高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)配套教案5.3等比數(shù)列

3651n251422*n113651n251422*n11第五章

數(shù)列

第3課時(shí)

等比數(shù)列(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書文、(理～75)考情分析理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題．

考點(diǎn)新知①理等比數(shù)列的概念②掌等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前和公式③了等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(必修5P習(xí)2(1)改編)設(shè)是等比列{}前項(xiàng)，若＝1a＝，則5563＝．答案：7a×（－2）解析：q＝＝32q＝2＝＝7.a31(必修5P習(xí)改){a}等數(shù)列，＝，＝，則{}通公式＝49n25n．答案：＝2×3n解析：＝，＝，得所a＝，＝162(必修5P習(xí)改)等比數(shù)列{}，>0，aa＋a＋a＝36，則＋a＝49235463．答案：6解析：a＋a＋aa＝(a＋a)＝36又，∴，>0，∴＋＝241335必修習(xí)題改編已知兩個(gè)數(shù)＋和－k的比中項(xiàng)是2k＝________．49答案：3解析：已知得2k)＝(k＋9)(6－，kN，＝必修5P例改)等比數(shù)列{}，＝7，＝63則a＝________．51nn答案：2解析：已知得＝，q；＝1

n等數(shù)列的概念文語言果個(gè)數(shù)列從二項(xiàng)起一與它前項(xiàng)比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列．a(chǎn)符語言：_q(nN，q是等比數(shù)列的公比．a(chǎn)n等數(shù)列的通項(xiàng)公式

n1(nm)n11n*2mn1(nm)n11n*2m設(shè){}首為a，公比為q的比數(shù)列，則第項(xiàng)a＝aq．n1n推廣：＝nm等中項(xiàng)若aGb成比數(shù)列，則G為a和b的比中項(xiàng)且G＝±．等數(shù)列的前項(xiàng)和公式當(dāng)＝，S＝．n1a（－）－q當(dāng)≠，S＝＝．n1－等數(shù)列的性質(zhì)＝nm

．等數(shù)列{}，任意的、np、qNn殊的，若m＝2p則a＝．m

，若＋＝pq，則a＝a．mnpq等數(shù)列{}依每項(xiàng)的和仍成等比數(shù)，即、S－、S－S、?n2mm2m成比數(shù)列，其公比為≠－．[課記]

32n1－－n288i1n1aai1i＝1i32n1－－n288i1n1aai1i＝1i例1等數(shù){}前項(xiàng)和為，已知，，S成差數(shù)列．nn132求{}公；n若－＝3，求S13n解：(1)∵S，S成差數(shù)列，12∴＝S＋S，即＋＋a)＝＋a＋，3121a∴2a＝a，＝＝.322＝＝a，∴a－a＝3，∴a＝4，314141∴＝＝－－n33＋已知數(shù)列{}前n項(xiàng)為S，a＝，且2a＝＋2(nN)n11n求，的值，并求數(shù){}通項(xiàng)公式；2nn3解等式(n∈)ani1解：(1)∵＝＋＝＋23，∴＝.219∵2a＝S＋＝＋a＋2＝，＝.312234∵2a＝S＋，∴＝S＋2(n≥，兩式相減，得－2a＝－∴2a1nn1nn1n1

3－＝.則a＝a(n≥2)．∵＝，∴＝a(n∈N．＝≠0n12n212∴

a＝，{}等數(shù)列，＝a2nn

1

an

2＝3∴數(shù)項(xiàng)公比為的比數(shù)列數(shù)5項(xiàng)：1627，，，，.{a}前5項(xiàng)：1，，，.948n3n3∴＝時(shí)，成立；而n＝時(shí)≤；≥5，＜a＞，ananaiin∴≤.ai1

innn1n**n1ninnn1n**n1nn1n2*826n3∴不式(n∈)解集為{，，．a(chǎn)ni1例2已數(shù){}前項(xiàng)和為，＝a－∈．nnnn求，；12求：數(shù)列{}等數(shù)列；n求和n解：由3S＝－，得＝－1∴＝－112又＝－，即3a＋＝a－1得a＝.224證明：≥時(shí)＝－Sn1首項(xiàng)為－，公比為－的比列．2

11＝(a－1)－(a－，得＝，所{}11a1解：由(可得＝－，n－1－＝＝1－－－－備變（師享在數(shù)列{}，＝，a＝4a－＋，nNn1n

*求：數(shù)列{－n}是比數(shù)列；n求列{}前n項(xiàng)；nn求：不等式≤4S對(duì)任意n∈皆成立．1證明：題設(shè)a＝－＋，得－＋＝－，nN又－1，1nn1n所以數(shù)列{－n}是首項(xiàng)為，公比為4的比列．n解由(1)知a－nn

，于是數(shù)列{}通公式為a＝n

n1

＋n所以數(shù){}n－（n＋1）的前n項(xiàng)＝＋.n3

證明：對(duì)任意的n∈N

*

，S

－4S＝nn

－1（n＋1＋2＋

－

－（n＋）＋＝＋－4)≤0，所以不等式S≤4S對(duì)任意∈皆成立．21例3已等比數(shù){}，＝32a＝，n2n求列{}通公式；n設(shè)T＝loga＋a＋?a，的最大值及相應(yīng)的．n222na2解：(1)＝＝＝，a，以＝以a＝＝＝64為項(xiàng)，所以通項(xiàng)公a12q12

n17722*3323k3k25kk12252n51－n42nn17722*3323k3k25kk12252n51－n42nnx211122n22*式為＝n

＝2(n∈N)．設(shè)b＝loga，＝lognn

＝7所{}首為6，差為－1的差數(shù)列．n（－1）113169T＝＋(－1)＝－＋＝－－)＋.因?yàn)閚是然數(shù)，所以＝n22或n，最，其最大值是T＝＝21.n6備變（師享已知{}等比數(shù)列，＝2，＝，a＋＋?∈)的值范圍是n42n．答案：8，解析：＝，＝×q，q＝，5a1n1∴＝＝，∴a＝×＝，1qn∴a＝·＝，2∴a＋＋?a＝1223n

