2023年高等數學基礎知識點大全

一、函數與極限1、集合的概念一般地我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有擬定性（給定集合的元素必須是擬定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構成集合，由于它的元素不是擬定的。我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表達集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表達集合中的元素。假如a是集合A中的元素，就說a屬于A，記作：a∈A，否則就說a不屬于A，記作：aA。⑴、全體非負整數組成的集合叫做非負整數集（或自然數集）。記作N⑵、所有正整數組成的集合叫做正整數集。記作N+或N+。⑶、全體整數組成的集合叫做整數集。記作Z。⑷、全體有理數組成的集合叫做有理數集。記作Q。⑸、全體實數組成的集合叫做實數集。記作R。集合的表達方法⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表達集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特性來表達集合。集合間的基本關系⑴、子集：一般地，對于兩個集合A、B，假如集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作AB（或BA）。。⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時集合A中的元素與集合B中的元素完全同樣，因此集合A與集合B相等，記作A＝B。⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。⑸、由上述集合之間的基本關系，可以得到下面的結論：①、任何一個集合是它自身的子集。即AA②、對于集合A、B、C，假如A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集涉及“真子集”和“等集”。集合的基本運算⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作A∪B。（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。⑶、補集：①全集：一般地，假如一個集合具有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。通常記作U。②補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集。簡稱為集合A的補集，記作CUA。即CUA＝｛x|x∈U，且xA｝。集合中元素的個數⑴、有限集：我們把具有有限個元素的集合叫做有限集，具有無限個元素的集合叫做無限集。⑵、用card來表達有限集中元素的個數。例如A＝｛a,b,c｝，則card(A)=3。⑶、一般地，對任意兩個集合A、B，有card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)我的問題：1、學校里開運動會，設A＝｛x|x是參與一百米跑的同學｝，B＝｛x|x是參與二百米跑的同學｝，C＝｛x|x是參與四百米跑的同學｝。學校規(guī)定，每個參與上述比賽的同學最多只能參與兩項，請你用集合的運算說明這項規(guī)定，并解釋以下集合運算的含義。⑴、A∪B；⑵、A∩B。2、在平面直角坐標系中，集合C＝{(x,y)|y=x}表達直線y＝x，從這個角度看，集合D={(x,y)|方程組：2x-y=1,x+4y=5}表達什么？集合C、D之間有什么關系？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關系。3、已知集合A={x|1≤x≤3}，B＝{x|(x-1)(x-a)=0}。試判斷B是不是A的子集？是否存在實數a使A＝B成立？4、對于有限集合A、B、C，能不能找出這三個集合中元素個數與交集、并集元素個數之間的關系呢？5、無限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能設計一種比較這兩個集合中元素個數多少的方法嗎？2、常量與變量⑴、變量的定義：我們在觀測某一現象的過程時，經常會碰到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中尚有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。⑵、變量的表達：假如變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表達其變化范圍。在數軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點之間的線段上點的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號區(qū)間在數軸上的表達閉區(qū)間a≤x≤b[a，b]開區(qū)間a＜x＜b（a，b）半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）

以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，尚有無限區(qū)間：[a，+∞)：表達不小于a的實數的全體，也可記為：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表達小于b的實數的全體，也可記為：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表達全體實數，也可記為：-∞＜x＜+∞注：其中-∞和+∞，分別讀作"負無窮大"和"正無窮大",它們不是數,僅僅是記號。⑶、鄰域：設α與δ是兩個實數，且δ＞0.滿足不等式│x-α│＜δ的實數x的全體稱為點α的δ鄰域，點α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。2、函數⑴、函數的定義：假如當變量x在其變化范圍內任意取定一個數值時，量y按照一定的法則f總有擬定的數值與它相應，則稱y是x的函數。變量x的變化范圍叫做這個函數的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個函數的值域。注：為了表白y是x的函數，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表達。這里的字母"f"、"F"表達y與x之間的相應法則即函數關系,它們是可以任意采用不同的字母來表達的。假如自變量在定義域內任取一個擬定的值時，函數只有一個擬定的值和它相應，這種函數叫做單值函數，否則叫做多值函數。這里我們只討論單值函數。⑵、函數相等由函數的定義可知，一個函數的構成要素為：定義域、相應關系和值域。由于值域是由定義域和相應關系決定的，所以，假如兩個函數的定義域和相應關系完全一致，我們就稱兩個函數相等。⑶、域函數的表達方法a)：解析法：用數學式子表達自變量和因變量之間的相應關系的方法即是解析法。例：直角坐標系中，半徑為r、圓心在原點的圓的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：將一系列的自變量值與相應的函數值列成表來表達函數關系的方法即是表格法。例：在實際應用中，我們經常會用到的平方表，三角函數表等都是用表格法表達的函數。c)：圖示法：用坐標平面上曲線來表達函數的方法即是圖示法。一般用橫坐標表達自變量，縱坐標表達因變量。例：直角坐標系中，半徑為r、圓心在原點的圓用圖示法表達為：3、函數的簡樸性態(tài)⑴、函數的有界性：假如對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個與x無關的常數，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。注：一個函數，假如在其整個定義域內有界，則稱為有界函數例題：函數cosx在(-∞,+∞)內是有界的.⑵、函數的單調性：假如函數在區(qū)間(a,b)內隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內任意兩點x1及x2，當x1＜x2時，有，則稱函數在區(qū)間(a,b)內是單調增長的。假如函數在區(qū)間(a,b)內隨著x增大而減小，即：對于(a,b)內任意兩點x1及x2，當x1＜x2時，有，則稱函數在區(qū)間(a,b)內是單調減小的。例題：函數=x2在區(qū)間(-∞,0)上是單調減小的，在區(qū)間(0,+∞)上是單調增長的。⑶、函數的奇偶性假如函數對于定義域內的任意x都滿足=，則叫做偶函數；假如函數對于定義域內的任意x都滿足=-，則叫做奇函數。注：偶函數的圖形關于y軸對稱，奇函數的圖形關于原點對稱。⑷、函數的周期性對于函數，若存在一個不為零的數l，使得關系式對于定義域內任何x值都成立，則叫做周期函數，l是的周期。注：我們說的周期函數的周期是指最小正周期。例題：函數是以2π為周期的周期函數；函數tgx是以π為周期的周期函數。4、反函數⑴、反函數的定義：設有函數，若變量y在函數的值域內任取一值y0時，變量x在函數的定義域內必有一值x0與之相應，即，那末變量x是變量y的函數.這個函數用來表達，稱為函數的反函數.注：由此定義可知，函數也是函數的反函數。⑵、反函數的存在定理：若在(a，b)上嚴格增(減)，其值域為R，則它的反函數必然在R上擬定，且嚴格增(減).注：嚴格增(減)即是單調增(減)例題：y=x2，其定義域為(-∞,+∞)，值域為[0,+∞).對于y取定的非負值,可求得x=±.若我們不加條件，由y的值就不能唯一擬定x的值，也就是在區(qū)間(-∞,+∞)上，函數不是嚴格增(減)，故其沒有反函數。假如我們加上條件，規(guī)定x≥0，則對y≥0、x=就是y=x2在規(guī)定x≥0時的反函數。即是：函數在此規(guī)定下嚴格增(減).⑶、反函數的性質：在同一坐標平面內，與的圖形是關于直線y=x對稱的。例題：函數與函數互為反函數，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關于直線y=x對稱的。如右圖所示：5、復合函數復合函數的定義：若y是u的函數：，而u又是x的函數：，且的函數值的所有或部分在的定義域內，那末，y通過u的聯系也是x的函數，我們稱后一個函數是由函數及復合而成的函數，簡稱復合函數，記作，其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個函數就能復合；復合函數還可以由更多函數構成。例題：函數與函數是不能復合成一個函數的。由于對于的定義域(-∞,+∞)中的任何x值所相應的u值（都大于或等于2），使都沒有定義。6、初等函數⑴、基本初等函數：我們最常用的有五種基本初等函數，分別是：指數函數、對數函數、冪函數、三角函數及反三角函數。下面我們用表格來把它們總結一下：函數名稱函數的記號函數的圖形函數的性質指數函數

