變分法讀書報告

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劉懸弓D組131041216

1.變分法的起源

變分法是17世紀末進展起來的一門數(shù)學分支，主要是古典變分法，它理論完整，在力學、光學、物理學、摩擦學、經濟學、宇航理論、信息論和自動控制論等諸多方面有廣泛應用。20世紀中葉進展起來的有限元法，其數(shù)學基礎之一就是變分法。

變分法是處理泛函的數(shù)學領域，和處理函數(shù)的一般微積分相對。譬如，這樣的泛函可以通過未知函數(shù)的積分和它的導數(shù)來構造。變分法終于尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或微小值。有些曲線上的經典問題采納這種形式表達：一個例子是最速降線，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時光從點A到達不直接在它底下的一點B。在全部從A到B的曲線中必需微小化代表下降時光的表達式。

變分法的關鍵定理是歐拉－拉格朗日方程。它對應于泛函的臨界點。在尋覓函數(shù)的極大和微小值時，在一個解附近的極小變化的分析給出一階的一個近似。它不能辨別是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

變分法在理論物理中十分重要：在拉格朗日力學中，以及在最小作用量原理在量子力學的應用中。變分法提供了有限元辦法的數(shù)學基礎，它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中討論材料平衡中大量使用。而在純數(shù)學中的例子有，黎曼在調和函數(shù)中使用狄力克雷原理。最優(yōu)控制的理論是變分法的一個推廣。

同樣的材料可以浮現(xiàn)在不同的標題中，例如希爾伯特空間技術，摩爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用于全部極值泛函問題。微分幾何中的測地線的討論是很明顯的變分性質的領域。微小曲面（肥皂泡）上也有無數(shù)討論工作，稱為Plateau問題。

2.變分問題類型

固定邊界的變分問題，可動邊界的變分問題，條件極值變分問題和參數(shù)形式的變分問題。

1.古典變分問題舉例

1：最速降線問題（BrachistoroneorcurveofSteepestdescent）問題。這是歷史上出的第一個變分法問題，1696年約翰·伯努利提出的。

設O、P是沿平面上不在同向來線上的兩點，在全部銜接O、P兩點的平面直線中，求出一條曲線，使僅受重力作用且初速為零的質點從A到B沿該曲線運動時所需時光最短。

以O為原點建立平面指標坐標系，設P點的坐標11(,)xy，曲線方程設為()yyx=，10xx≤≤，且滿足端點條件(0)0y=，11()yxy=。

設(,)Mxy為曲線()yyx=上隨意一點，由能量守恒定律得

212

mgymv=

則

v=

又

v====

dt=

0tC=+?0,0,0

xtC==∴=所需時光為

0T=?2短程線（測地線：Geodesic）問題：光潔曲面f(x,y,z)=0上給定000(,,)Axyz和111(,,)Bxyz兩點，求銜接這兩點的一條最短曲線。

銜接這兩點的曲線方程為

(),(),yyxzzx==01xxx≤≤

則其滿足

(,,)0fxyz=（1）

長度為0xxL=?

短程線問題即求上式在約束條件（1）下的最小值問題—條件最小值問題。

3等周問題：在平面上給定長度為L的全部不相交的光潔封閉曲線中，求出一條能圍成最大面積的曲線。

設封閉曲線的參數(shù)方程為

(),(),xxtyyt==01ttt≤≤（1）

中式()xt，()yt延續(xù)可微，且0101()(),()(),xtxtytyt==其長度為

0ttL=?

（2）

所圍成的面積為

12LAxdyydx=-?（3）等周問題就是在滿足等周條件（2）的全部曲線（1）中，求使積分（3）取得最大值的曲線。

（2）最簡泛函的變分問題求解

設函數(shù)1

0[()](,,')xxJyxFxyydx=?的極值曲線()yyx=一端固定，另一端在直線1xx=上移動，則另一端必滿足自然邊界條件1'|0xxFy==

若極值曲線()yyx=的端點在已知曲線()yx?=上移動，則變分1xδ與1yδ有關。

若設函數(shù)1

0[()](,,')xxJyxFxyydx=?的極值曲線()yyx=左端固定，另一端在已知曲線()yx?=上移動，則另一端在直線1xx=處必滿足

1'[('')]|0

y

xxFyF?=+-=（3）條件極值的變分問題4：試求泛函220

1''2Jydx=?的最小值。這里()yyx=滿足端點(0)1y=，'(0)1y=，(2)0y=，'(2)0y=。

解：引入兩個變量1y，2y，令1yy=，2'yy=于是泛函變?yōu)?/p>

220

1''2Jydx=?（1）約束條件為

2'0yy-=（2）

做輔助函數(shù)

222210

1['(')2Jyyydxλ*

=+-?（3）泛函（3）的歐拉方程組為20()0(')0ddxdydxλλ?--=????-=??

即2'0''0yλλ=??-=?（4）由式（4）得323

0dydx=積分得

22yax

bx

c=++式中,,abc是積分常數(shù)，由于21''yyy==，故

32122

abyxxcxd=+++于是有3213211712437122

yxxxyxx?=+++????=++??

最后求得最小值為

2202213(3)224

Jxdx=-=?3應用

物理學中泛函極值問題的提出促進了變分學的建立和進展，而變分學的理論成績則不斷滲透到物理學中。

P.de費馬從歐幾里得確立的光的反射定律動身提出了光的最小時光原理：光芒永久沿用時最短的路徑傳揚。他原先疑惑光的折射定律，但在1661年費馬發(fā)覺從他的光的最小時光原理能夠推導出折射定律，不僅消退了早先的疑惑，而且越發(fā)堅信他的原理。拉格朗日把變分法用到動力學上。他引進廣義坐標q1,q2,…qn動能T是q=(q1,q2,…,qn)的函數(shù),q表示廣義速度。他又假定力有位勢

V，V是q的函數(shù),又假定T+V是常量,即系統(tǒng)無耗散,令L=T-V，稱為作用量，拉格朗日的最小作用原理是說真切的運動使作用量取微小值。通過歐拉方程，拉格朗日建立他的運動方程，據(jù)此推出了力學的主要定律，并解決了一些新的問題。這些工作都記載在他在1788年出版的《分析力學》一書中。

二.直接法

各種變分法的最后求解都可歸結為解歐拉方程的邊值問題。然而在一些特別狀況之下歐拉方程才干求出精確解，在大多數(shù)狀況下，歐拉方程的精確解無法求

出，因此需要另外的求解辦法。1990年8月，其次屆國際數(shù)學家代表大會在巴黎進行，希爾伯特在會上作了“數(shù)知識題”的報告，提出了23