正態(tài)分布及其經(jīng)典習(xí)題和答案

23172317例）知隨變量X服二項(xiàng)分布，且E（X），VX，則二項(xiàng)分布參數(shù)n，p的為An=4p=0.6Bn=6,p=0.4n=8，p=0.3Dn=24p=0.1答：B。解：

E)

。（）態(tài)曲線下、橫上，從均數(shù)到

的積為。A．95%．50%．97.5%．不能確定（標(biāo)準(zhǔn)差的大小關(guān)）答：B。解：由正態(tài)曲線特點(diǎn)知。（3某班48同學(xué)，一次考后的學(xué)成績服從正分布，平均分80，準(zhǔn)差為10，理論說在80分分的人數(shù)（）A32B168D答：B。解析:數(shù)學(xué)績是X—)，(80X90)PZ(00.3413,480.34131610

。（）1，2，3，5這五數(shù)中任取兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)之的數(shù)學(xué)期望___________。答：8.5。解析設(shè)兩數(shù)之積為XX

20.1

30.1

40.1

50.1

60.1

80.1

100.1

120.1

150.1

200.1∴（）圖，兩個(gè)正態(tài)布曲線圖：

1為

(x

，為

(x)

，

則

，

（大于，小于）

12答：＜，＞。解：由正態(tài)密度線圖象的特征。【內(nèi)練習(xí)】1．標(biāo)正態(tài)分布的均與標(biāo)準(zhǔn)差分別(。A．0與1．10C．0與D與1答：A。析：由標(biāo)準(zhǔn)正分布的定義知2．正分布有兩個(gè)參，()相的正態(tài)曲線的狀越扁平。A．大．?。紻越答：。解析：由正密度曲線圖象特征知。

3．已

個(gè)據(jù)

x,,12

n

，么

1ni

i

是A

B2．（）答：。解析：由差的統(tǒng)計(jì)定義。4．設(shè)

~(n,p，E

，

，則的是。答：4。解：

E

D5．對(duì)個(gè)數(shù)學(xué)題，甲出的概率為，乙解的概率為，人獨(dú)立解題。X為出題的人，則E34。（X=答：。解析：12

112143(X,P(X1),PX34124412

。

15357∴E)215357

。126．設(shè)機(jī)變量服正態(tài)分N

，下列結(jié)論正確是。(1)

(|

a)P

a)

|a)(a(2)

P()a0)(3)

P

(

)(a(4)

P

a)(|

|a)(a0)答：(1),(2),(4)。解：(|

a)

。7．拋一顆骰子，設(shè)得點(diǎn)數(shù)為X則D（X）。答：。析：PX)L,612【業(yè)本】

，定義計(jì)算得E(X)(。2A組1．袋裝有5只球，編號(hào)為，23，中任3球以X示取出球的大號(hào)碼，則（X等于（）A4B、5C4.5D、答：。解析X的分布為X

30.1

40.3

50.6故（X=30.1+4

0.6=4.5。2．下函數(shù)是正態(tài)分密度函數(shù)的是（）A

fx)

2

B

f(x)

2

x22C

fx)

2

D．

f()

1

答：B。解：選項(xiàng)B是準(zhǔn)正態(tài)分布密函數(shù)。3．正總體為

概密度函數(shù)

f(

是（）A奇數(shù)B偶函．非奇偶函數(shù)．既是奇函數(shù)是偶函數(shù)答：B。解：f(x)

1

e

。4．已正態(tài)總體落在間

的率是．，么相的正態(tài)曲線在

x

時(shí)到最高點(diǎn)。答：0.2。解析正態(tài)曲線關(guān)于線稱，由意知0.2

。5．一英語測(cè)驗(yàn)由道選擇構(gòu)成，每道有個(gè)項(xiàng)，其中有且有一個(gè)是正確，每個(gè)選對(duì)分選錯(cuò)不選均不得分滿分120分某學(xué)生選一道題的概率，求該在這測(cè)驗(yàn)中的成績期望為；方差為。答875.6析X為生選對(duì)題個(gè)數(shù)為績X（50∴×0.7=28V(X)=40×

，。故E(ηV(η，。6．某進(jìn)行一個(gè)試驗(yàn)若試驗(yàn)成功則止，若實(shí)驗(yàn)失，再重新試驗(yàn)次，試驗(yàn)三次均失，則放棄試驗(yàn)若此人每次試成功的概率為解：X的分布列為X

23

，此人試驗(yàn)次數(shù)X的布列及期和方差。12

23

29

19故

22138X)())39997．甲乙兩名射擊運(yùn)員，甲射擊一命中10環(huán)概為0.5，射擊一次命中10環(huán)概率為s若他獨(dú)的射擊兩次，乙命中10環(huán)次數(shù)X，分列及期望.