a):不管x為什么值,y總為正數;

b):當x=0時,y=1.對數函數

a):其圖形總位于y軸右側,并過(1,0)點

b):當a＞1時,在區(qū)間(0,1)的值為負；在區(qū)間(-,+∞)的值為正；在定義域內單調增.冪函數a為任意實數

這里只畫出部分函數圖形的一部分。

令a=m/n

a):當m為偶數n為奇數時,y是偶函數;

b):當m,n都是奇數時,y是奇函數;

c):當m奇n偶時,y在(-∞,0)無意義.三角函數(正弦函數)

這里只寫出了正弦函數

a):正弦函數是以2π為周期的周期函數

b):正弦函數是奇函數且反三角函數(反正弦函數)

這里只寫出了反正弦函數

a):由于此函數為多值函數,因此我們此函數值限制在[-π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數的主值.⑵、初等函數：由基本初等函數與常數通過有限次的有理運算及有限次的函數復合所產生并且能用一個解析式表出的函數稱為初等函數.例題：是初等函數。7、雙曲函數及反雙曲函數⑴、雙曲函數：在應用中我們經常碰到的雙曲函數是：(用表格來描述)函數的名稱函數的表達式函數的圖形函數的性質雙曲正弦a)：其定義域為:(-∞,+∞)；

b)：是奇函數；

c)：在定義域內是單調增雙曲余弦a)：其定義域為:(-∞,+∞)；

b)：是偶函數；

c)：其圖像過點(0,1)；雙曲正切a)：其定義域為:(-∞,+∞)；

b)：是奇函數；

c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內單調增；我們再來看一下雙曲函數與三角函數的區(qū)別：雙曲函數的性質三角函數的性質shx與thx是奇函數，chx是偶函數sinx與tanx是奇函數，cosx是偶函數它們都不是周期函數都是周期函數雙曲函數也有和差公式：⑵、反雙曲函數：雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數.a)：反雙曲正弦函數

其定義域為：(-∞,+∞)；b)：反雙曲余弦函數

其定義域為：[1,+∞)；c)：反雙曲正切函數

其定義域為：(-1,+1)；8、數列的極限我們先來回憶一下初等數學中學習的數列的概念。⑴、數列：若按照一定的法則，有第一個數a1，第二個數a2，…，依次排列下去，使得任何一個正整數n相應著一個擬定的數an，那末，我們稱這列有順序的數a1，a2，…，an，…為數列.數列中的每一個數叫做數列的項。第n項an叫做數列的一般項或通項.注：我們也可以把數列an看作自變量為正整數n的函數，即：an=，它的定義域是全體正整數⑵、極限：極限的概念是求實際問題的精確解答而產生的。例：我們可通過作圓的內接正多邊形，近似求出圓的面積。設有一圓，一方面作圓內接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去(一般把內接正6×2n-1邊形的面積記為An)可得一系列內接正多邊形的面積：A1，A2，A3，…，An，…，它們就構成一列有序數列。我們可以發(fā)現，當內接正多邊形的邊數無限增長時，An也無限接近某一擬定的數值(圓的面積)，這個擬定的數值在數學上被稱為數列A1，A2，A3，…，An，…當n→∞(讀作n趨近于無窮大)的極限。注：上面這個例子就是我國古代數學家劉徽(公元三世紀)的割圓術。⑶、數列的極限：一般地，對于數列來說，若存在任意給定的正數ε(不管其多么小)，總存在正整數N，使得對于n＞N時的一切不等式都成立，那末就稱常數a是數列的極限，或者稱數列收斂于a.記作：或注：此定義中的正數ε只有任意給定，不等式才干表達出與a無限接近的意思。且定義中的正整數N與任意給定的正數ε是有關的，它是隨著ε的給定而選定的。⑷、數列的極限的幾何解釋：在此我們也許不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解它。數列極限為a的一個幾何解釋：將常數a及數列在數軸上用它們的相應點表達出來，再在數軸上作點a的ε鄰域即開區(qū)間(a-ε，a+ε)，如下圖所示：

因不等式與不等式等價，故當n＞N時，所有的點都落在開區(qū)間(a-ε，a+ε)內，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。注：至于如何求數列的極限，我們在以后會學習到，這里我們不作討論。⑸、數列的有界性：對于數列，若存在著正數M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數列是有界的，若正數M不存在，則可說數列是無界的。定理：若數列收斂，那末數列一定有界。注：有界的數列不一定收斂，即：數列有界是數列收斂的必要條件，但不是充足條件。例：數列

1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…

是有界的，但它是發(fā)散的。9、函數的極限前面我們學習了數列的極限，已經知道數列可看作一類特殊的函數，即自變量取1→∞內的正整數，若自變量不再限于正整數的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數。下面我們來學習函數的極限.函數的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點x0，假如在這時，函數值無限接近于某一常數A，就叫做函數存在極值。我們已知道函數的極值的情況，那么函數的極限如何呢?下面我們結合著數列的極限來學習一下函數極限的概念!⑴、函數的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無窮大時函數的極限定義：設函數，若對于任意給定的正數ε(不管其多么小)，總存在著正數X，使得對于適合不等式的一切x，所相應的函數值都滿足不等式

