2023屆河南省洛陽市第八高三年級下冊學期開學摸底考試數學（理）試題【含答案】

2023屆河南省洛陽市高三下學期開學摸底考試數學（理）試題一、單選題1．設集合，，，則A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}【答案】D【分析】先求，再求．【詳解】因為，所以.故選D．【點睛】集合的運算問題，一般要先研究集合中元素的構成，能化簡的要先化簡，同時注意數形結合，即借助數軸、坐標系、韋恩圖等進行運算．2．已知復數z滿足，則復數的模是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】計算，得到，再計算模長得到答案.【詳解】，故，的模為，故選：A3．已知向量，，，若，則（

）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】D【分析】因為向量，所以，代入坐標運算即可．【詳解】因為向量，，所以，因為，所以，可得，故選：D．4．在數列中，，且，則的通項為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依題意可得，即可得到是以2為首項，2為公比的等比數列，再根據等比數列的通項公式計算可得；【詳解】解：∵，∴，由，得，∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列，∴，即．故選：A5．設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點的橫坐標，進而求得點坐標，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，不妨設點在軸上方，代入得，，所以.故選：B6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】模擬執(zhí)行程序，依次計算可得.【詳解】當輸入的時，S=0，K=1，K6；S=1，，K=2，K6；S=，，K=3，K6；S=2，，K=4，K6；S=，，K=5，K6；S=3，，K=6，K6；S=，，K=7，K6，輸出S=.故選：D7．在正方體中，E，F分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設，分別求出平面，，的法向量，根據法向量的位置關系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項BCD解法一：如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設，則，，則，，設平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故C錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故D錯誤，故選：A.選項BCD解法二：解：對于選項B，如圖所示，設，，則為平面與平面的交線，在內，作于點，在內，作，交于點，連結，則或其補角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點，則，由勾股定理可得，從而有：，據此可得，即，據此可得平面平面不成立，選項B錯誤；對于選項C，取的中點，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項C錯誤；對于選項D，取的中點，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項D錯誤；故選：A.8．已知數列滿足，，，數列滿足，則數列的前2021項的和為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題干可判斷數列為等比數列，通過題干中的條件可求得的通項公式，代入數列中，利用分組求和法及等比數列求和公式進行求解.【詳解】因為，故數列為等比數列，又，所以；則；所以.故選：D.9．已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．【答案】D【分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.【詳解】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設，分別為中點，，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【點睛】本題考查學生空間想象能力，補體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關系，快速得到側棱長，進而補體成正方體解決．10．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷葉上跳來跳去（每次跳躍時，均從一葉跳到另一葉），而且沿逆時針方向跳的概率是沿順時針方向跳的概率的2倍，如圖所示.假設現在青蛙在葉上，則跳三次之后停在葉上的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據條件先求出逆時針和順時針跳的概率，然后根據跳3次回到A，則應滿足3次逆時針或者3次順時針，根據概率公式即可得到結論．【詳解】由題意，知青蛙沿逆時針方向跳的概率是，沿順時針方向跳的概率是.青蛙跳三次要回到葉上只有兩條途徑：第一條，按，此時停在葉上的概率；第二條，按，此時停在A葉上的概率.所以跳三次之后停在葉上的概率.故選：A【點睛】本題主要考查概率的計算，利用獨立重復試驗的概率公式是解決本題的關鍵．11．已知雙曲線的下、上焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為.若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點作漸近線的垂線，垂足為，則，再根據雙曲線的定義得，進而轉化為恒成立，再根據齊次式求解即可.【詳解】解：如圖，過點作漸近線的垂線，垂足為’設，則點到漸近線的距離.由雙曲線的定義可得，故，所以，即的最小值為，，因為恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解得.故選：A.12．已知定義在上的偶函數滿足，且當，，則下面結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據函數的奇偶性、單調性和周期性來求解即可.【詳解】由，知是周期函數，且周期為6，∴，∵，∴，∴，又，易知在內單調遞增，所以.故選：A．二、填空題13．某個微信群在某次進行的搶紅包活動中，若某人所發(fā)紅包的總金額為15元，被隨機分配為3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲?乙?丙?丁4人參與搶紅包，每人只能搶一次，則甲?乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率為___________.【答案】【分析】計算出基本事件總數及滿足條件的有利事件數，代入古典概型概率計算公式，可得答案．