直線BC的解析式為y=x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+，∵CE∥x軸，HF∥y軸，∴CE⊥HF，∴S四邊形CHEF=CE?HF=﹣2（t﹣）2+，當(dāng)t=時(shí)，四邊形CHEF的面積最大為．（4）如圖2，∵K為拋物線的頂點(diǎn)，∴K（2，﹣9），∴K關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)K'（﹣2，﹣9），∵M(jìn)（4，m）在拋物線上，∴M（4，﹣5），∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M'（4，5），∴直線K'M'的解析式為y=x﹣，∴P（，0），Q（0，﹣）．2.（2017?樂(lè)山）如圖1，拋物線C1：y=x2+ax與C2：y=﹣x2+bx相交于點(diǎn)O、C，C1與C2分別交x軸于點(diǎn)B、A，且B為線段AO的中點(diǎn)．（1）求QUOTEab的值；（2）若OC⊥AC，求△OAC的面積；（3）拋物線C2的對(duì)稱軸為l，頂點(diǎn)為M，在（2）的條件下：①點(diǎn)P為拋物線C2對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如圖2，點(diǎn)E在拋物線C2上點(diǎn)O與點(diǎn)M之間運(yùn)動(dòng)，四邊形OBCE的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值和點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由兩拋物線解析式可分別用a和b表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用B為OA的中點(diǎn)可得到a和b之間的關(guān)系式；（2）由拋物線解析式可先求得C點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，可證得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于a的方程，可求得OA和CD的長(zhǎng)，可求得△OAC的面積；（3）①連接OC與l的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P，可求得OC的解析式，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；②設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出△EOB的面積，過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線交直線BC于點(diǎn)N，可先求得BC的解析式，則可表示出EN的長(zhǎng)，進(jìn)一步可表示出△EBC的面積，則可表示出四邊形OBCE的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，及E點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）在y=x2+ax中，當(dāng)y=0時(shí)，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，∴B（﹣a，0），在y=﹣x2+bx中，當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，∴A（0，b），∵B為OA的中點(diǎn)，∴b=﹣2a，∴ab（2）聯(lián)立兩拋物線解析式可得&y=x2+ax&y=-x2-2ax，消去y整理可得2x當(dāng)x=-32a∴C(-3過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖1，∴D(-3∵∠OCA=90°，∴△OCD∽△CAD，∴CDAD∴CD2=AD?OD，即(3∴a1=0（舍去），a2=2∴OA=-2a=433∴S△OAC（3）①拋物線C2∴其對(duì)稱軸l2點(diǎn)A關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)為O（0，0），C(3則P為直線OC與l2的交點(diǎn)，設(shè)OC的解析式為y=kx，∴1=3k，得∴OC的解析式為y=3當(dāng)x=233∴P(2②設(shè)E(m，則S△OBE而B(niǎo)(233設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由&1=3k+b&0=∴直線BC的解析式為y=3過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線交直線BC于點(diǎn)N，如圖2，則-m2+∴EN=-3∴S∴S四邊形OBCE=S△OBE+S△EBC=(-33m∵0≤m≤2∴當(dāng)m=32時(shí)，當(dāng)m=32時(shí)，∴E(32，【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想等知識(shí)．在（1）中分別表示出A、B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)求得a的值是解題的關(guān)鍵，在（3）①中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）②中用E點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出△OBE和△EBC的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大，難度較大．3.