那末常數A就叫做函數當x→∞時的極限，記作：下面我們用表格把函數的極限與數列的極限對比一下：數列的極限的定義函數的極限的定義存在數列與常數A，任給一正數ε＞0，總可找到一正整數N，對于n＞N的所有都滿足＜ε則稱數列，當x→∞時收斂于A記：。存在函數與常數A，任給一正數ε＞0，總可找到一正數X，對于適合的一切x，都滿足，函數當x→∞時的極限為A，記：。從上表我們發(fā)現了什么？？試思考之b):自變量趨向有限值時函數的極限。我們先來看一個例子.例：函數，當x→1時函數值的變化趨勢如何？函數在x=1處無定義.我們知道對實數來講，在數軸上任何一個有限的范圍內，都有無窮多個點，為此我們把x→1時函數值的變化趨勢用表列出,如下圖:從中我們可以看出x→1時，→2.并且只要x與1有多接近，就與2有多接近.或說：只要與2只差一個微量ε，就一定可以找到一個δ，當＜δ時滿足＜δ定義：設函數在某點x0的某個去心鄰域內有定義，且存在數A，假如對任意給定的ε(不管其多么小)，總存在正數δ，當0＜＜δ時，＜ε則稱函數當x→x0時存在極限，且極限為A，記：。注：在定義中為什么是在去心鄰域內呢？這是由于我們只討論x→x0的過程，與x=x0出的情況無關。此定義的核心問題是：對給出的ε，是否存在正數δ，使其在去心鄰域內的x均滿足不等式。有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數的極限為A，其證明方法是如何的呢？

a):先任取ε＞0；

b):寫出不等式＜ε；

c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能；

d):則對于任給的ε＞0，總能找出δ，當0＜＜δ時，＜ε成立，因此10、函數極限的運算規(guī)則前面已經學習了數列極限的運算規(guī)則，我們知道數列可作為一類特殊的函數，故函數極限的運算規(guī)則與數列極限的運算規(guī)則相似。⑴、函數極限的運算規(guī)則

若已知x→x0(或x→∞)時，.則：

推論：

在求函數的極限時，運用上述規(guī)則就可把一個復雜的函數化為若干個簡樸的函數來求極限。例題：求解答：例題：求此題假如像上題那樣求解，則會發(fā)現此函數的極限不存在.我們通過觀測可以發(fā)現此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現：當分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應先把分式的分子分母轉化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。函數極限的存在準則學習函數極限的存在準則之前，我們先來學習一下左、右的概念。我們先來看一個例子：例：符號函數為對于這個分段函數,x從左趨于0和從右趨于0時函數極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。定義：假如x僅從左側(x＜x0)趨近x0時，函數與常量A無限接近，則稱A為函數當時的左極限.記：假如x僅從右側(x＞x0)趨近x0時，函數與常量A無限接近，則稱A為函數當時的右極限.記：注：只有當x→x0時，函數的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時有極限函數極限的存在準則

準則一：對于點x0的某一鄰域內的一切x，x0點自身可以除外(或絕對值大于某一正數的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A注：此準則也就是夾逼準則.準則二：單調有界的函數必有極限.注：有極限的函數不一定單調有界兩個重要的極限

一：注：其中e為無理數，它的值為：e=2.7045...二：注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個重要極限，在此后的解題中會經常用到它們.例題：求解答：令，則x=-2t，由于x→∞，故t→∞，則注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時，若用t代換1/x，則t→0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個例子：已知函數，當x→0時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設有函數y=，在x=x0的去心鄰域內有定義，對于任意給定的正數N(一個任意大的數)，總可找到正數δ，當時，成立，則稱函數當時為無窮大量。記為：（表達為無窮大量，實際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當x→∞時，無限趨大的定義：設有函數y=，當x充足大時有定義，對于任意給定的正數N(一個任意大的數)，總可以找到正數M，當時，成立，則稱函數當x→∞時是無窮大量，記為：無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設有函數，對于任意給定的正數ε(不管它多么小)，總存在正數δ(或正數M)，使得對于適合不等式(或)的一切x，所相應的函數值滿足不等式，則稱函數當(或x→∞)時為無窮小量.記作：(或)注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數關系的.關于無窮小量的兩個定理定理一：假如函數在(或x→∞)時有極限A，則差是當(或x→∞)時的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量的有利運算定理a)：有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學習我們已經知道，兩個無窮小量的和、差及乘積依舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會是如何的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學的兩個無窮小量的比較。定義：設α，β都是時的無窮小量，且β在x0的去心領域內不為零，a)：假如，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮??；b)：假如，則稱α和β是同階無窮小；c)：假如，則稱α和β是等價無窮小，記作：α∽β(α與β等價)例：由于，所以當x→0時，x與3x是同階無窮小；由于，所以當x→0時，x2是3x的高階無窮?。挥捎?，所以當x→0時，sinx與x是等價無窮小。等價無窮小的性質設，且存在，則.注：這個性質表白：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以運用這個性質來簡化求極限問題。例題：1.求

解答：當x→0時，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：例題：2.求解答：注：注：從這個例題中我們可以發(fā)現，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。函數的一重要性質——連續(xù)性在自然界中有許多現象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現象在函數關系上的反映，就是函數的連續(xù)性在定義函數的連續(xù)性之前我們先來學習一個概念——增量設變量x從它的一個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2-x1增量△x可正可負.我們再來看一個例子：函數在點x0的鄰域內有定義，當自變量x在領域內從x0變到x0+△x時，函數y相應地從變到，其相應的增量為：這個關系式的幾何解釋如下圖：現在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：假如當△x趨向于零時，函數y相應的增量△y也趨向于零，即：，那末就稱函數在點x0處連續(xù)。函數連續(xù)性的定義：設函數在點x0的某個鄰域內有定義，假如有稱函數在點x0處連續(xù)，且稱x0為函數的的連續(xù)點.下面我們結合著函數左、右極限的概念再來學習一下函數左、右連續(xù)的概念：設函數在區(qū)間(a,b]內有定義，假如左極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數在點b左連續(xù).設函數在區(qū)間[a,b)內有定義，假如右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數在點a右連續(xù).一個函數在開區(qū)間(a,b)內每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，假如在整個定義域內連續(xù)，則稱為連續(xù)函數。注：一個函數若在定義域內某一點左、右都連續(xù)，則稱函數在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù).注：連續(xù)函數圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學習我們已經知道函數的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數在某一點要是不連續(xù)會出現什么情形呢？接著我們就來學習這個問題：函數的間斷點函數的間斷點定義：我們把不滿足函數連續(xù)性的點稱之為間斷點.