，Y為與命中10環(huán)差的絕對(duì)求值及Y的答：解：由已知得

X~(2,)，故2

4,所以3

．有Y的值可以是0，，2.甲乙兩人命中10環(huán)次數(shù)都是0次概率是

11()2)2336

，甲乙兩人命中10環(huán)次數(shù)都是1次概率是甲乙兩人命中10環(huán)次數(shù)都是2次概率是

1111212()()22339122()()2239

，所

1213P(Y0)36936

；甲中10環(huán)次數(shù)是2乙命中環(huán)次數(shù)是次概率是

11()2)22336

，甲中10環(huán)次數(shù)是0且命中10環(huán)的次是次概率是

1121()()2239所

P(Y

111，故(Y(Y369362所Y的分布是Y

123所Y的期望是（Y）=

。

B組1．某品的廢品率為，中取出個(gè)品，其中的次數(shù)X的差（）A0.5B、D答：B。解：B10，0.05V()0.050.475

。2．若態(tài)分布密度函fx)

12

e

x)，列斷正確的是（）A有大值，也有最值B有最值，但沒最小C有最大值，沒最大值D．無大值和最小值

28答B(yǎng)283．在次英語考試中考試的成績服正態(tài)分布

100,36)

，么考試成績?cè)陂g

88,112

內(nèi)概率是A0．．．3174．．D0．9974答：。析：由已知X—（100故X112)P

88P2)2P(Z66

。4．袋有個(gè)黑個(gè)球，個(gè)球，從任取2個(gè)，取到一個(gè)黑球0分每取到個(gè)白球得1分若到一個(gè)紅球則2分用X表得分，則E（X）________；_________.答：

；。析：由意知X可值是，，，3，。得其率分布如下：XP

012341111636E(X)=0

111114+1×＋2×＋3×＋4×＝3636V(X)=

0

2

1111×1×＋×＋×＋×－＝636

注要求次品數(shù)的學(xué)期望與方差應(yīng)先列出次品X的分布。5．若機(jī)變量X的率分布密函數(shù)是

(x)

122

e

(R)

，

E

=

。答：-5。解析：

2()

。6．一書有500頁，有100錯(cuò)字，隨機(jī)布在任意一頁，求一頁上錯(cuò)個(gè)數(shù)X的均、標(biāo)準(zhǔn)差解∵X—B

111E)100)500500500X的準(zhǔn)差()。8．一電池（一節(jié)）于手電筒的壽服從均值小時(shí)、標(biāo)準(zhǔn)差4.4小的正態(tài)分布隨機(jī)從這批電中意取一節(jié)，問節(jié)電池可持續(xù)用不少于40小的概是多少？答：解：電池的用壽命X—N(35.6,4.4)則

((

40)PZ1)P(4.4即節(jié)電池可持續(xù)用不少于小的概率是0.1587正分布雙自測(cè)1．有一態(tài)總體，它的率密度曲線是數(shù)(的圖，且fx)＝平數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分()A與8B．10與2．8與10．210

1x－10e－8π

，這個(gè)正態(tài)總體解由

18π

e－

x－108

1＝2πσ

xμ2

，知σ＝2μ＝10.答案B2．(2011·)已隨機(jī)量ξ服從正態(tài)分N(2σ

)，(＜4)＝0.8，(0＜ξ＜2)于．

32σA．0.6．0.4．0.3．0.232σ解由(ξ＜4)＝0.8知(＞4)(＜0)＝0.2，P＜＜2)＝0.3.故選C.案C3．(2010·)已隨機(jī)量X服正態(tài)布(3,1)，且(2≤＝0.6826，X等于()．A．0.1588B．0.158．0.1586．0.15851解由態(tài)曲線質(zhì)知，其圖象于直線x＝3對(duì)稱P＞4)＝0.5－(2≤≤4)＝0.5－×0.6822＝0.1587.故選B4．(2010·)已隨機(jī)量X服正態(tài)布(0，σ

)，若(>2)＝0.023則(－2≤2)等于(．A．0.477B．0.628C．0.954．0.977解P(≤X≤2)＝1(X>2)＝0.954.答案C5．隨機(jī)量X服從態(tài)布(2,9)若(>＋1)P(X<－1)，c于)．AB．2C．3．4c＋1＋－1∵＝2由正態(tài)分布的義知其函數(shù)圖關(guān)于x＝2稱，于是，∴c＝2.答B(yǎng)2考一正曲線性質(zhì)1【】若個(gè)正態(tài)分布的率密度函數(shù)是個(gè)偶函數(shù)，且函數(shù)的最大值42π(1)該正分布的概率密函數(shù)的解析式(2)正態(tài)體在－4,4]的率．

