小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)須防止涉及充分條件和必要條件的失誤

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)須防止涉及充分條件和必要條件的失誤

充分條件、必要條件是邏輯學(xué)中的重要概念。一些小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中常會出現(xiàn)涉及充分條件和必要條件的失誤。又由于這類失誤較為隱蔽，所以更具危害性。它不僅會阻礙教師提高教學(xué)藝術(shù)，更會影響學(xué)生思維能力的發(fā)展以及嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、靈活性等優(yōu)良思維品質(zhì)的形成。因此，有必要澄清充分條件和必要條件的概念，領(lǐng)悟其本質(zhì)，并融會貫通，防止失誤。一、澄清概念，領(lǐng)悟本質(zhì)我們先來回憶一個命題：對頂角相等。這是一個真命題，人們稱之為對頂角定理。用“若……則……”的句式來敘述就是：若兩個角是對頂角，則這兩個角相等?！叭簟弊趾竺娴氖菞l件，可用A表示；“則”字后面的是結(jié)論，可用B表示。這樣一來，上述命題即可簡記為“若A則B”或“有A則有B”或“AB”。這表明A的出現(xiàn)保證了B的出現(xiàn)，于是，人們就稱A是B的充分條件。眾所周知，一個命題與其逆否命題是等價的，故“若A則B”與其逆否命題“若”（讀作“若非B則非A”或“無B則無A”）等價。這表明B不出現(xiàn)則A必不出現(xiàn)，于是，人們就稱B是A的必要條件。由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律：如果A是B的充分條件，那么B就一定是A的必要條件。在上述對頂角定理中，“兩角是對頂角”是“這兩角相等”的充分條件，“兩角相等”是“這兩角是對頂角”的必要條件。但由于僅有“AB”，而BA（由兩角相等不能推出這兩角是對頂角），所以更準(zhǔn)確的表述是：A是B的充分但不必要的條件，B是A的必要但不充分的條件。如果在命題A、B間存在著這樣的關(guān)系：AB且BA，即：A既是B的充分條件又是B的必要條件，我們就稱A是B的充分且必要的條件，簡稱A是B的充要條件，記作：AB。在數(shù)學(xué)中這類互為充要條件的情況也為數(shù)不少。如：“若兩圓半徑相等，則此兩圓的周長相等”；反之，“若兩圓周長相等，則此兩圓半徑相等”?！皟蓤A半徑相等”是“這兩圓周長相等”的充要條件。對充分條件、必要條件等邏輯知識的學(xué)習(xí)不能止于表淺。有些人盡管能將概念的定義背誦得一字不差，但一遇到具體問題，不是把充分條件誤認(rèn)為必要條件，就是把必要條件誤認(rèn)為充分條件，甚至將既不是充分條件也不是必要條件的命題誤當(dāng)成充要條件。因此，學(xué)習(xí)和運用這部分知識須認(rèn)真領(lǐng)悟其本質(zhì)。首先，為弄清充分條件與必要條件的區(qū)別，不妨先顧名思義：“充分”有“足夠”之意，故充分條件對結(jié)論的出現(xiàn)所起的作用是“有了就夠”；而“必要”有“必不可少”之意，故必要條件對結(jié)論的出現(xiàn)所起的作用是“缺之不可”。命題A對命題B出現(xiàn)的作用如果是“有了就夠”但“缺之亦可”，則A就是B的充分但不必要的條件；命題A對命題B出現(xiàn)的作用如果是“缺之不可”，但“有了還不夠”，則A就是B的必要但不充分的條件；命題A對命題B出現(xiàn)的作用如果既是“有了就夠”又是“缺之不可”的，A就是B的充要條件。其次，要理論聯(lián)系實際，弄清這些邏輯關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)中的蘊涵和體現(xiàn)。例如：(1)“a=0”是“ab=0”的充分但不必要的條件；(2)“兩個三角形面積相等”是“這兩個三角形全等”的必要但不充分的條件；(3)“一個整數(shù)的末位數(shù)字為偶數(shù)”是“這個整數(shù)為偶數(shù)”的充要條件。另外，教師還可對生活中一些常見的事物，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的語言去詮釋。以下是兩個生活中有關(guān)充分條件和必要條件的例子。(1)“空氣”是“人類生存”的必要但不充分的條件。沒有空氣，人類不能生存，但僅有空氣而無食物、水等，人類也是不能生存的。(2)在熟語“殺雞焉用宰牛刀”中，“使用宰牛之刀”對于“將雞殺死”而言，可以看成是充分但不必要的條件。因為使用宰牛之刀，必能毫無懸念地將雞殺死，這是“有了就夠”；然而，用一把菜刀、削鉛筆用的小刀或刮胡須的刀片即可順利地將雞殺死，實在不必勞駕宰牛之刀，這是“缺之亦可”。需要注意的是，也有些生活中的事例要仔細(xì)辨析。例如，假設(shè)甲、乙兩支排球隊采用“五局三勝制”進行比賽，以A表示“甲隊先勝兩局”，以B表示“甲隊獲勝”，有人認(rèn)為“A是B的必要但不充分條件”，這種認(rèn)識是錯誤的：先勝兩局者最后未必獲勝；而沒能先勝兩局者，最后卻未必不勝。所以，A對B而言既不是充分條件，也不是必要條件。值得探討的還有一個問題：任意兩個命題A、B之間是否只有AB、BA和AB這三種關(guān)系呢？答案顯然是否定的。實際上，對任意兩個命題A、B而言，更普遍的情況是在上面三種情況之外的AB、BA，即二者不能相互推出，不具因果關(guān)系，A不是B的條件，B也不是A的條件。例如以A表示“今天天晴”，以B表示“今天要上數(shù)學(xué)課”，A、B之間就不存在條件與結(jié)論的關(guān)系。