它涉及三種情形：a)：在x0無定義；b)：在x→x0時無極限；c)：在x→x0時有極限但不等于；下面我們通過例題來學習一下間斷點的類型：例1：正切函數在處沒有定義，所以點是函數的間斷點，因，我們就稱為函數的無窮間斷點；例2：函數在點x=0處沒有定義；故當x→0時，函數值在-1與+1之間變動無限多次，我們就稱點x=0叫做函數的振蕩間斷點；

例3：函數當x→0時，左極限，右極限，從這我們可以看出函數左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數在點x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現在點x=0時，函數值產生跳躍現象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表達出來如下:間斷點的分類我們通常把間斷點提成兩類：假如x0是函數的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.可去間斷點若x0是函數的間斷點，但極限存在，那末x0是函數的第一類間斷點。此時函數不連續(xù)因素是：不存在或者是存在但≠。我們令，則可使函數在點x0處連續(xù)，故這種間斷點x0稱為可去間斷點。連續(xù)函數的性質及初等函數的連續(xù)性連續(xù)函數的性質函數的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數在某點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結論：a)：有限個在某點連續(xù)的函數的和是一個在該點連續(xù)的函數；b)：有限個在某點連續(xù)的函數的乘積是一個在該點連續(xù)的函數；c)：兩個在某點連續(xù)的函數的商是一個在該點連續(xù)的函數(分母在該點不為零)；反函數的連續(xù)性若函數在某區(qū)間上單調增(或單調減)且連續(xù)，那末它的反函數也在相應的區(qū)間上單調增(單調減)且連續(xù)例：函數在閉區(qū)間上單調增且連續(xù)，故它的反函數在閉區(qū)間[-1,1]上也是單調增且連續(xù)的。復合函數的連續(xù)性設函數當x→x0時的極限存在且等于a，即：.而函數在點u=a連續(xù)，那末復合函數當x→x0時的極限也存在且等于.即：例題：求解答：注：函數可看作與復合而成，且函數在點u=e連續(xù)，因此可得出上述結論。設函數在點x=x0連續(xù)，且，而函數在點u=u0連續(xù)，那末復合函數在點x=x0也是連續(xù)的初等函數的連續(xù)性通過前面我們所學的概念和性質，我們可得出以下結論：基本初等函數在它們的定義域內都是連續(xù)的；一切初等函數在其定義域內也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上的連續(xù)函數則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數有幾條重要的性質，下面我們來學習一下：

最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定有最大值和最小值。(在此不作證明)

例：函數y=sinx在閉區(qū)間[0，2π]上連續(xù)，則在點x=π/2處，它的函數值為1，且大于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點出的函數值；則在點x=3π/2處，它的函數值為-1，且小于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點出的函數值。介值定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定取得介于區(qū)間兩端點的函數值間的任何值。即：，μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個ξ，使

推論：

在閉區(qū)間連續(xù)的函數必取得介于最大值最小值之間的任何值。二、導數與微分導數的概念在學習到數的概念之前，我們先來討論一下物理學中變速直線運動的瞬時速度的問題。例：設一質點沿x軸運動時，其位置x是時間t的函數，，求質點在t0的瞬時速度？我們知道時間從t0有增量△t時，質點的位置有增量，這就是質點在時間段△t的位移。因此，在此段時間內質點的平均速度為：.若質點是勻速運動的則這就是在t0的瞬時速度，若質點是非勻速直線運動，則這還不是質點在t0時的瞬時速度。我們認為當時間段△t無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質點t0時的瞬時速度，即：質點在t0時的瞬時速度=為此就產生了導數的定義，如下：導數的定義：設函數在點x0的某一鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內)時，相應地函數有增量，若△y與△x之比當△x→0時極限存在，則稱這個極限值為在x0處的導數。記為：還可記為：，函數在點x0處存在導數簡稱函數在點x0處可導，否則不可導。若函數在區(qū)間(a,b)內每一點都可導，就稱函數在區(qū)間(a,b)內可導。這時函數對于區(qū)間(a,b)內的每一個擬定的x值，都相應著一個擬定的導數，這就構成一個新的函數，我們就稱這個函數為本來函數的導函數。

注：導數也就是差商的極限左、右導數前面我們有了左、右極限的概念，導數是差商的極限，因此我們可以給出左、右導數的概念。若極限存在，我們就稱它為函數在x=x0處的左導數。若極限存在，我們就稱它為函數在x=x0處的右導數。注：函數在x0處的左右導數存在且相等是函數在x0處的可導的充足必要條件函數的和、差求導法則函數的和差求導法則

法則：兩個可導函數的和(差)的導數等于這兩個函數的導數的和(差).用公式可寫為：。其中u、v為可導函數。例題：已知，求解答：例題：已知，求解答：函數的積商求導法則常數與函數的積的求導法則法則：在求一個常數與一個可導函數的乘積的導數時，常數因子可以提到求導記號外面去。用公式可寫成：例題：已知，求解答：函數的積的求導法則法則：兩個可導函數乘積的導數等于第一個因子的導數乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導數。用公式可寫成：例題：已知，求解答：注：若是三個函數相乘，則先把其中的兩個當作一項。函數的商的求導法則法則：兩個可導函數之商的導數等于分子的導數與分母導數乘積減去分母導數與分子導數的乘積，在除以分母導數的平方。用公式可寫成：例題：已知，求解答：復合函數的求導法則在學習此法則之前我們先來看一個例子!例題：求=?解答：由于，故

這個解答對的嗎?這個解答是錯誤的，對的的解答應當如下：我們發(fā)生錯誤的因素是是對自變量x求導，而不是對2x求導。下面我們給出復合函數的求導法則復合函數的求導規(guī)則規(guī)則：兩個可導函數復合而成的復合函數的導數等于函數對中間變量的導數乘上中間變量對自變量的導數。用公式表達為：，其中u為中間變量例題：已知，求解答：設,則可分解為,因此注：在以后解題中，我們可以中間環(huán)節(jié)省去。例題：已知，求

解答：反函數求導法則根據反函數的定義，函數為單調連續(xù)函數，則它的反函數,它也是單調連續(xù)的.為此我們可給出反函數的求導法則，如下(我們以定理的形式給出)：定理：若是單調連續(xù)的，且，則它的反函數在點x可導，且有：注：通過此定理我們可以發(fā)現：反函數的導數等于原函數導數的倒數。注：這里的反函數是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。即：是對y求導，是對x求導例題：求的導數.解答：此函數的反函數為，故則：例題：求的導數.解答：此函數的反函數為，故則：高階導數我們知道，在物理學上變速直線運動的速度v(t)是位置函數s(t)對時間t的導數，即：，而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導數：，或。這種導數的導數叫做s對t的二階導數。下面我們給出它的數學定義：定義：函數的導數仍然是x的函數.我們把的導數叫做函數的二階導數，記作或，即：或.相應地，把的導數叫做函數的一階導數.類似地，二階導數的導數，叫做三階導數，三階導數的導數，叫做四階導數，…，一般地(n-1)階導數的導數叫做n階導數.分別記作：，，…，或，，…，二階及二階以上的導數統稱高階導數。由此可見，求高階導數就是多次接連地求導，所以，在求高階導數時可運用前面所學的求導方法。例題：已知，求

