統(tǒng)計(jì)學(xué)第三章變量分布特征的描述

統(tǒng)計(jì)學(xué)第三章變量分布特征的描述第1頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日學(xué)習(xí)要求①理解變量分布三大特征即集中趨勢(shì)、離中趨勢(shì)和分布形狀的的含義；②理解平均指標(biāo)、離散指標(biāo)和形狀指標(biāo)的意義與作用；③熟練掌握各種平均數(shù)的計(jì)算方法并加以正確的應(yīng)用，科學(xué)理解加權(quán)平均數(shù)中權(quán)數(shù)的意義，正確認(rèn)識(shí)算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)之間的應(yīng)用關(guān)系，以及算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者之間的數(shù)量關(guān)系；④熟練掌握各種離散指標(biāo)的計(jì)算方法并加以正確的應(yīng)用，尤其是要深刻理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差和離散系數(shù)的內(nèi)涵；⑤熟練掌握偏度系數(shù)和峰度系數(shù)的計(jì)算方法并加以正確的應(yīng)用，尤其是要了解動(dòng)差的含義。第2頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日變量分布特征集中趨勢(shì)

(位置)離中趨勢(shì)

(分散程度)偏態(tài)和峰度（形狀）第3頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)據(jù)分布的測(cè)度峰度偏態(tài)數(shù)據(jù)的特征和測(cè)度分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度眾數(shù)中位數(shù)變異系數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差四分位差極差位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)第4頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述集中趨勢(shì)

亦稱為趨中性，是指變量分布以某一數(shù)值為中心的傾向，一般用平均指標(biāo)來表示。一、集中趨勢(shì)與平均指標(biāo)平均指標(biāo)主要用來表明同質(zhì)總體中某一標(biāo)志值，在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平。其數(shù)值表現(xiàn)平均數(shù)。概念第5頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日平均指標(biāo)的種類從總體各單位變量值中抽象出具有一般水平的量，這個(gè)量是根據(jù)各個(gè)單位的具體標(biāo)志值計(jì)算出來的，有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)等形式。數(shù)值平均數(shù)1、反映時(shí)間不同，分為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)平均數(shù)。2、取得集中趨勢(shì)代表值方法的不同，可分為數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)。先將總體各單位的變量值按一定順序排列，然后取某一位置的變量值來反映總體各單位的一般水平。位置平均數(shù)有眾數(shù)、中位數(shù)、四分位數(shù)等形式。位置平均數(shù)第6頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日

算術(shù)平均數(shù)

計(jì)算平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)靜態(tài)平均數(shù)幾何平均數(shù)位置平均數(shù)眾數(shù)平均指標(biāo)中位數(shù)分位數(shù)發(fā)展水平平均數(shù)動(dòng)態(tài)平均數(shù)發(fā)展速度平均數(shù)第7頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日平均指標(biāo)的作用（1）通過反映變量分布的一般水平，幫助人們對(duì)研究現(xiàn)象的一般數(shù)量特征有一個(gè)客觀的認(rèn)識(shí)。（2）利用平均指標(biāo)可以對(duì)不同空間的發(fā)展水平進(jìn)行比較。（3）利用平均指標(biāo)可以對(duì)某一現(xiàn)象總體在不同時(shí)間上的發(fā)展水平進(jìn)行比較，以說明這種現(xiàn)象發(fā)展變化的趨勢(shì)或規(guī)律性。（4）利用平均指標(biāo)可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系或進(jìn)行數(shù)量上的推算。（5）平均指標(biāo)還可以作為研究和評(píng)價(jià)事物的一種數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)或參考。第8頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日二、數(shù)值(計(jì)算)平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)第9頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（一）算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)一般就稱為平均數(shù)（mean）。其定義是：觀察值的總和除以觀察值個(gè)數(shù)的商。在實(shí)際工作中，由于所掌握的統(tǒng)計(jì)資料的不同，利用上述公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可分為簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)兩種。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)

（SimpleArithmeticMean）

加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

（WeightedArithmeticMean）

第10頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日1.簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)

簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的公式根據(jù)未經(jīng)分組整理的原始數(shù)據(jù)計(jì)算的均值。設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1,x2,x3,…xn.則簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式如下：第11頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日例1:據(jù)南方人才服務(wù)中心調(diào)查，從事IT行業(yè)的從業(yè)人員年薪在40000-55000元之間，表中的數(shù)據(jù)是IT從業(yè)人員年薪的一個(gè)樣本：24名IT從業(yè)人員年薪資料表491004860049950488004720049900513505460049300512005100049400514005180049600534004870050300490004980048900486505130051900計(jì)算IT從業(yè)人員的平均年薪第12頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日2.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