二、融會貫通，防止失誤在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，涉及充分條件和必要條件的失誤主要有三類：錯把充分條件當(dāng)成充要條件，錯把必要條件當(dāng)成充要條件，錯把非條件當(dāng)成條件。以下擬通過教例評析的形式分別對這三類失誤進行討論。1.莫把充分條件當(dāng)成充要條件在一堂四年級的數(shù)學(xué)課上，教師出示了一道課本中的判斷題：“三角形的面積是平行四邊形面積的一半。()”這道題目命題的錯誤是明顯的。因為任意一個三角形的面積絕不可能會是任意一個平行四邊形面積的一半，所以立即有學(xué)生舉手發(fā)言：“我認(rèn)為這是錯的，因為一個很大的三角形的面積不會等于一個很小的平行四邊形面積的一半。”本來這是一個完全正確的回答，然而教師沒有及時回應(yīng)，似乎還在等待符合預(yù)設(shè)的回答。接著，另一個學(xué)生發(fā)言：“要說等底等高才行?！边@時，教師高興地予以肯定：“答得非常正確。”并總結(jié)道：“只有在三角形與平行四邊形等底等高的情況下，三角形的面積才會等于平行四邊形面積的一半?！?.莫把必要條件當(dāng)成充要條件在一堂高年級的數(shù)學(xué)活動課上，一個學(xué)生拿一道題目向教師請教，教師干脆將這道填空題抄在黑板上，讓大家都來思考。這道題是：設(shè)，若m能被15整除，則x=()。不一會兒，一個學(xué)生舉手說：“我做出來了，x=5。”并解釋說：“因為15能被5整除，而m又能被15整除，所以m一定能被5整除。由此推出m的末位數(shù)字x應(yīng)當(dāng)是5?！苯處煷藭r正在教室內(nèi)巡視，聽了這個學(xué)生的發(fā)言后，未經(jīng)仔細(xì)推敲就隨口肯定：“完全正確?！惫P者認(rèn)為學(xué)生的回答是“不完全正確”，而教師的評價則是“完全不正確”。這個學(xué)生的推理中至少存在兩處錯誤。其一，由“m能被15整除”理應(yīng)推出“m既能被3整除，又能被5整除”。“m能被5整除”僅是“m既能被3整除，又能被5整除”的必要但不充分的條件，故而題設(shè)條件沒用全。其二，由“m能被5整除”理應(yīng)推出“x=0或x=5”，并不能推出“x=5”，在此，“x=0或x=5”只是“x=5”的必要但不充分的條件，而不是“x=5”的充要條件。正確的解法如下：因為15=3×5，3與5互質(zhì)，又m能被15整除，所以m能被3整除且m能被5整除。(1)因為m能被5整除，所以x=0或x=5；(2)因為m能被3整除，所以4+5+1+0+2+7+x=19+x能被3整除，故1+x能被3整除，x=2或x=5或x=8。取(1)、(2)結(jié)論之交集，即得x=5。3.莫把非條件當(dāng)成條件在一堂五年級的數(shù)學(xué)課上，師生們正在研究課本中有關(guān)“統(tǒng)計”的一道例題：“五(2)班要選10個同學(xué)組隊參加集體舞比賽。下面是20個候選隊員的身高情況（單位：m）：1.321.331.441.451.461.461.471.471.481.481.491.501.5l1.521.521.521.521.521.521.52根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為參賽隊員身高是多少比較合適？”教材上給出了3個學(xué)生的看法和教師的指導(dǎo)性意見。小林：我算出平均數(shù)是1.475，身高接近1.475m的比較合適。小平：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.485，身高接近1.485m的比較合適。小明：身高是1.52m的人最多，1.52m左右的比較合適。教師：用小明的方案選出的隊員身高均勻。緊接著，課本用兩行文字引入了“眾數(shù)”：“上面這組數(shù)據(jù)中，1.52出現(xiàn)的次數(shù)最多，是這組數(shù)的眾數(shù)。眾數(shù)能夠反映一組數(shù)據(jù)的集中情況?！痹诮處熞龑?dǎo)下，學(xué)生都對小明的方案表示贊同。為加深學(xué)生的印象并讓他們掌握規(guī)律，教師在教學(xué)時進行了小結(jié)：“大家記住，以后凡遇要求所選隊員身高均勻的問題時，都應(yīng)該把眾數(shù)作為選擇的標(biāo)準(zhǔn)?！苯處煹挠靡鉄o疑是好的，但這一“規(guī)律”的正確性卻值得推敲?？陀^事物是極其復(fù)雜的，具體問題還要具體分析。只憑一道例題就去作帶有普遍性的結(jié)論，這結(jié)論未必可靠，這種做法也未免太草率。把這位教師所說的“規(guī)律”換個方式表述，即得如下命題：“把眾數(shù)定作身高標(biāo)準(zhǔn)”是“所選隊員身高均勻”的充分條件?，F(xiàn)在要探討的就是這一命題的真假。就這道例題而言，以眾數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的確是對的，此時選出的10個隊員中就有7個的身高均為1.52m，另3個隊員的身高則分別為1.51m、1.50m和1.49m。極差（最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差）僅為0.03，確實最為均勻。然而，能否確保在任何情況下，只要以眾數(shù)作為選擇標(biāo)準(zhǔn)，所選隊員的身高就都是最均勻的呢？為弄清這個問題，我們不妨將上例中的數(shù)據(jù)稍加改變，讓這20個候選隊員的身高情況（單位：m）如下：1.321.331.341.371.381.391.441.441.451.451.461.461.471.471.481.481.511.521.521.52在這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)仍是1.52。但若依此標(biāo)準(zhǔn)選擇隊員，則這10個隊員的身高（單位：m）應(yīng)為1.521.521.