【詳解】由題意可得，甲、乙二人搶到的金額的基本事件總數為，，，，，共6種，“甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元”包含，，共3種，∴甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率.故答案為：．14．若直線與圓相離，則的取值范圍是__________．【答案】或【分析】根據直線與圓相離則圓心到直線的距離大于半徑可求解.【詳解】設圓心到直線的距離為,則,圓的半徑,因為直線與圓相離,所以,即,所以,解得或故答案為：m＞2或m＜-215．設函數，直線為圖像的對稱軸，為的零點，且的最小正周期大于，則_________．【答案】##【分析】利用正弦函數的圖像和性質求解即可.【詳解】因為函數的最小正周期大于,所以，，又因為直線為圖像的對稱軸，為的零點，且，所以，解得，將零點代入得，所以，解得，，又因為，所以當時，.故答案為：16．已知函數，，若函數恰有2個零點，則實數m的取值范圍為_________.【答案】【分析】由題知，進而將問題轉化為函數與函數的圖象恰有2個公共點，再結合導數幾何意義求解切線，數形結合求解即可.【詳解】解：由得，由題意得，函數與函數的圖象恰有2個公共點，作出函數的圖象，如圖，再作出直線，它始終過原點，設直線與相切，切點為，由知，切線斜率為，切線方程為，把代入得，所以切線斜率為，設與相切，則，所以，，解得舍去），由圖可得實數m的取值范圍是或.故答案為：三、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關系求出，再根據正弦定理即可解出；（2）根據余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【詳解】（1）由于，，則．因為，由正弦定理知，則．（2）因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．18．如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點、，由平面知識易得，再根據二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；（2）由（1）可知平面，過點做平行線，所以可以以點為原點，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．【詳解】（1）過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（2）因為平面，過點做平行線，所以以點為原點，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設，則，設平面的法向量為由，得，取，設直線與平面所成角為，∴．19．近年來，國民經濟的增長和社會結構的變化推動寵物飼養(yǎng)成為很多人精神消費的主要方式，使得近幾年中國寵物市場規(guī)模逐年增長，下表為2016～2020年中國寵物市場規(guī)模y（單位：千億元），其中2016～2020年對應的年份代碼x依次為1～5．年份代碼x12345寵物市場規(guī)模y/千億元1.221.341.782.212.95(1)由表中數據可知，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明；(2)求y關于x的線性回歸方程，并預測2022年中國寵物市場規(guī)模．參考數據：，，，．參考公式：相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【答案】(1)說明見解析(2)，市場規(guī)模為3.632千億元【分析】（1）根據參考數據、參考公式計算相關系數，即可得出結論；（2）根據參考數據計算，再由直線過求出，即可得出回歸直線方程，代入可預測2022年中國寵物市場規(guī)模.【詳解】（1）由題意得，，，，，，∴．因為y與x的相關系數近似為0.971，趨近于1，說明y與x的線性相關程度相當強，從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關系；（2）由（1）得，，所以y關于x的線性回歸方程為，2022年對應的年份代碼為7，代入，得，所以預測2022年中國寵物市場規(guī)模為3.632千億元．20．已知分別是橢圓的左、右焦點，A是C的右頂點，，P是橢圓C上一點，M，N分別為線段的中點，O是坐標原點，四邊形OMPN的周長為4．(1)求橢圓C的標準方程(2)若不過點A的直線l與橢圓C交于D，E兩點，且，判斷直線l是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)標準方程為．(2)直線l過定點【分析】（1）由三角形的中位線性質可得四邊形OMPN的周長即為2a，橢圓的右頂點到右焦點的距離為a－c，聯立即可得橢圓方程；（2）分類討論斜率存在與斜率不存在，當斜率存在時設出直線方程，聯立直線與橢圓方程，由韋達定理可得，再由可得k與m的關系式，將其代入直線方程可得定點，當斜率不存在時，代入計算即可.【詳解】（1）M，N分別為線段的中點，O是坐標原點，，四邊形OMPN的周長為，，，，橢圓C的標準方程為．（2）設，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，代入，整理得，則，．易知，，化簡得，或(舍去)，直線l的方程為，即，直線l過定點．當直線l的斜率不存在時，設，代入，解得，由得，，解得或(舍去)，此時直線l過點．綜上，直線l過定點．【點睛】求解直線或曲線過定點問題的基本思路(1)把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數都成立，這時參數的系數就要全部等于零，這樣就得到一個關于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．(2)由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)＝kx＋m，則直線必過定點(0，m)．21．已知函數在處的切線方程為.(1)求實數a的值;(2)設的一個正根為m，當，且時，證明:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出，利用導數的幾何意義求出的值，即可求出的值；（2）先構造函數，求出零點所在的范圍，再構造函數、，利用導數研究函數單調性即可證明．【詳解】（1），∴函數在處的切線的斜率，，解得；（2）令，則，在上單調遞增.又，即的一個大于1的零點.令，則.設，則在上單調遞減，，，在上單調遞減，∴當，且時，，即，即，∴當，且時，．22．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；(2)設l與C相交于A，B兩點，點P是C上任意一點，求面積最大時點P的坐標.【答案】(1)；.(2).【分析】(1)利用極坐標和直角坐標之間的轉化公式可求曲線C的直角坐標方程，消去參數可求直線l的普通方程；(2)利用點到直線的距離公式和三角函數的最值討論.【詳解】（1）由，得.將代入上式，得，所以曲線C的直角坐標方程為.由（為參數），消去參