根據(jù)分組整理的數(shù)據(jù)計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)。

加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的公式

f代表各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)。第13頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日設(shè)某廠職工按日產(chǎn)量分組后所得組距數(shù)列如下，據(jù)此求平均日產(chǎn)量。按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)f(人)60以下1060–701970–805080–903690–10027100–11014110以上8合計(jì)164例2組中值X(千克)Xf555506512357537508530609525651051470115920-13550第14頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（1）算術(shù)平均數(shù)的大小，不僅取決于研究對(duì)象的變量值(x)，而且受各變量值重復(fù)出現(xiàn)的頻數(shù)（f）或頻率（f／∑f）大小的影響，頻數(shù)或頻率較大，該組數(shù)據(jù)的大小對(duì)算術(shù)平均數(shù)的影響就大，反之則小。（2）權(quán)數(shù)的表現(xiàn)形式問題注意點(diǎn)第15頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日按日產(chǎn)量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)ff/∑f60以下55100.063.360–7065190.127.870–8075500.3022.580–9085360.2218.790–10095270.1615.2100–110105140.099.45110以上11580.055.75合計(jì)-1641.0082.7例3：第16頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日3.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)

(1)各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零.(2)各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和最小.

(3)兩個(gè)獨(dú)立的同性質(zhì)變量代數(shù)和的平均數(shù)等于各變量平均數(shù)的代數(shù)和.(4)兩個(gè)獨(dú)立的同性質(zhì)變量乘積的平均數(shù)等于各變量平均數(shù)的乘積.第17頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日4.算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)(1)可用于推算總體標(biāo)志總量。(2)代表性強(qiáng),在抽樣中具有良好的穩(wěn)定性和可靠性.(3)可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。

缺點(diǎn)(1)當(dāng)總體中個(gè)別單位標(biāo)志值特別大或特別小時(shí)，會(huì)導(dǎo)致算術(shù)平均數(shù)偏大或偏小。(2)當(dāng)組距數(shù)列有開口組時(shí)，組中值有較大假定性。第18頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（二）調(diào)和平均數(shù)小學(xué)四年級(jí)的算術(shù)題：一輛小車以每小時(shí)80公里的速度從山下開到山頂，又以每小時(shí)100公里的速度沿原路返回到山下，問：該車的平均速度。80km/h100km/h鏈接例子：F1比賽時(shí)，A車手第一圈時(shí)速300公里，第二圈時(shí)速340公里，B車手第一圈時(shí)速320公里，第二圈時(shí)速318。請(qǐng)問：只賽兩圈誰獲勝？第19頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日問題的解答：速度=距離/時(shí)間，故平均速度=總距離/總時(shí)間。推廣：如果該車山下——山頂來回開，n次的速度分別為x1,x2,x3,…,xn，則平均速度就成為：第20頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日這一計(jì)算方式被定義為“調(diào)和平均數(shù)”(H）。變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故又稱為倒數(shù)平均數(shù)第21頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日1、簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)（1）作為算術(shù)平均的變形例1：三種不同等級(jí)的青菜，每公斤單價(jià)分別為2元、4元、5元。每種等級(jí)各買1元，則均價(jià)是多少？例2：某人在30元/股、50元/股、100元/股的三個(gè)不同價(jià)位各買進(jìn)“貴州茅臺(tái)”股票6000元，則所持該股票的均價(jià)是多少？定義：調(diào)和平均數(shù)是變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。又稱倒數(shù)平均數(shù)。調(diào)和平均通常是作為算術(shù)平均數(shù)的變形來使用的。但一些特殊的領(lǐng)域，如綜合評(píng)價(jià)，調(diào)和平均卻是一種獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)平均數(shù)，有著特定的應(yīng)用價(jià)值。第22頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日例1等價(jià)于：三種等級(jí)的青菜單價(jià)分別為2元/公斤、4元/公斤、5元/公斤，分別購買0.5公斤、0.25公斤、0.2公斤，要求計(jì)算平均價(jià)格。等價(jià)的計(jì)算方式是：例2等價(jià)于：A股票30元/股時(shí)買了200股，50元/股時(shí)買了120股，100元/股時(shí)買了60股。要求計(jì)算股票均價(jià)。等價(jià)的計(jì)算方式是：第23頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（2）作為獨(dú)立公式運(yùn)用例1：計(jì)算1與2的調(diào)和平均。例2：編制價(jià)格總指數(shù)時(shí)，代表品1的價(jià)格指數(shù)是110%，代表品2的價(jià)格指數(shù)是105%，則可用兩者的調(diào)和平均值作為這一小類的價(jià)格指數(shù)。例3：甲員工的“德”、“才”、“能”測(cè)量分值分別是90分、86分、84分；乙員工的“德”、“才”、“能”測(cè)量分值分別為84分、98分、78分。要求采用簡(jiǎn)單調(diào)和平均方法計(jì)算并比較甲、乙兩人的綜合素質(zhì)。第24頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日第25頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日2、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)例1：法拉利隊(duì)的車王邁克爾·舒馬赫在2004年9月初的一次試車中（F2004），以每小時(shí)320公里的速度開了52圈，以每小時(shí)345公里的速度開了35圈，而隊(duì)友巴里切羅以每小時(shí)322公里的速度開了45圈，以每小時(shí)337公里的速度開了42圈，求兩人各自的平均車速。例2：三種不同等級(jí)的青菜分別買5元、6元、10元，每公斤單價(jià)分別為2元、4元、5元，則平均價(jià)格是多少？第26頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（1）加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的基本公式