解答：由于=a，故=0例題：求對數函數的n階導數。解答：，，，，一般地，可得隱函數及其求導法則我們知道用解析法表達函數，可以有不同的形式.若函數y可以用含自變量x的算式表達，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數叫顯函數.前面我們所碰到的函數大多都是顯函數.一般地，假如方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內任取一值時，相應地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上擬定了x的隱函數y.把一個隱函數化成顯函數的形式，叫做隱函數的顯化。注：有些隱函數并不是很容易化為顯函數的，那么在求其導數時該如何呢？下面讓我們來解決這個問題！隱函數的求導若已知F(x,y)=0，求時，一般按下列環(huán)節(jié)進行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學的方法進行求導；b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對x進行求導，并把y當作x的函數，用復合函數求導法則進行。例題：已知，求解答：此方程不易顯化，故運用隱函數求導法.兩邊對x進行求導，，，故=

注：我們對隱函數兩邊對x進行求導時，一定要把變量y當作x的函數，然后對其運用復合函數求導法則進行求導。例題：求隱函數，在x=0處的導數解答：兩邊對x求導，故，當x=0時，y=0.故。有些函數在求導數時，若對其直接求導有時很不方便，像對某些冪函數進行求導時，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們再來學習一種求導的方法：對數求導法對數求導法對數求導的法則：根據隱函數求導的方法，對某一函數先取函數的自然對數，然后在求導。注：此方法特別合用于冪函數的求導問題。例題：已知x＞0，求此題若對其直接求導比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數，然后再把它當作隱函數進行求導，就比較簡便些。如下解答：先兩邊取對數：，把其當作隱函數，再兩邊求導由于，所以例題：已知，求此題可用復合函數求導法則進行求導，但是比較麻煩，下面我們運用對數求導法進行求導解答：先兩邊取對數再兩邊求導由于，所以函數的微分學習函數的微分之前，我們先來分析一個具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時，其邊長由x0變到了x0+△x，則此薄片的面積改變了多少？解答：設此薄片的邊長為x，面積為A，則A是x的函數：薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以當作是當自變量x從x0取的增量△x時，函數A相應的增量△A，即：。從上式我們可以看出，△A提成兩部分，第一部分是△x的線性函數，即下圖中紅色部分；第二部分即圖中的黑色部分，當△x→0時，它是△x的高階無窮小，表達為：由此我們可以發(fā)現，假如邊長變化的很小時，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們給出微分的數學定義：函數微分的定義：設函數在某區(qū)間內有定義，x0及x0+△x在這區(qū)間內，若函數的增量可表達為，其中A是不依賴于△x的常數，是△x的高階無窮小，則稱函數在點x0可微的。叫做函數在點x0相應于自變量增量△x的微分，記作dy，即：=。通過上面的學習我們知道：微分是自變量改變量△x的線性函數，dy與△y的差是關于△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。于是我們又得出：當△x→0時，△y≈dy.導數的記號為：，現在我們可以發(fā)現，它不僅表達導數的記號，并且還可以表達兩個微分的比值(把△x當作dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表達為：由此我們得出：若函數在某區(qū)間上可導，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。微分形式不變性

什么是微分形式不邊形呢？

設，則復合函數的微分為：

，

由于，故我們可以把復合函數的微分寫成

由此可見，不管u是自變量還是中間變量，的微分dy總可以用與du的乘積來表達，

我們把這一性質稱為微分形式不變性。

例題：已知，求dy

解答：把2x+1當作中間變量u，根據微分形式不變性，則

通過上面的學習，我們知道微分與導數有著不可分割的聯系，前面我們知道基本初等函數的導數公式和導數

的運算法則，那么基本初等函數的微分公式和微分運算法則是如何的呢？

下面我們來學習———基本初等函數的微分公式與微分的運算法則基本初等函數的微分公式與微分的運算法則基本初等函數的微分公式

由于函數微分的表達式為：，于是我們通過基本初等函數導數的公式可得出基本初等函數微分的公式，下面我們用表格來把基本初等函數的導數公式與微分公式對比一下：(部分公式)導數公式微分公式微分運算法則

由函數和、差、積、商的求導法則，可推出相應的微分法則.為了便于理解，下面我們用表格來把微分的運算法則與導數的運算法則對照一下：函數和、差、積、商的求導法則函數和、差、積、商的微分法則

復合函數的微分法則就是前面我們學到的微分形式不變性，在此不再詳述。

例題：設，求對x3的導數

解答：根據微分形式的不變性

微分的應用

微分是表達函數增量的線性主部.計算函數的增量，有時比較困難，但計算微分則比較簡樸，為此我們用函數的微分來近似的代替函數的增量，這就是微分在近似計算中的應用.

例題：求的近似值。

解答：我們發(fā)現用計算的方法特別麻煩，為此把轉化為求微分的問題

故其近似值為1.025(精確值為1.024695)三、導數的應用微分學中值定理

在給出微分學中值定理的數學定義之前，我們先從幾何的角度看一個問題，如下：

設有連續(xù)函數，a與b是它定義區(qū)間內的兩點(a＜b)，假定此函數在(a,b)處處可導，也就是在(a,b)內的函數圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，

差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動，那么至少有一次機會達成離割線最遠的一點P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為，由于切線與割線是平行的，因此

成立。

注：這個結果就稱為微分學中值定理，也稱為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理

假如函數在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，那末在(a,b)內至少有一點c，使

成立。

這個定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下：

若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且，那末在(a,b)內至少有一點c，使成立。

注：這個定理是羅爾在17世紀初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。

注：在此我們對這兩個定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關書籍

下面我們在學習一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理——柯西中值定理

柯西中值定理

假如函數，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，且≠0，那末在(a，b)內至少有一點c，使成立。

