多元表征理論與概念教學(xué)（下）

多元表征理論與概念教學(xué)（下）

（2）按照“多元表征理論”，除去對于概念本質(zhì)的很好理解以外，這也應(yīng)被看成數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個主要目標(biāo)，即應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生建立概念的多元表征，并能根據(jù)需要與情境在表征的不同成分之間做出靈活的轉(zhuǎn)換.由此可見，就數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)而言，我們不應(yīng)唯一地強調(diào)所謂的“同化”與“順應(yīng)”，特別是認定數(shù)學(xué)思維的發(fā)展主要地即可被看成一種“縱向的”發(fā)展，亦即如何能對已有的認知框架不斷做出新的改造或重構(gòu)，而且也應(yīng)當(dāng)清楚地看到“橫向的”擴展的重要性，亦即如何能夠開拓更多的方面，并在不同的方面之間建立普遍的聯(lián)系.以下是關(guān)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一些具體建議：教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)加強案例、圖象、隱喻與手勢（身體活動）的應(yīng)用.更為一般地說，這也就是指，“語言學(xué)活動、手勢和身體活動、隱喻、生活經(jīng)驗、圖象等”都應(yīng)被看成數(shù)學(xué)中意義建構(gòu)的一個重要來源.[2]當(dāng)然，相對于簡單地給出多種不同的表征形式而言，教師在教學(xué)中應(yīng)更加重視必要的引導(dǎo).例如，只有通過不同表征形式的對照，教師才能幫助學(xué)生更好地理解各種表征的特性及其局限性，如實例的.描述性質(zhì)與嚴(yán)格定義的建構(gòu)性質(zhì)，圖象的整體性、直覺性與符號操作的順序性、邏輯性等等[3].進而，除去幫助學(xué)生建立概念的多元表征以外，這顯然又應(yīng)被看成教學(xué)工作更為重要的一項目標(biāo)，即應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生在表征的不同成分之間建立充分的聯(lián)系，并能根據(jù)需要與情境做出靈活的轉(zhuǎn)換.例如，在筆者看來，教師顯然可從后一角度去理解萊什的以下論述：學(xué)生必須具備了以下條件才算真正理解了一個概念：第一，他必須能將此概念放入不同的表征系統(tǒng)之中；第二，在給定的表征系統(tǒng)內(nèi)，他必須能很有彈性地處理這個概念；第三，他必須很精確地將此概念從一個表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個表征系統(tǒng).[4]最后，還應(yīng)提及的是，從上述角度去分析我們也可更為深入地認識數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的普遍意義，即有益于學(xué)生思維品質(zhì)的提升，特別是增強學(xué)生思維的靈活性與綜合性.當(dāng)然，又如前面所提及的，對于這里所說的“靈活性與綜合性”我們不應(yīng)局限于同一概念不同表征之間的聯(lián)系，也應(yīng)包括不同概念之間的聯(lián)系.例如，主要地也就是基于這樣一種認識，人們提出，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不應(yīng)僅僅著眼于“概念的生成”，也應(yīng)包括“概念的分析與組織”.（3）應(yīng)當(dāng)指出，上述關(guān)于教學(xué)涵義的分析體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究在當(dāng)代的這樣一個發(fā)展趨勢：我們不僅應(yīng)當(dāng)充分肯定深入了解學(xué)生內(nèi)在思維活動的重要性，也應(yīng)高度重視如何能以此為基礎(chǔ)來設(shè)計教學(xué)從而進一步促進學(xué)生的發(fā)展.從后一角度去分析，我們可以更深入地認識以下一些教學(xué)建議的重要性：第一，由于教學(xué)工作的主要目標(biāo)之一是幫助學(xué)生在頭腦中建立概念的多元表征，因此，教師在教學(xué)中就應(yīng)十分重視如何能使學(xué)生在這一過程中更好地發(fā)揮主體作用，即教師可以要求學(xué)生通過物質(zhì)對象的具體操作證實相應(yīng)的符號方法，或是為抽象的數(shù)學(xué)概念給出一個實例，或是用一個隱喻來說明自己的感受或體驗，等等.另外，要求學(xué)生對新學(xué)習(xí)的概念做出表述，甚至做出自己的定義也是一個十分重要的教學(xué)手段，而且，這種由“內(nèi)”向“外”的轉(zhuǎn)變也必然地會使學(xué)生對自己的“概念意象”具有更大的自覺性，從而就十分有利于他們通過反思或改進實現(xiàn)新的發(fā)展.第二，如果說先前的教學(xué)建議主要是從規(guī)范性的角度指明了教師應(yīng)當(dāng)如何進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)，那么，作為問題的另一方面，教師在此顯然也應(yīng)十分重視認識活動的個體特殊性，這就是指，不同個體在自己的實踐活動中完全可能傾向于多元表征中的某一（些）方面.例如，后者正是著名數(shù)學(xué)家阿達瑪所進行的一項調(diào)查的一個主要結(jié)論.具體地說，阿達瑪以當(dāng)時一些著名的數(shù)學(xué)家（包括愛因斯坦等著名物理學(xué)家）為直接對象進行了一項調(diào)查，希望了解他們在從事研究時所采取的是怎樣一種思維方式，特別是，這主要依賴于語言，還是依賴于圖象？結(jié)果發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家中存在幾種不同的類型.