（2）加權(quán)調(diào)和平均公式的應(yīng)用

——作為算術(shù)平均的變形當(dāng)mi=xifi

時(shí)，有：第27頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日(3)加權(quán)調(diào)和平均公式應(yīng)該注意的幾個(gè)問題A.與加權(quán)算術(shù)平均公式類似,加權(quán)調(diào)和平均公式的權(quán)數(shù)也有兩種類型:絕對(duì)權(quán)重與比重權(quán)重,相應(yīng)就有兩種不同形式的加權(quán)方式.調(diào)和平均數(shù)的權(quán)數(shù)不是“次數(shù)”而是各組的標(biāo)志值。絕對(duì)權(quán)重比重權(quán)重第28頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日B.計(jì)算加權(quán)調(diào)和平均值時(shí)，同樣需要注意選擇合適的x，以及合適的權(quán)重m.

應(yīng)該以組平均作為x，若無，則用組中值近似代表。權(quán)重m應(yīng)該是具有實(shí)際意義的“各組標(biāo)志總量”。C.調(diào)和平均與算術(shù)平均的正確選擇問題

作為算術(shù)平均數(shù)變形，調(diào)和平均數(shù)主要用于“平均數(shù)的平均”與“相對(duì)數(shù)的平均”計(jì)算之中。如果掌握了變量值，以及該變量的分子資料時(shí)，需要通過基本數(shù)量關(guān)系推導(dǎo)出分母數(shù)值，此時(shí)即為“加權(quán)調(diào)和平均”。第29頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日甲乙兩農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)三種農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格和成交量和成交額如下：產(chǎn)品價(jià)格甲市場(chǎng)成交額乙市場(chǎng)成交量（元/斤）（萬元）（萬斤）A1.21.22B1.42.81C1.51.51分別求兩個(gè)市場(chǎng)農(nóng)產(chǎn)品的平均價(jià)格。第30頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日這是以分母為權(quán)重的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)這是以分子為權(quán)重的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)第31頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日D.簡(jiǎn)單調(diào)和平均與加權(quán)調(diào)和平均的關(guān)系m1=m2=m3=…=mn=m第32頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日調(diào)和平均數(shù)易受極端值的影響，且受極小值的影響比受極大值的影響更大。只要有一個(gè)變量值為零，就不能計(jì)算調(diào)和平均數(shù)。當(dāng)組距數(shù)列有開口組時(shí)，其組中值即使按相鄰組距計(jì)算了，假定性也很大，這時(shí)，調(diào)和平均數(shù)的代表性就很不可靠。調(diào)和平均數(shù)應(yīng)用的范圍較小。

E.調(diào)和平均的特點(diǎn)第33頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日

某魚攤有兩種鯽魚：大的每公斤18元，小的每公斤12元，并不能還價(jià)。一顧客欲各買一條，但提出兩條一起稱，每公斤15元，魚攤主答應(yīng)。問誰占便宜？思考題：第34頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日3.由相對(duì)數(shù)或平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)（1）由相對(duì)數(shù)計(jì)算平均數(shù)例1：設(shè)有某行業(yè)150個(gè)企業(yè)的有關(guān)產(chǎn)值和利潤資料如表所示，計(jì)算該行業(yè)一、二季度的平均產(chǎn)值利潤率。產(chǎn)值利潤率(％)一季度二季度企業(yè)數(shù)(個(gè))實(shí)際產(chǎn)值(萬元)企業(yè)數(shù)(個(gè))實(shí)際利潤(萬元)5－103057005071010－20702050080351420－305022500202250合計(jì)150487001506474第35頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日計(jì)算第一季度的平均產(chǎn)值利潤率，應(yīng)該采用實(shí)際產(chǎn)值加權(quán)，進(jìn)行算術(shù)平均，即有：計(jì)算第二季度的平均產(chǎn)值利潤率，則應(yīng)該采用實(shí)際利潤加權(quán)，即有：第36頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日產(chǎn)值計(jì)劃完成程度％）組中值（％）X企業(yè)數(shù)（個(gè)）實(shí)際產(chǎn)值（萬元）M計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）M/X80～9085268080090～10095323752500100～110105101806017200110～120115350604400合計(jì)-182617524900例2：計(jì)算下表企業(yè)的平均計(jì)劃完成程度第37頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（2）由平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)例3：某車間各班組工人的平均勞動(dòng)生產(chǎn)率和實(shí)際工時(shí)數(shù)據(jù)如表所示，要求計(jì)算車間平均勞動(dòng)生產(chǎn)率班組平均勞動(dòng)生產(chǎn)率（件/工時(shí)）實(shí)際工時(shí)（小時(shí)）123412162028200320300190合計(jì)1000我們掌握的資料是平均數(shù)的母項(xiàng)數(shù)值即實(shí)際工時(shí)數(shù)，因而應(yīng)該以實(shí)際工時(shí)數(shù)為權(quán)數(shù)，采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的形式來計(jì)算平均勞動(dòng)生產(chǎn)率。第38頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日平均勞動(dòng)生產(chǎn)率（件/工時(shí)）實(shí)際工時(shí)實(shí)際產(chǎn)品總量（件）班組1234121620282003203001902400512060005320合計(jì)101018840車間平均勞動(dòng)生產(chǎn)率（件/工時(shí)）==第39頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（三）幾何平均數(shù)（GeometricMean）幾何平均數(shù)也稱幾何均值，它是n個(gè)變量值乘積的n次方根。適用對(duì)象：現(xiàn)象的總比率是若干項(xiàng)變量的乘積，或現(xiàn)象的總發(fā)展速度是各時(shí)期發(fā)展速度的連乘積時(shí)，計(jì)算平均比率或平均發(fā)展速度。1.簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)