例題：證明方程在0與1之間至少有一個實根

證明：不難發(fā)現方程左端是函數的導數：

函數在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內可導，且，由羅爾定理

可知，在0與1之間至少有一點c，使，即

也就是：方程在0與1之間至少有一個實根未定式問題

問題：什么樣的式子稱作未定式呢？

答案：對于函數,來說，當x→a(或x→∞)時，函數,都趨于零或無窮大

則極限也許存在，也也許不存在，我們就把式子稱為未定式。分別記為型

我們容易知道，對于未定式的極限求法，是不能應用"商的極限等于極限的商"這個法則來求解的，那么我們該如何求這類問題的極限呢？

下面我們來學習羅彼塔(L'Hospital)法則，它就是這個問題的答案

注：它是根據柯西中值定理推出來的。羅彼塔(L'Hospital)法則

當x→a(或x→∞)時，函數,都趨于零或無窮大，在點a的某個去心鄰域內(或當│x│＞N)時，與都存在，≠0，且存在

則：=

這種通過度子分母求導再來求極限來擬定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則

注：它是以前求極限的法則的補充，以前運用法則不好求的極限，可運用此法則求解。

例題：求

解答：容易看出此題運用以前所學的法則是不易求解的，由于它是未定式中的型求解問題，因此我們就可以運用上面所學的法則了。

例題：求

解答：此題為未定式中的型求解問題，運用羅彼塔法則來求解

此外，若碰到、、、、等型，通常是轉化為型后，在運用法則求解。

例題：求

解答：此題運用以前所學的法則是不好求解的，它為型，故可先將其轉化為型后在求解，

注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當存在，則存在且兩者的極限相同；而并不是不存在時，也不存在，此時只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。函數單調性的鑒定法

函數的單調性也就是函數的增減性，如何才干判斷函數的增減性呢？

我們知道若函數在某區(qū)間上單調增(或減)，則在此區(qū)間內函數圖形上切線的斜率均為正(或負),也就是函數的導數在此區(qū)間上均取正值(或負值).因此我們可通過鑒定函數導數的正負來鑒定函數的增減性.鑒定方法：

設函數在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內可導.

a)：假如在(a,b)內＞0，那末函數在[a,b]上單調增長；

b)：假如在(a,b)內＜0，那末函數在[a,b]上單調減少.

例題：擬定函數的增減區(qū)間.

解答：容易擬定此函數的定義域為(－∞,＋∞)

其導數為：，因此可以判出：

當x＞0時，＞0，故它的單調增區(qū)間為(0,＋∞)；

當x＜0時，＜0，故它的單調減區(qū)間為(-∞,0)；

注：此鑒定方法若反過來講，則是不對的的。函數的極值及其求法

在學習函數的極值之前，我們先來看一例子：

設有函數，容易知道點x=1及x=2是此函數單調區(qū)間的分界點，又可知在點x=1左側附近，函數值是單調增長的，在點x=1右側附近，函數值是單調減小的.因此存在著點x=1的一個鄰域,對于這個鄰域內,任何點x(x=1除外)，＜均成立，點x=2也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點有這些性質呢？

事實上，這就是我們將要學習的內容——函數的極值，函數極值的定義

設函數在區(qū)間(a,b)內有定義，x0是(a,b)內一點.

若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內任何點x(x0點除外)，＜均成立，

則說是函數的一個極大值；

若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內任何點x(x0點除外)，＞均成立，

則說是函數的一個極小值.

函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，使函數取得極值的點稱為極值點。

我們知道了函數極值的定義了，如何求函數的極值呢？

學習這個問題之前，我們再來學習一個概念——駐點

凡是使的x點，稱為函數的駐點。

判斷極值點存在的方法有兩種：如下方法一：

設函數在x0點的鄰域可導，且.

情況一：若當x取x0左側鄰近值時，＞0，當x取x0右側鄰近值時，＜0，

則函數在x0點取極大值。

情況一：若當x取x0左側鄰近值時，＜0，當x取x0右側鄰近值時，＞0，

則函數在x0點取極小值。

注：此鑒定方法也合用于導數在x0點不存在的情況。

用方法一求極值的一般環(huán)節(jié)是：

a)：求；

b)：求的所有的解——駐點；

c)：判斷在駐點兩側的變化規(guī)律，即可判斷出函數的極值。

例題：求極值點

解答：先求導數

再求出駐點：當時，x=-2、1、-4/5

鑒定函數的極值，如下圖所示

方法二：

設函數在x0點具有二階導數，且時.

則：a)：當＜0，函數在x0點取極大值；

b)：當＞0，函數在x0點取極小值；

c)：當=0，其情形不一定，可由方法一來鑒定.

例題：我們仍以例1為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。

解答：上面我們已求出了此函數的駐點，下面我們再來求它的二階導數。

，故此時的情形不擬定，我們可由方法一來鑒定；

＜0，故此點為極大值點；

＞0，故此點為極小值點。函數的最大值、最小值及其應用

在工農業(yè)生產、工程技術及科學實驗中，常會碰到這樣一類問題：在一定條件下，如何使"產品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。

這類問題在數學上可歸結為求某一函數的最大值、最小值的問題。

如何求函數的最大值、最小值呢？前面我們已經知道了，函數的極值是局部的。規(guī)定在[a,b]上的最大值、最小值時，可求出開區(qū)間(a,b)內所有的極值點，加上端點的值，從中取得最大值、最小值即為所求。

例題：求函數，在區(qū)間[-3，3/2]的最大值、最小值。

解答：在此區(qū)間處處可導，

先來求函數的極值，故x=±1，

再來比較端點與極值點的函數值，取出最大值與最小值即為所求。

由于，，，

故函數的最大值為，函數的最小值為。

例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應如何配，使同樣容積下材料最??？

解答：由題意可知：為一常數，

面積

故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。

故：時，用料最省。曲線的凹向與拐點

通過前面的學習，我們知道由一階導數的正負，可以鑒定出函數的單調區(qū)間與極值，但是還不能進一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。

定義：

對區(qū)間I的曲線作切線，假如曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I下凹，假如曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。曲線凹向的鑒定定理

定理一：設函數在區(qū)間(a,b)上可導，它相應曲線是向上凹(或向下凹)的充足必要條件是：

導數在區(qū)間(a,b)上是單調增(或單調減)。

定理二：設函數在區(qū)間(a,b)上可導，并且具有一階導數和二階導數；那末：

若在(a,b)內，＞0，則在[a,b]相應的曲線是下凹的；

若在(a,b)內，＜0，則在[a,b]相應的曲線是上凹的；

例題：判斷函數的凹向

解答：我們根據定理二來鑒定。

由于，所以在函數的定義域(0,+∞)內，＜0，

故函數所相應的曲線時下凹的。拐點的定義

連續(xù)函數上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點。拐定的鑒定方法

假如在區(qū)間(a,b)內具有二階導數，我們可按下列環(huán)節(jié)來鑒定的拐點。

(1)：求；

(2)：令=0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內實根；

(3)：對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查在x0左、右兩側鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點。

例題：求曲線的拐點。

解答：由，

令=0，得x=0，2/3

判斷在0，2/3左、右兩側鄰近的符號，可知此兩點皆是曲線的拐點。四、不定積分不定積分的概念原函數的概念

已知函數f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數，假如存在函數F(x)，使得在該區(qū)間內的任一點都有

dF'(x)=f(x)dx，

則在該區(qū)間內就稱函數F(x)為函數f(x)的原函數。

例：sinx是cosx的原函數。

關于原函數的問題

函數f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數一定存在呢？這個問題我們以后來解決。若其存在原函數，那末原函數一共有多少個呢？

我們可以明顯的看出來：若函數F(x)為函數f(x)的原函數，

即：F"(x)=f(x)，

則函數族F(x)+C(C為任一個常數）中的任一個函數一定是f(x)的原函數，

故：若函數f(x)有原函數，那末其原函數為無窮多個.