（2017山東聊城）如圖，已知拋物線y=ax2+2x+c與y軸交于點(diǎn)A（0，6），與x軸交于點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到拋物線的什么位置時(shí)，使得∠PAB=75°，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿線段AB上方的拋物線向終點(diǎn)B移動(dòng)，在移動(dòng)中，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度變動(dòng)，與此同時(shí)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)，點(diǎn)P，M移動(dòng)到各自終點(diǎn)時(shí)停止，當(dāng)兩個(gè)移點(diǎn)移動(dòng)t秒時(shí)，求四邊形PAMB的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達(dá)式，化為頂點(diǎn)式可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)P作PC⊥y軸于點(diǎn)C，由條件可求得∠PAC=60°，可設(shè)AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的長(zhǎng)，從而可用m表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得m的值，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）用t可表示出P、M的坐標(biāo)，過(guò)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則可表示出F的坐標(biāo)，從而可用t表示出PF的長(zhǎng)，從而可表示出△PAB的面積，利用S四邊形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．【解答】解：（1）根據(jù)題意，把A（0，6），B（6，0）代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+6，∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）；（2）如圖1，過(guò)P作PC⊥y軸于點(diǎn)C，∵OA=OB=6，∴∠OAB=45°，∴當(dāng)∠PAB=75°時(shí)，∠PAC=60°，∴tan∠PAC=，即=，設(shè)AC=m，則PC=m，∴P（m，6+m），把P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式可得6+m=﹣（m）2+2m+6，解得m=0或m=﹣，經(jīng)檢驗(yàn)，P（0，6）與點(diǎn)A重合，不合題意，舍去，∴所求的P點(diǎn)坐標(biāo)為（4﹣，+）；（3）當(dāng)兩個(gè)支點(diǎn)移動(dòng)t秒時(shí)，則P（t，﹣t2+2t+6），M（0，6﹣t），如圖2，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則EF=EB=6﹣t，∴F（t，6﹣t），∴FP=t2+2t+6﹣（6﹣t）=﹣t2+3t，∵點(diǎn)A到PE的距離竽OE，點(diǎn)B到PE的距離等于BE，∴S△PAB=FP?OE+FP?BE=FP?（OE+BE）=FP?OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t，且S△AMB=AM?OB=×t×6=3t，∴S=S四邊形PAMB=S△PAB+S△AMB=﹣t2+12t=﹣（t﹣4）2+24，∴當(dāng)t=4時(shí)，S有最大值，最大值為24．4.（2017山東濱州）如圖，直線y=kx+b（k、b為常數(shù)）分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（0，3），拋物線y=﹣x2+2x+1與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線y=kx+b的函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)P（x，y）是拋物線y=﹣x2+2x+1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)E在拋物線y=﹣x2+2x+1的對(duì)稱軸上移動(dòng)，點(diǎn)F在直線AB上移動(dòng)，求CE+EF的最小值．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線解析式；（2）過(guò)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)H作HQ⊥x軸，過(guò)P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點(diǎn)Q，則可證明△PHQ∽△BAO，設(shè)H（m，m+3），利用相似三角形的性質(zhì)可得到d與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得d取得最小值時(shí)的P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，由對(duì)稱的性質(zhì)可得CE=C′E，則可知當(dāng)F、E、C′三點(diǎn)一線且C′F與AB垂直時(shí)CE+EF最小，由C點(diǎn)坐標(biāo)可確定出C′點(diǎn)的坐標(biāo)，利用（2）中所求函數(shù)關(guān)系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．【解答】解：（1）由題意可得，解得，∴直線解析式為y=x+3；（2）如圖1，過(guò)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)H作HQ⊥x軸，過(guò)P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點(diǎn)Q，則∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，∴△PQH∽△BOA，∴==，設(shè)H（m，m+3），則PQ=x﹣m，HQ=m+3﹣（﹣x2+2x+1），∵A（﹣4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，∴==，整理消去m可得d=x2﹣x+=（x﹣）2+，∴d與x的函數(shù)關(guān)系式為d=（x﹣）2+，∵＞0，∴當(dāng)x=時(shí)，d有最小值，此時(shí)y=﹣（）2+2×+1=，∴當(dāng)d取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（3）如圖2，設(shè)C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，由對(duì)稱的性質(zhì)可得CE=C′E，∴CE+EF=C′E+EF，∴當(dāng)F、E、C′三點(diǎn)一