（SimpleGeometricMean）

直接將n項(xiàng)變量連乘，對(duì)其連乘積開n次方根所得的平均數(shù)即為簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)。計(jì)算公式為：第40頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日例1：某企業(yè)的一條生產(chǎn)流水線有四道工序,每一道工序完成的產(chǎn)品都要作一次質(zhì)量檢查,只有合格的中間件才進(jìn)入下一道工序。工序C工序A工序B工序D合格率98%合格率97%合格率94%合格率95%請(qǐng)問：平均合格率=？第41頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日所謂平均“合格率”，是指每一道工序合格率是相同的。這也就是說，如果記“平均合格率為G，則只有”四道工序全部合格的產(chǎn)品才是合格的，因而，有以下等式：第42頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日例2:據(jù)網(wǎng)上報(bào)到，成都溫江的蘭花節(jié)（2006年2月27日，溫江第三屆蘭花節(jié)）上，一盆蘭花賣價(jià)是1100萬元，這背后是迅速壯大的10萬戶成都養(yǎng)蘭、炒蘭戶。他們當(dāng)中，不少人是在借高利貸炒蘭，圖謀暴利。專家稱，成都蘭市價(jià)格已漲到了瘋狂的境地，投資蘭花不能盲目跟風(fēng)，“擊鼓傳花”式的投機(jī)最終會(huì)讓人血本無歸。紅荷黃金海岸龍女彩蝶第43頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日設(shè)某炒蘭投資者從朋友處借得一筆高利貸，以季度為結(jié)算單位，每個(gè)季度生成的利息到期自動(dòng)轉(zhuǎn)為本金，一年連本帶利付清。各季利率根據(jù)蘭花價(jià)格變化適當(dāng)調(diào)整。實(shí)際一年下來，第一季度的利率是3%，第二季度的利率是3.2%，第三季度的利率是3.6%，第四季度的利率是2.8%。問：平均利率是多少？解答：即若借款總額為L(zhǎng)萬元，則一年之后的付款額（本息和）為：如果平均利率為G，則應(yīng)該有：第44頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日2.加權(quán)幾何平均數(shù)

（WeightedGeometricMean）

與算術(shù)平均數(shù)一樣，當(dāng)資料中的某些變量值重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，相應(yīng)地，簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)就變成了加權(quán)幾何平均數(shù)。計(jì)算公式為：第45頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日

例3:投資銀行某筆投資的年利率是按復(fù)利計(jì)算的，25年的年利率分配是：有1年為3%，有4年為5%，有8年為8%，有10年為10%，有2年為15%，求平均年利率。本利率(%)X年數(shù)f本利率的對(duì)數(shù)lgXf·lgX10312.01282.012810542.02128.084810882.033416.2672110102.041420.414011522.06074.1214合計(jì)25-50.9002第46頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日

25年的平均本利率為108.6%，年平均利率即為8.6%。例4：設(shè)某生產(chǎn)流水線由12道工序組成，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有3道工序的不合格率為2%，有4道工序的不合格率為4%，有5道工序的不合格率為5%，求平均不合格率第47頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日幾何平均數(shù)特點(diǎn)（1）受極端值的影響較算術(shù)平均數(shù)小。（2）如果變量值有負(fù)值，計(jì)算出的幾何平均數(shù)就會(huì)成為負(fù)數(shù)或虛數(shù)。（3）僅適用于具有等比或近似等比關(guān)系的數(shù)據(jù)。（4）其對(duì)數(shù)是各變量值對(duì)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。第48頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（四）幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系冪平均函數(shù)第49頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日某公司所屬三個(gè)企業(yè)有關(guān)生產(chǎn)資料如下：（1）若三個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，試計(jì)算平均合格率（2）若三個(gè)企業(yè)生產(chǎn)不同一種產(chǎn)品，試計(jì)算平均合格率（3）若三個(gè)企業(yè)為流水作業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，試計(jì)算平均合格率企業(yè)合格率（%）產(chǎn)品產(chǎn)量（件）實(shí)際消耗工時(shí)（工時(shí)）甲96100500乙95200450丙98300400思考題：第50頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日三、位置平均數(shù)