不定積分的概念

函數f(x)的全體原函數叫做函數f(x)的不定積分，

記作。

由上面的定義我們可以知道：假如函數F(x)為函數f(x)的一個原函數，那末f(x)的不定積分就是函數族

F(x)+C.

即:=F(x)+C

例題：求：.

解答：由于，故=

不定積分的性質

1、函數的和的不定積分等于各個函數的不定積分的和；

即：

2、求不定積分時，被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號外面來，

即：求不定積分的方法換元法

換元法（一）：設f(u)具有原函數F(u)，u=g(x)可導，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數.

即有換元公式:

例題：求

解答：這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們要運用換元法。

設u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：

換元法（二）：設x=g(t)是單調的，可導的函數，并且g'(t)≠0，又設f[g(t)]g'(t)具有原函數φ(t)，

則φ[g(x)]是f(x)的原函數.(其中g(x)是x=g(t)的反函數）

即有換元公式:

例題：求

解答：這個積分的困難在于有根式，但是我們可以運用三角公式來換元.

設x=asint(-π/2<t<π/2)，那末，dx=acostdt,于是有：

關于換元法的問題

不定積分的換元法是在復合函數求導法則的基礎上得來的，我們應根據具體實例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導那樣有規(guī)則可依，因此要想純熟的求出某函數的不定積分，只有作大量的練習。

分部積分法

這種方法是運用兩個函數乘積的求導法則得來的。

設函數u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導數.我們知道，兩個函數乘積的求導公式為：

(uv)'=u'v+uv'，移項，得

uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得：

，

這就是分部積分公式

例題：求

解答：這個積分用換元法不易得出結果，我們來運用分部積分法。

設u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得：

關于分部積分法的問題

在使用分部積分法時，應恰當的選取u和dv，否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點：

(1)v要容易求得；

(2)容易積出。幾種特殊類型函數的積分舉例有理函數的積分舉例

有理函數是指兩個多項式的商所表達的函數，當分子的最高項的次數大于分母最高項的次數時稱之為假分式，

反之為真分式。

在求有理函數的不定積分時，若有理函數為假分式應先運用多項式的除法，把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式，然后再求之。

例題：求

解答：

關于有理函數積分的問題

有理函數積分的具體方法請大家參照有關書籍，請諒。

三角函數的有理式的積分舉例

三角函數的有理式是指由三角函數和常數通過有限次四則運算所構成的函數。

例題：求

解答：

關于三角函數的有理式的積分的問題

任何三角函數都可用正弦與余弦函數表出，故變量代換u=tan(x/2)對三角函數的有理式的積分應用，在此我

們不再舉例。

簡樸無理函數的積分舉例

例題：求

解答：設，于是x=u2+1，dx=2udu，從而所求積分為：

五、定積分及其應用定積分的概念

我們先來看一個實際問題———求曲邊梯形的面積。

設曲邊梯形是有連續(xù)曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成。如下圖所示：

現在計算它的面積A.我們知道矩形面積的求法，但是此圖形有一邊是一條曲線，該如何求呢？

我們知道曲邊梯形在底邊上各點處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上變動，并且它的高是連續(xù)變化的，因此在很小的一段區(qū)間的變化很小，近似于不變，并且當區(qū)間的長度無限縮小時，高的變化也無限減小。因此，假如把區(qū)間[a,b]提成許多社區(qū)間，在每個社區(qū)間上，用其中某一點的高來近似代替同一個社區(qū)間上的窄曲變梯形的變高，我們再根據矩形的面積公式，即可求出相應窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個曲邊梯形的近似值。

顯然：把區(qū)間[a,b]分的越細，所求出的面積值越接近于精確值。為此我們產生了定積分的概念。

定積分的概念

設函數f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點

a=x0<x1<...<xn-1<xn=b

把區(qū)間[a,b]提成n個社區(qū)間

[x0，x1]，...[xn-1,xn],

在每個社區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函數值f(ξi)與社區(qū)間長度的乘積f(ξi)△xi，

并作出和，

假如不管對[a,b]如何分法，也不管在社區(qū)間上的點ξi如何取法，只要當區(qū)間的長度趨于零時，和S總趨于擬定的極限I，

這時我們稱這個極限I為函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，

記作。

即：

關于定積分的問題

我們有了定積分的概念了，那么函數f(x)滿足什么條件時才可積？

定理（1）：設f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

（2）：設f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

定積分的性質

性質(1)：函數的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）.

即：

性質(2)：被積函數的常數因子可以提到積分號外面.

即：

性質(3)：假如在區(qū)間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則≤

（a<b)

性質(4)：設M及m分別是函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則m(b-a)≤≤M(b-a)

性質(5)：假如f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點ξ，使下式成立：

=f(ξ)(b-a)

注：此性質就是定積分中值定理。微積分積分公式積分上限的函數及其導數

設函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且設x為[a,b]上的一點.現在我們來考察f(x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分,我們知道f(x)在[a,x]上依舊連續(xù)，因此此定積分存在。

假如上限x在區(qū)間[a,b]上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個相應值，所以它在[a,b]上定義了一個函數，記作φ(x):

注意：為了明確起見，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無關）

定理(1)：假如函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數在[a,b]上具有導數，

并且它的導數是

（a≤x≤b)

(2)：假如函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數就是f(x)在[a,b]上的一個原函數。

注意：定理（2）即肯定了連續(xù)函數的原函數是存在的，又初步揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系。牛頓--萊布尼茲公式

定理(3)：假如函數F(x)是連續(xù)函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數，則

注意：此公式被稱為牛頓-萊布尼茲公式，它進一步揭示了定積分與原函數(不定積分）之間的聯系。

它表白：一個連續(xù)函數在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任一個原函數再去見[a,b]上的增量。因此它就

給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法。

例題：求

解答：我們由牛頓-萊布尼茲公式得：

注意：通常也把牛頓--萊布尼茲公式稱作微積分基本公式。定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法