大多數(shù)人“不僅在思維過程中避免使用語言，甚至還避免使用代數(shù)符號或者任何其他的固定符號……（而）總是運用模糊的意象思維”，但也有相反的情況，如著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞就是這樣的一個實例：“我相信，對于一個問題的關(guān)鍵性思想總聯(lián)系著一個恰當(dāng)?shù)脑~或句子，這個詞或句子一經(jīng)出現(xiàn)，形勢即刻明朗.如同你所說的，‘它給出了問題的全貌’.”[5]由此可見，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中教師不僅不應(yīng)唯一地強調(diào)概念的嚴(yán)格定義，也不應(yīng)以任何一種思維形式作為教學(xué)的硬性規(guī)范，而是應(yīng)當(dāng)從各個方面為學(xué)生的自由發(fā)展提供必要的條件，包括努力培養(yǎng)他們的思維轉(zhuǎn)換能力.三、從“多元表征理論”看“變式教學(xué)”（1）眾所周知，“變式教學(xué)”是中國數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)中十分重要的一個組成部分，我們更應(yīng)明確肯定顧冷沅先生及其合作者在這方面所做出的重要貢獻：“顧冷沅對變式教學(xué)進行了系統(tǒng)而深入的實驗研究與理論分析.這項研究主要涉及兩個方面的工作：一是對傳統(tǒng)教學(xué)中的‘概念變式’進行系統(tǒng)的恢復(fù)與整理；二是將‘概念性變式’推廣到‘過程性變式’，從而使變式教學(xué)既適用于數(shù)學(xué)概念的掌握，也適用于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的增長.”[6]盡管對于“概念性變式”與“過程性變式”的明確區(qū)分常常被看成“變式教學(xué)”的一個主要特征：“概念性變式和過程性變式的特點和作用都有差異.前者是靜態(tài)的，強調(diào)不同對象的比較，突出概念的本質(zhì)屬性和外延.后者是動態(tài)的，強調(diào)不同過程的聯(lián)系，通過對數(shù)學(xué)活動過程的辨析或分割，在前后知識之間進行適當(dāng)?shù)淖兪戒亯|.”[7]但這又正是筆者在這方面的一個基本觀點，即認為在做出上述區(qū)分的同時我們又應(yīng)清楚地看到它們的共同本質(zhì)：通過恰當(dāng)變化以突出其中的不變因素，這也就是指，“變化”是認識的一種手段，我們的根本目的就在于通過變化（與對照）幫助學(xué)生更好地認識其中的不變因素，也即概念或問題的本質(zhì).[8]例如，在筆者看來，教師顯然就可從后一角度理解如下的教學(xué)建議：在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，除去所謂的“概念變式”與“標(biāo)準(zhǔn)形式”以外，教師還應(yīng)有意識地引入相應(yīng)的“非概念變式”和“非標(biāo)準(zhǔn)形式”，從而可以通過對照比較幫助學(xué)生更好地掌握相關(guān)概念的本質(zhì).例如，這就正如顧冷沅先生等所指出的：“標(biāo)準(zhǔn)形式雖然有利于學(xué)生對概念的準(zhǔn)確把握，但也很容易限制思維的靈活性，甚至不恰當(dāng)?shù)乜s小概念的外延.解決這個問題的一種有效方法是充分利用非標(biāo)準(zhǔn)形式，通過變換概念的非本質(zhì)屬性，突出其本質(zhì)屬性.”[7]（圖4）（2）如果說在以上我們主要是依據(jù)相關(guān)論著對“變式教學(xué)”，特別是“概念性變式”的基本內(nèi)容進行了介紹，那么，這也是筆者在這方面的又一基本看法，即在充分肯定“變式教學(xué)”對數(shù)學(xué)教學(xué)的積極意義的同時，教師也應(yīng)十分重視如何能對已有的傳統(tǒng)做出新的發(fā)展，進而，除去積極的教學(xué)實踐與認真的總結(jié)和反思以外，還應(yīng)努力應(yīng)用現(xiàn)代的理論研究成果對已有經(jīng)驗做出更為深入的分析，從而就能更為清楚地認識它們的合理性與不足之處.以下就依據(jù)“多元表征理論”對“變式教學(xué)”做出進一步的分析.第一，前面已經(jīng)提到，對于數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的突出強調(diào)即可被看成“單一表征理論”的主要特征，顯然，從這樣的角度去分析，“變式教學(xué)”在很大程度上也可被歸屬于“單一表征理論”的范圍.正因為此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)十分注意防止這樣的傾向，即唯一地強調(diào)了概念的嚴(yán)格定義，卻忽視了數(shù)學(xué)概念的心理表征往往包含多個不同的方面或成分，它們對于概念的正確理解都具有十分重要的作用.例如，從這一角度去分析，除去已提到的“非概念變式”和“非標(biāo)準(zhǔn)形式”，教師在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中顯然也應(yīng)十分重視圖象、隱喻與手勢等多種教學(xué)形式的應(yīng)用.更為一般地說，這也就是指，教師應(yīng)從更為廣泛的角度去理解所謂的“變式”，或者說，表征的多元性為教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)如何去“求變”指明了可能的方向.第二，為了更清楚地說明問題，在此特別提及這樣一點：作為一種教學(xué)理論，變式教學(xué)顯然涉及教學(xué)內(nèi)容（數(shù)學(xué)）、教學(xué)對象（學(xué)生）、教學(xué)目標(biāo)等多個不同的方面；但是，如果教師在此所關(guān)注的僅僅是如何能夠幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，更將分析的著眼點唯一集中于概念的嚴(yán)格定義，這就不能不說是一種過于狹窄的眼光，因為，這在很大程度上就可說是唯一采取了數(shù)