位置平均數(shù)，就是根據(jù)總體中處于特殊位置上的個(gè)別單位或部分單位的標(biāo)志值來確定的代表值，它對(duì)于整個(gè)總體來說，具有非常直觀的代表性，因此，常用來反映分布的集中趨勢(shì)。常用的眾數(shù)、中位數(shù)。第51頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（一）中位數(shù)與分位數(shù)1.中位數(shù)（Median）的含義中位數(shù)是將數(shù)據(jù)按大小順序排列起來，形成一個(gè)數(shù)列，居于數(shù)列中間位置的那個(gè)數(shù)據(jù)就是中位數(shù)。中位數(shù)用Me表示。Me50%50%在一個(gè)等差數(shù)列或一個(gè)正態(tài)分布數(shù)列中，中位數(shù)就等于算術(shù)平均數(shù)。第52頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日2.中位數(shù)的計(jì)算確定中位數(shù)，必須將總體各單位的標(biāo)志值按大小順序排列，最好是編制出變量數(shù)列。這里有兩種情況：A.對(duì)于未分組的原始資料，首先必須將標(biāo)志值按大小排序。設(shè)排序的結(jié)果為：第53頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日491004860049950488004720049900513505460049300512005100049400514005180049600534004870050300490004980048900486505130051900例1:24名IT從業(yè)人員年薪資料表如下所示，計(jì)算該24名IT人員的中位數(shù)排序得：中位數(shù)的位置在（24+1）/2=12.5，中位數(shù)在第12個(gè)數(shù)值（49800）和第13個(gè)數(shù)值（49900）之間，即

Me=(49800+49900)/2=49850(元)。第54頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日B.由分組資料確定中位數(shù)（１）由單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù)，直接按的公式求出中位數(shù)所在組的位置，計(jì)算累計(jì)次數(shù)確定中位數(shù)所在的組，組值即是中位數(shù)。第55頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日例2:某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表零件數(shù)(個(gè))頻數(shù)(人)零件數(shù)(個(gè))頻數(shù)(人)零件數(shù)(個(gè))頻數(shù)(人)107108110112113114115117118121211133119120121122123124125126127121443223128129130131133134135137139211122112第56頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日第57頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（２）由組距數(shù)列確定中位數(shù)，應(yīng)先按的公式求出中位數(shù)所在組的位置，然后再按下限公式或上限公式確定中位數(shù)。Sm-1-中位數(shù)所在組以下的累計(jì)次數(shù)。Sm-1-中位數(shù)所在組以上的累計(jì)次數(shù)。第58頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日LU第59頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日

例3:某企業(yè)50名工人加工零件中位數(shù)計(jì)算表,計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)按零件數(shù)分組(個(gè))頻數(shù)(人)向上累計(jì)(人)向下累計(jì)(人)105～1103350110～1155847115～12081642120～125143034125～1301040201301404504Sm-1Sm+1第60頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日中位數(shù)特點(diǎn)（1）中位數(shù)是以它在所有標(biāo)志值中所處的位置確定的全體單位標(biāo)志值的代表值，不受分布數(shù)列的極大或極小值影響，從而在一定程度上提高了中位數(shù)對(duì)分布數(shù)列的代表性。（2）有些離散型變量的單項(xiàng)式數(shù)列，當(dāng)次數(shù)分布偏態(tài)時(shí)，中位數(shù)的代表性會(huì)受到影響。（3）缺乏敏感性。

第61頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日2.分位數(shù)分位數(shù)是將變量的數(shù)值按大小順序排列并等分為若干部分后，處于等分點(diǎn)位置的數(shù)值。常用的分位數(shù)有四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)根據(jù)中位數(shù)的原理，你能寫出四分位數(shù)的公式嗎？第62頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日第63頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（二）眾數(shù)（Mode）1.眾數(shù)的含義眾數(shù)是指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)標(biāo)志值。用Mo表示。它主要用于定類（品質(zhì)標(biāo)志）數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，當(dāng)然也適用于作為定序（品質(zhì)標(biāo)志）數(shù)據(jù)以及定距和定比（數(shù)量標(biāo)志）數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的測(cè)度值。眾數(shù)也不受數(shù)列中極端變量值的影響，它可反映總體各單位某一標(biāo)志值的集中趨勢(shì)。第64頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日2.眾數(shù)的計(jì)算(眾數(shù)的不唯一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):

10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):

659855多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):