.解(1)由于該正態(tài)布的概率密度數(shù)是一個(gè)偶函，所以其圖象于

y軸稱即由

1＝2πσ11x，σ＝4，故該正分布的概率密函數(shù)的解析式()＝－，∈(－，＋．2π·44π(2)(－4<＝(0≤0＋4)＝(μ－σ<≤＋σ)＝0.6826.【練1】設(shè)個(gè)態(tài)分布(，σ)(σ＞0)和(，σ)(σ＞0)密度函數(shù)圖如圖所示，則()A．＜，＜σB．＜，＞σC．＞，＜σD．＞，＞σ解根據(jù)正態(tài)分N(μ)數(shù)的性質(zhì)：正分布曲線是一關(guān)于直線＝μ對(duì)，在＝處取最大值的連鐘形曲線σ越大曲線的最高點(diǎn)低且較平；反過來σ越小，曲線最高點(diǎn)越高且陡峭，故選A.考二服正態(tài)布的概率計(jì)算【】設(shè)X～(1,2)，試(1)(－1<；(2)(3<≤5)；(3)(≥5)

1解X～(1,2)，∴μ＝1σ＝2.1(1)(－1<＝(1≤1＋2)＝(μ－σ<≤＋σ)＝0.6826.1(2)(3<＝－3<≤－1)∴(3<X≤5)＝P(－3<≤5)－(－1<≤3)]211＝[P(1X≤1＋4)－－2<≤1＝(μ－2<X≤＋2σ)(μ－<≤＋)]221＝×(0.9544－0.682＝0.1359.211(3)(X≥5)P(≤－3)∴X≥5)[1(－3<≤5)]－(1－4<X＋4)]2211＝－P(－2<≤＋2)]×(1＝0.0228.22【練2】隨機(jī)變?chǔ)畏龖B(tài)分布N(1，)，知P(＜0)＝0.3，P(ξ＜2)＝________.解由意可知態(tài)布的圖象于直線＝1對(duì)稱所以＞2)＝ξ＜0)＝0.3(＜2)＝1－0.3＝0.7.答案0.7考三正分布應(yīng)用【】2011年中汽車售量達(dá)到1700輛，汽車耗量對(duì)汽車的銷有著非常重要影響，各個(gè)汽制造業(yè)積極采用新術(shù)降低耗油量車造公司為調(diào)查種型號(hào)的汽車耗油情況查了1200名主，據(jù)計(jì)該種型號(hào)的車的平均耗油百公里8.0升且汽車的耗油ξ服從態(tài)分布N(8σ∈[7,9]的率為0.7那么油量大于升汽車大約________輛

)已知耗量解

由意可知ξ～(8)故態(tài)分布曲線以＝8對(duì)稱軸因(7≤≤9)＝0.7P(7ξ≤9)P(8≤ξ＝0.7，以(8≤9)＝0.35而Pξ≥8)＝0.5，所以P(ξ＝0.15故耗油量大于升汽車大約有1200×0.15＝180．【練3】工廠制的某機(jī)械零件寸X服從態(tài)分布9不于區(qū)間(3,5]這尺寸圍的零件大約多少個(gè)？

，在一次正常的驗(yàn)中，取1個(gè)零件時(shí)，1解X～9

1，∴＝4，σ＝.不屬區(qū)間3,5]的率為3P(≤3)＋P(＞5)＝1－＜≤5)＝1－(4－1＜X≤4＋1)＝1－μ－3＜≤＋3)－0.997＝0.002≈0.003，000×0.003個(gè)，即屬于區(qū)間(3,5]個(gè)尺范圍的零件大有3個(gè)閱報(bào)告19正分布中概率計(jì)錯(cuò)誤【題診斷】正分布是中階段唯一連型隨機(jī)變量的布，這個(gè)考點(diǎn)然不是高考的點(diǎn)，但在近幾新課高考中多次出中值計(jì)算是考查一個(gè)熱點(diǎn)生往不注意對(duì)些數(shù)值的記憶導(dǎo)致解題無從手或算錯(cuò)誤．【范措施】對(duì)態(tài)分布μ，)兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)值及其意義該理透徹并記住，注意第二個(gè)數(shù)應(yīng)為σ而是，同時(shí)，記住態(tài)密度曲線的條性質(zhì)．

【例】已某數(shù)學(xué)考試的成服從正態(tài)分布N(116，64)，則成績140分上的考生所占百分比為A．0.3%BC．1.5%．0.15%錯(cuò)(1)不能正確出該態(tài)分布的兩個(gè)數(shù)μ，導(dǎo)致計(jì)算