有關(guān)不等式的一些方法與技巧

--#-/5有關(guān)不等式的一些方法與技巧河北望都中學(xué)湯敏軍不等式問題中涉及的方法與技巧很多，這幾年高考中對(duì)不等式的要求有所降低。但我們對(duì)一些較常見的方法與技巧也必須要有一定的了解。下面通過幾個(gè)具體的例題，來說明一下，希望對(duì)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)與方法的提升有所幫助。一、配湊系數(shù)的技巧例設(shè)、y、z都是正數(shù)，例設(shè)、y、z都是正數(shù)，盯+2yz則一-一-一X2+y2+z2的最大值為（）。TOC\o"1-5"\h\z、:'5 2J5A、1 B、2C、——D、 2 5分析：在我們用均值不等式時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到配湊系數(shù)來求最值。顯然如果我們直接處理x2+5y2+z2

2顯然與分母的比值不是常數(shù)。我們很希xx2+5y2+z2

2顯然與分母的比值不是常數(shù)。我們很希xy+2yz< + 2 2望通過利用均值不等式將分子中y2的系數(shù)調(diào)整為，如何實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)呢？我們注意到xy的系數(shù)為，而2yz的系數(shù)為。聯(lián)想到三角函數(shù)中的化一公式（或稱輔助角公式），.一 -———. __BAsinx+Bcosx=VA2+B2sm(x+p),(其中AB豐0,tan中=一)。我們不妨可以借鑒這A里所使用的方法來處理，從而對(duì)的系數(shù)進(jìn)行調(diào)整。提出v12+22=.<5來，這樣y2 4y2_ 2 _—+x2-^―+z2 _）。這樣的系xy+2yz=<5(Zx+jz)<v'5(^——+-^―——)=<5("<5 2 2）。這樣的系數(shù)調(diào)整成，分子與分母的比值為常數(shù)/。也實(shí)現(xiàn)了我們的最初目的。這里我們處理的手段就是配湊系數(shù)。解法略。二、常值代換的技巧.19例、已知x>0,y>0,且+—=1,則x+y的最小值為 。xy分析:有些不等式問題中在求最值和范圍時(shí)要利用常數(shù)“”的代換技巧19解：?/x>0,y>0,且一+—=1,xy. /19 y9x y9x..x+y—（—+—）（x+y）=10+—+—210+2,—?—二16xy xy卜xy'

當(dāng)且僅當(dāng)-=9x即X=4,y=12時(shí)取"等”號(hào).故最小值為.xy評(píng)析：本題除此法外，還可以用三角換元的方法。三、巧妙賦值.例.設(shè)實(shí)數(shù)使得不等式2a三對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則滿足條件的所組成的集合是()「11】 r11,r11,.[—3,3] .[—了2].[—了3] .[，]21分析：我們可用附值法可若令X=3a，則有Ia1<3，排除、。由對(duì)稱性排除，從而只有a正確。注意若僅令或?qū)?huì)得到錯(cuò)誤結(jié)果。(當(dāng)然也可令x=ka)，則原不我們有更一般的解決方法嗎？對(duì)￡,不妨令x(當(dāng)然也可令x=ka)，則原不34等式為IaI,Ik-1I+—IaI,Ik——〉IaI2,2334對(duì)任意的￡成立。由于由此易知原不等式等價(jià)于IaI<Ik-1I+-1k--1對(duì)任意的￡成立。由于3Ik-1I+-13Ik-1I+-1k-

2",35k-321--k23-5k2k2士31<k<4,3341所以341所以min{Ik-1I+—Ik-—I}=—k￡R 2 3 3四、函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用1從而上述不等式等價(jià)于IaI<3。例.已知a>0,且a中1,當(dāng)x￡(-1,1)時(shí),若不等式x2-ax<；恒成立則a的取值范圍為 分析：此不等式是一個(gè)超越不等式，要求出的范圍有些同學(xué)可能會(huì)想到反解，但是這顯然做不到。這樣我們不妨將原不等式變形為ax>x2-；,在x￡(-1,1)時(shí)恒成立.設(shè)函數(shù)f(x)=ax,g(x)=x2-1,這兩個(gè)函數(shù)我們還是較熟悉的。在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出它們的圖像。由函數(shù)的單調(diào)性及圖像可知:當(dāng)a>1時(shí),需f(-1)>g(-1),得1<a<2當(dāng)0<a<1時(shí),需f(1)>g(1),得1<a<1.故a的取值范圍為[；,1)U(1,2].五、兩邊夾的思想方法兩邊夾的方法，對(duì)于解決不能通過計(jì)算準(zhǔn)確求解的不等式問題是一種很好的方法。在以前的高考中也曾出現(xiàn)過。這種方法很好的考查了學(xué)生的思維。例.已知函數(shù)f(x)滿足x<f(x)<1(x2+1),對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則f(1)=分析：因?yàn)閤<f(x)<1(x2+1)對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，不妨令x=1,則有1<f(1)<1(12+1)=1，^f(1)=1。另外,還有構(gòu)造法及一些特殊不等式如柯西不等式.有興趣的同學(xué)可以參考一些課外資料學(xué)習(xí)一下.跟蹤練習(xí)：、已知P,q,reR+，則p+-3q的最大值為()。p2+q2+r2、回 2%；5A、1 B、2C.- D、--25、命題p:關(guān)于x的不等式4⑥+x2-2x—m>0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x均成立，命題q：m<3,則P是q成立的( )。()充分而不必要條件 ()必要而不充分條件()充分必要條件 ()既不充分也不必要條件、已知函數(shù)f(x)=x2+2x+1,若存在實(shí)數(shù)t,當(dāng)xeHm時(shí)f(x+1)<x恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為()2 ()3 ()4 ()51、已知x,y,zeR,且x+y+z=——,則(x+y)(y+z)的最小值為.xyz、設(shè)二次函數(shù)f(x)=a