252828

364242第65頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（1）數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)A.眾數(shù)的值與相鄰兩組頻數(shù)的分布有關(guān)D.該公式假定眾數(shù)組的頻數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)均勻分布B.相鄰兩組的頻數(shù)相等時(shí)，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)MoC.相鄰兩組的頻數(shù)不相等時(shí)，眾數(shù)采用下列近似公式計(jì)算MoMoMoMo第66頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日UdLab第67頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合計(jì)50—例:根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)第68頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（2）組距數(shù)列確定眾數(shù)的方法下限公式上限公式第69頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日眾數(shù)特點(diǎn)1．眾數(shù)不受分布數(shù)列的極大或極小值的影響.2．當(dāng)分組數(shù)列沒有任何一組的次數(shù)占多數(shù)，而是近似于均勻分布時(shí)，則該次數(shù)分配數(shù)列無眾數(shù)。若將無眾數(shù)的分布數(shù)列重新分組或各組頻數(shù)依序合并，又會(huì)使分配數(shù)列再現(xiàn)出明顯的集中趨勢(shì)。第70頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日3．如果與眾數(shù)組相比鄰的上下兩組的次數(shù)相等，則眾數(shù)組的組中值就是眾數(shù)值；如果與眾數(shù)組比鄰的上一組的次數(shù)較多，而下一組的次數(shù)較少，則眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)會(huì)偏向該組下限；如果與眾數(shù)組比鄰的上一組的次數(shù)較少，而下一組的次數(shù)較多，則眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)會(huì)偏向該組上限。4．缺乏敏感性。這是由于眾數(shù)的計(jì)算只利用了眾數(shù)組的數(shù)據(jù)信息，不象數(shù)值平均數(shù)那樣利用了全部數(shù)據(jù)信息。第71頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（三）中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系在對(duì)稱分布（即正態(tài)）時(shí)在右偏時(shí)在左偏時(shí)適度偏態(tài)時(shí)眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的距離約為中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)距離的3倍第72頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日對(duì)稱分布右偏分布左偏分布第73頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日一組工人的月收入眾數(shù)為700元，月收入的算術(shù)平均數(shù)為1000元，則月收入的中位數(shù)近似值是：例：第74頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述一、離中趨勢(shì)和離散指標(biāo)

離中趨勢(shì)，就是變量分布中各變量值背離中心值的傾向。如果說集中趨勢(shì)是總體或變量分布同質(zhì)性的體現(xiàn)，那么離中趨勢(shì)就是總體或變量分布變異性的體現(xiàn)。離散指標(biāo)就是反映變量值變動(dòng)范圍和差異程度的指標(biāo)，即反映變量分布中各變量值遠(yuǎn)離中心值或代表值程度的指標(biāo)，亦稱為變異指標(biāo)或標(biāo)志變動(dòng)度指標(biāo)。

第75頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日離散指標(biāo)是衡量平均指標(biāo)代表性的尺度。一般來講，數(shù)據(jù)分布越分散，變異指標(biāo)越大，平均指標(biāo)的代表性越??；數(shù)據(jù)分布越集中，變異指標(biāo)越小，平均指標(biāo)的代表性越大。常用的變異指標(biāo)有：全距、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)。

第76頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日離散指標(biāo)的作用

用離散指標(biāo)衡量和比較平均指標(biāo)的代表性。用離散指標(biāo)反映經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過程的均衡性、穩(wěn)定性和節(jié)奏性。離散指標(biāo)為統(tǒng)計(jì)推斷提供依據(jù)。第77頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日接吻定律

第一次接吻以后，女人會(huì)把這個(gè)吻當(dāng)作一筆放出去的投資，男人卻會(huì)把它當(dāng)做一筆收回來的貸款。樂觀與悲觀定律

樂觀者發(fā)明了游艇，悲觀者發(fā)明了救生圈；樂觀者建造了高樓，悲觀者生產(chǎn)了救火栓；樂觀者都去做了玩命的賽車手，悲觀者卻穿起了白大褂當(dāng)了醫(yī)生；最后樂觀者發(fā)射了宇宙飛船，悲觀者則開辦了保險(xiǎn)公司。人力定律

一個(gè)人在一分鐘內(nèi)可以挖一個(gè)洞，六十個(gè)人在一秒鐘內(nèi)就辦不到。做飯定律

因?yàn)榕伦鲲?，男人下了班也不忙著回家；因?yàn)橐鲲?，女人沒下班就忙著溜回家。第78頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日二、離散指標(biāo)的測(cè)度（一）全距（Range）全距（R）也稱為極差，是指總體各單位的兩個(gè)極端標(biāo)志值之差，即：R＝最大標(biāo)志值－最小標(biāo)志值

特點(diǎn)（優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)）（1）簡(jiǎn)明；（2）只反映變異范圍；（3）只受兩個(gè)數(shù)值影響；最容易受極端值影響。沒有反映中間數(shù)值的影響，沒有反映分布情況。第79頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日例1:有兩個(gè)學(xué)習(xí)小組的統(tǒng)計(jì)學(xué)開始成績(jī)分別為：第一組：60，70，80，90，100第二組：78，79，80，81，82很明顯，兩個(gè)小組的考試成績(jī)平均分都是80分，但是哪一組的分?jǐn)?shù)比較集中呢？如果用全距指標(biāo)來衡量，則有R甲＝100－60＝40（分）R乙＝82－78＝4（分）這說明第一組資料的標(biāo)志變動(dòng)度或離中趨勢(shì)遠(yuǎn)大于第二組資料的標(biāo)志變動(dòng)度。第80頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（二）四分位差四分位差是四分位數(shù)中第一個(gè)四分位數(shù)與第三個(gè)四分位數(shù)之差，也稱為內(nèi)距或四分間距，通常用表示，即：第81頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（三）異眾比率異眾比率是分布數(shù)列中非眾數(shù)組的頻數(shù)與總頻數(shù)之比，通常用來表示，即：