我們知道求定積分可以轉化為求原函數的增量，在前面我們又知道用換元法可以求出一些函數的原函數。因此，在一定條件下，可以用換元法來計算定積分。

定理：設函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數g(t)在區(qū)間[m,n]上是單值的且有連續(xù)導數；當t在區(qū)間[m,n]上變化時，x=g(t)的值在[a,b]上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分的換元公式:

例題:計算

解答:設x=asint,則dx=acostdt,且當x=0時，t=0；當x=a時，t=π/2.于是：

注意：在使用定積分的換元法時，當積分變量變換時，積分的上下限也要作相應的變換。

定積分的分部積分法

計算不定積分有分部積分法，相應地，計算定積分也有分部積分法。

設u(x)、v(x)在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導數u'(x)、v'(x)，則有(uv)'=u'v+uv',分別求此等式兩端在[a,b]上的定積分，并移向得：

上式即為定積分的分部積分公式。

例題：計算

解答：設，且當x=0時，t=0；當x=1時，t=1.由前面的換元公式得：

再用分部積分公式計算上式的右端的積分。設u=t,dv=etdt,則du=dt,v=et.于是：

故：廣義積分

在一些實際問題中，我們常碰到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數在積分區(qū)間上具有無窮間斷點的積分，它們已不屬于前面我們所學習的定積分了。為此我們對定積分加以推廣，也就是———廣義積分。

一：積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分

設函數f(x)在區(qū)間[a,+∞)上連續(xù)，取b>a.假如極限

存在，

則此極限叫做函數f(x)在無窮區(qū)間[a,+∞）上的廣義積分，

記作：，

即：=.

此時也就是說廣義積分收斂。假如上述即先不存在，則說廣義積分發(fā)散，此時雖然用同樣的記號，但它已不表達數值了。

類似地，設函數f(x)在區(qū)間(-∞，b]上連續(xù)，取a<b.假如極限

存在，

則此極限叫做函數f(x)在無窮區(qū)間(-∞，b]上的廣義積分，

記作：，

即：=.

此時也就是說廣義積分收斂。假如上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。

假如廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數f(x)在無窮區(qū)間(-∞,+∞)上的廣義積分，

記作：，

即：=

上述廣義積分統稱積分區(qū)間為無窮的廣義積分。

例題：計算廣義積分

解答：二：積分區(qū)間有無窮間斷點的廣義積分

設函數f(x)在(a,b]上連續(xù)，而.取ε>0，假如極限

存在，則極限叫做函數f(x)在(a,b]上的廣義積分，

仍然記作：.

即：=，

這時也說廣義積分收斂.假如上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。

類似地，設f(x)在[a,b)上連續(xù)，而.取ε>0，假如極限

存在，

則定義=；

否則就說廣義積分發(fā)散。

又，設f(x)在[a,b]上除點c(a<c<b)外連續(xù)，而.假如兩個廣義積分和都收斂，

則定義：=+.

否則就說廣義積分發(fā)散。

例題：計算廣義積分(a>0)

解答：由于，所以x=a為被積函數的無窮間斷點，于是我們有上面所學得公式可得：

六、空間解析幾何空間直角坐標系空間點的直角坐標系

為了溝通空間圖形與數的研究，我們需要建立空間的點與有序數組之間的聯系，為此我們通過引進空間直角坐標系來實現。

過定點O，作三條互相垂直的數軸，它們都以O為原點且一般具有相同的長度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統稱坐標軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以π/2角度轉向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點O叫做坐標原點。（如下圖所示）

三條坐標軸中的任意兩條可以擬定一個平面，這樣定出的三個平面統稱坐標面。

取定了空間直角坐標系后，就可以建立起空間的點與有序數組之間的相應關系。

例：設點M為空間一已知點.我們過點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點依次為P、Q、R，這三點在x軸、y軸、z軸的坐標依次為x、y、z.于是空間的一點M就唯一的擬定了一個有序數組x,y,z.這組數x,y,z就叫做點M的坐標，并依次稱x,y和z為點M的橫坐標，縱坐標和豎坐標。(如下圖所示）

坐標為x,y,z的點M通常記為M(x,y,z).

這樣，通過空間直角坐標系，我們就建立了空間的點M和有序數組x,y,z之間的一一相應關系。

注意：坐標面上和坐標軸上的點，其坐標各有一定的特性.

例：假如點M在yOz平面上，則x=0；同樣，zOx面上的點，y=0；假如點M在x軸上，則y=z=0；假如M是原點，

則x=y=z=0，等。

空間兩點間的距離

設M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點，為了用兩點的坐標來表達它們間的距離d我們有公式：

例題：證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點的三角形△ABC是一等腰三角形.

解答：由兩點間距離公式得：

由于，所以△ABC是一等腰三角形方向余弦與方向數

解析幾何中除了兩點間的距離外，尚有一個最基本的問題就是如何擬定有向線段的或有向直線的方向。

方向角與方向余弦

設有空間兩點，若以P1為始點，另一點P2為終點的線段稱為有向線段.記作.通過原點作一與其平行且同向的有向線段.將與Ox,Oy,Oz三個坐標軸正向夾角分別記作α,β,γ.這三個角α,β,γ稱為有向線段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.

關于方向角的問題

若有向線段的方向擬定了，則其方向角也是唯一擬定的。

方向角的余弦稱為有向線段或相應的有向線段的方向余弦。

設有空間兩點，則其方向余弦可表達為：

從上面的公式我們可以得到方向余弦之間的一個基本關系式：

注意：從原點出發(fā)的任一單位的有向線段的方向余弦就是其端點坐標。

方向數

方向余弦可以用來擬定空間有向直線的方向，但是，假如只需要擬定一條空間直線的方位(一條直線的兩個方向均擬定著同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道與方向余弦成比例的三個數就可以了。這三個與方向余弦成比例且不全為零的數A，B，C稱為空間直線的方向數，記作：{A，B，C}.即：

據此我們可得到方向余弦與方向數的轉換公式：

，，

其中：根式取正負號分別得到兩組方向余弦，它們代表兩個相反的方向。

關于方向數的問題

空間任意兩點坐標之差就是聯結此兩點直線的一組方向數。

兩直線的夾角

設L1與L2是空間的任意兩條直線，它們也許相交，也也許不相交.通過原點O作平行與兩條直線的線段.則線段的夾角稱為此兩直線L1與L2的夾角.

若知道L1與L2的方向余弦則有公式為：

其中：θ為兩直線的夾角。

若知道L1與L2的方向數則有公式為：

兩直線平行、垂直的條件

兩直線平行的充足必要條件為：

兩直線垂直的充足必要條件為：

平面與空間直線平面及其方程

我們把與一平面垂直的任一直線稱為此平面的法線。

設給定點為Po(x0,y0,z0