1＋＋?144＝32＋＋?＝32－32＝－∈，.例4定在(－∞，∪，＋)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù){}n{f(a)}仍等比數(shù)列，則稱f(x)為保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在(－∞，0)，＋)n上的如下函數(shù)：①f(x)＝x

2

；②f(x)＝2

；③＝；④＝ln(x)其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的．填序)答案：③fa）f（a）解析：證：①＝＝q；③＝f（a）f（a）n備變（師享

|a|n|an

＝已知數(shù)列{}前n項(xiàng)＝2nn

＋2n數(shù)列{}前n項(xiàng)T＝－.nn求列{}{}通公式；nn設(shè)＝·，明：當(dāng)且僅當(dāng)≥3時(shí)<cnnnn解：＝S4當(dāng)n≥2時(shí)＝S－S＝2n(n＋1)2(n－1)n＝1n1又a＝適合上式，＝4n(n∈)．1n將＝1代＝－b，b＝－b，T＝＝nn11當(dāng)≥2時(shí)T＝2－，T－，1nn∴b＝－＝b－b，nn1nn

1225n12254222104－－1225n12254222104－－10nn124n13∴b＝，＝n2n證明：法：由＝·＝·，nnnc112得＝1c2n4當(dāng)且僅當(dāng)n時(shí)，1＋≤2即c<c31證法：由c＝·＝·，nn得c－＝2[(n＋－2n]＝2[－－＋．1n當(dāng)且僅當(dāng)n時(shí)，c－，即c.1n1n(2013·大版已數(shù)列{a}足3a＋＝，a＝－，{}前項(xiàng)和為nnn23n．答案：－

10

)1解析：q＝－，＝4，則＝＝3(1311－

)．1(2013·新課標(biāo)1)若數(shù)列{}前和為＝a＋，數(shù)列{}通項(xiàng)公式是a＝nnn．答案：＝－n1解析＋＝a＋≥得＝a－＝2a≥2)nn1n33n1nn1＝＋，＝，故＝－.111n(2013·新課標(biāo)等比數(shù){}前項(xiàng)為S，知＝＋，＝9，則＝n2．答案：解析：條件得＋＋＝q，q＝，解得＝±3，＝111119若列{}足lga＝1lga，＋＋＝10，則lg(a＋＋)＝．nnn12答案：4a解析：條件知：＝，即數(shù)列{}公比為的比數(shù)列，所以lg(a＋＋a)an56n＝lgq(a＋＋)＝123等數(shù){}前項(xiàng)為，知＋＝，a＝，S，n和nn1n

1nn1n1n1＝，nn－q1n12n11nn1n1n1＝，nn－q1n12n1na（1）1－22an1n1nn152比q的值．解：解法1在等比數(shù){}，a＝a＝nn2n，又a＋＝，∴，解得或∴≠由a＝aqn

1

和S＝n

a（1q）＝，－＝，＝，，得）或－q）解或＝126＝，q＝解法：當(dāng)q＝1時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)不合適，由題意可得a（1）＝66，①1a＝128，②1＝，③由②可得

1

＝，入①，得a11

1＝66，化簡(jiǎn)得1－＋1280，解得1（－32q＝2或＝64.當(dāng)＝2①q＝32＝q＝32代入③1－＝126解得＝2.又q

＝32即＝32

，n同理，當(dāng)a＝時(shí)，可解得＝，n＝6.12綜上所述，n的為6q＝.已數(shù){}前n項(xiàng)為，＝，＝＋1設(shè)＝－.明：數(shù)列nnnnn等數(shù)列．n證明：由于＝＋1，①當(dāng)n≥時(shí)，＝4a＋1.②1n1①－②得a＝－4a.1n所以a－2a＝2(a－．11又b＝－，所以b＝2b因a＝，且a＋a＝＋，＝＋＝4.所nnnn11以b＝－2a＝，故數(shù){}首為，公比為的等比數(shù)列．121遼寧)已知等比數(shù)列{}遞數(shù)列，S是{}前和，若a，a是程nn1－＋4＝0的個(gè)根，則＝________．6答案：63

2×（1解析因?yàn)榈缺葦?shù)列{}遞增數(shù)列以＝1＝則q2故S＝n31＝63.已數(shù){}首＝2a1(a常數(shù)，且a≠－1)，n

）a＝2a＋n1

－4n＋2(n，數(shù)列{}首項(xiàng)b＝，n1＝＋nn

2

≥．

2222nn2nnnn1n1n2nnn12222nn2nnnn1n1n2nnn1證：}第2項(xiàng)是以為公比的等比數(shù)列；n設(shè)為列{}前項(xiàng)，{}等數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的；nn當(dāng)時(shí)求數(shù){}最項(xiàng)．n證明：b＝＋nnn

，∴b＝＋＋nn

2

＝＋(n＋n

－4(n＋1)＋2(n＋＝＋2n＝2b≥2)．n由a＝2a＋，得a＝，b＝＋4＋，≠－11