第82頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日在資料未分組的情況下，平均差的計(jì)算公式為：

在資料已分組的情況下，要用加權(quán)平均差公式：

第83頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日例2:某廠按月收入水平分組的組距數(shù)列如表所示，計(jì)算平均差

例1：以甲組學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)槔骄钊缦拢篈.D=職工工資（元）職工人數(shù)（f）250-27015270-29025290-31035310-33065330-35040合計(jì)180組中值（x）xfx－2603900-507502807000-3075030010500-10350320208001065034013600301200－55800－3700第84頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日解：根據(jù)公式列表計(jì)算，得到A.D=

由于平均差采用了離差的絕對(duì)值，不便于運(yùn)算，這樣使其應(yīng)用受到了很大限制。第85頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（四）平均差（MeanDeviation）

平均差是總體各單位標(biāo)志值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。特點(diǎn)（1）反映了全部標(biāo)志值的變動(dòng)情況；（2）受平均數(shù)水平高低、計(jì)量單位（不同性質(zhì)的現(xiàn)象）影響；（3）取絕對(duì)值的方法消除離差正負(fù)號(hào)，不便于代數(shù)處理。第86頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（五）方差（Variance）、

標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation）

方差和標(biāo)準(zhǔn)差是測(cè)度數(shù)據(jù)變異程度的最重要、最常用的指標(biāo)。方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的平均數(shù)，通常以σ2表示。標(biāo)準(zhǔn)差又稱均方差，一般用σ表示。方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算也分為簡(jiǎn)單平均法和加權(quán)平均法，另外，對(duì)于總體數(shù)據(jù)和樣本數(shù)據(jù)，公式略有不同。第87頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日1.總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差

設(shè)總體方差為，對(duì)于未經(jīng)分組整理的原始數(shù)據(jù)，方差的計(jì)算公式為：對(duì)于分過組的數(shù)據(jù)，方差的計(jì)算公式為：第88頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，其相應(yīng)的計(jì)算公式為：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：

第89頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日2.樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差樣本方差與總體方差在計(jì)算上的區(qū)別是：總體方差是用數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)去除離差平方和，而樣本方差則是用樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)減1去除離差平方和，其中樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)減1即n－1稱為自由度。第90頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日設(shè)樣本方差為，根據(jù)未分組數(shù)據(jù)和分組數(shù)據(jù)計(jì)算樣本方差的公式分別為：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：

第91頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日根據(jù)未分組數(shù)據(jù)和分組數(shù)據(jù)計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差的公式分別為：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：

第92頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日例1:考察一臺(tái)機(jī)器的生產(chǎn)能力，利用抽樣程序來檢驗(yàn)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品質(zhì)量，假設(shè)搜集的數(shù)據(jù)如下：根據(jù)該行業(yè)通用法則：如果一個(gè)樣本中的14個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)的方差大于0.005，則該機(jī)器必須關(guān)閉待修。問此時(shí)的機(jī)器是否必須關(guān)閉？第93頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日解：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，計(jì)算因此，該機(jī)器工作正常。第94頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日例2:以下是江蘇省和浙江省2005年年?duì)I業(yè)收入最大的前15個(gè)企業(yè),試用標(biāo)準(zhǔn)差來比較兩省企業(yè)收入的穩(wěn)定程度.江蘇前15名營業(yè)收入(萬元)浙江前15名營業(yè)收入(萬元)江蘇沙鋼集團(tuán)有限公司3112365浙江物產(chǎn)集團(tuán)3476937熊貓電子集團(tuán)2804390浙江省興合集團(tuán)2261710南京鋼鐵集團(tuán)2788062浙江冶金集團(tuán)2159445江蘇華西集團(tuán)公司2603864廣廈控股創(chuàng)業(yè)投資有限公司2137266蘇寧電器集團(tuán)2246465萬向集團(tuán)2092908太平洋建設(shè)集團(tuán)2122634浙江省能源集團(tuán)有限公司1838372南京斯威特集團(tuán)有限公司1960673橫店集團(tuán)1429810春蘭集團(tuán)1706942雅戈?duì)柤瘓F(tuán)1397123徐州工程機(jī)械集團(tuán)有限公司1700551浙江省建設(shè)投資集團(tuán)1383451華芳集團(tuán)有限公司1691373正泰集團(tuán)1196121江蘇悅達(dá)集團(tuán)1538658寧波電子信息集團(tuán)1194889江蘇國泰國際集團(tuán)有限公司1206262杭州娃哈哈集團(tuán)1144323江蘇永鋼集團(tuán)有限公司1166189德力西集團(tuán)1076741江蘇交通控股有限公司1118380奧克斯集團(tuán)1034198躍進(jìn)汽車集團(tuán)1113675華立集團(tuán)1033388第95頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日江蘇省:

=1925365.533(萬元)

=667382.6891(萬元)浙江省=1657112.133(萬元)

=675072.0375(萬元)從標(biāo)準(zhǔn)差看江蘇企業(yè)比浙江省企業(yè)的營業(yè)收入穩(wěn)定第96頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日營業(yè)收入（億元）企業(yè)個(gè)數(shù)（江蘇）(浙江)10-20487520-30262430-4040-5050-6060-7070-8080-9090-100100以上15166878988163111810合計(jì)144154例3:以下是江蘇省和浙江省2005年年?duì)I業(yè)收入超過10億元企業(yè),試用標(biāo)準(zhǔn)差來比較兩省營業(yè)收入超過10億元企業(yè)收入的穩(wěn)定程度.第97頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日江蘇:先計(jì)算平均數(shù)：=43.26(億元)

標(biāo)準(zhǔn)差

=31.52(億元)浙江:=32.98(億元)=26.07(億元)第98頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日在實(shí)際計(jì)算方差時(shí),可以采用另一種較為簡(jiǎn)便的方法:方差和標(biāo)準(zhǔn)差也是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，它反映了每個(gè)數(shù)據(jù)與其均值相比平均相差的數(shù)值，因此它能準(zhǔn)確地反映出數(shù)據(jù)的離散程度。第99頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日σ與R的關(guān)系σ與A.D.的關(guān)系經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)分布數(shù)列接近于正態(tài)分布時(shí)，R和σ之間存在以下經(jīng)驗(yàn)公式：R為4至6個(gè)σ:當(dāng)標(biāo)志值項(xiàng)數(shù)較少時(shí)，R≈4σ

當(dāng)標(biāo)志值項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，R≈6σ對(duì)同一資料，所求的平均差一般比標(biāo)準(zhǔn)差要小，即A.D.≤σ3.標(biāo)準(zhǔn)差與全距、平均差的關(guān)系第100頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（六）離散系數(shù)（CoefficientofVariation）上面介紹的各離散程度測(cè)度值都是反映數(shù)據(jù)分散程度的絕對(duì)值，其數(shù)值的大小依賴于兩方面：1.原變量值本身水平高低的影響。2.它們與原變量值的計(jì)量單位相同，采用不同計(jì)量單位計(jì)量的變量值，其離散程度的測(cè)度值也就不同。第101頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日對(duì)于平均水平不同或計(jì)量單位不同的不同組別的變量值，是不能直接用上述離散程度的測(cè)度值直接進(jìn)行比較的。為了消除變量值水平高低和計(jì)量單位不同對(duì)離散程度測(cè)度值的影響，需要計(jì)算離散系數(shù)。離散系數(shù)也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)。第102頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日其計(jì)算公式為：Vσ和Vs分別表示總體離散系數(shù)和樣本離散系數(shù)。離散系數(shù)要是用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)的離散程度進(jìn)行比較，離散系數(shù)大的說明該組數(shù)據(jù)的離散程度也就大，離散系數(shù)小的說明該組數(shù)據(jù)的離散程度也就小。第103頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日例1：甲乙兩個(gè)城市的居民年收入情況表中前三欄的數(shù)據(jù)來看,乙城市不僅人均年收入兩倍于甲城市,而且收入的差距也似乎顯著于甲城市.但通過計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)可以看出:乙城市的實(shí)際收入差距相對(duì)于它的平均收入來說,比甲城市要低的多.或者說,以居民對(duì)收入收入差距所承受的壓力而言,甲城市要比乙城市高得多.人均年收入收入標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)甲城市60001502.5乙城市120001801.5第104頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日例2：江蘇企業(yè)江蘇企業(yè)的經(jīng)營收入比浙江企業(yè)穩(wěn)定浙江企業(yè)例3：火箭隊(duì)每場(chǎng)比賽失誤的均值是5.6分,全賽季失誤的標(biāo)準(zhǔn)差是10分,馬刺隊(duì)每場(chǎng)比賽失誤的均值是4.2分,全賽季失誤的標(biāo)準(zhǔn)差是10分.你認(rèn)為以下哪一種敘述是正確的(）火箭隊(duì)比馬刺隊(duì)打球水平差火箭隊(duì)比馬刺隊(duì)在失誤上比較穩(wěn)定馬刺隊(duì)比火箭隊(duì)在失誤上比較穩(wěn)定馬刺隊(duì)很少不失誤第105頁，共118頁，2023年，2月20日，星期日（七）是非標(biāo)志的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差

是非標(biāo)志，又稱交替標(biāo)志，它是用“是”

“否”或“有”“無”來表示的。由于是非標(biāo)志只有兩個(gè)