人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版八年級上冊第十三章實(shí)數(shù)1實(shí)數(shù)全國一等獎(jiǎng)

數(shù)系數(shù)系通常指包括自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的系統(tǒng).數(shù)的觀念具有悠久的歷史，尤其是自然數(shù)的觀念，產(chǎn)生在史前時(shí)期，詳情已難于追索，但對數(shù)系建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)，則是19世紀(jì)下半期才完成.自然數(shù)建立自然數(shù)概念通常有基于基數(shù)與基于序數(shù)兩種方法.基于基數(shù)的自然數(shù)概念可溯源于原始人類用匹配方法計(jì)數(shù).古希臘人用小石卵記畜群的頭數(shù)或部落的人數(shù).現(xiàn)在使用的英語calculate（計(jì)算）一詞是從希臘文calculus（石卵）演變來的.中國古代《易·系辭》中說，上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契，這都是匹配計(jì)算法的反映.集合的基數(shù)具有元素“個(gè)數(shù)”的意義，當(dāng)集合是有限集時(shí)，該集合的基數(shù)就是自然數(shù).由此可通過集合的并、交運(yùn)算定義自然數(shù)的加法與乘法（見算術(shù)）.為了計(jì)數(shù)，必須有某種數(shù)制，即建立一個(gè)依次排列的標(biāo)準(zhǔn)集合.隨后對某一有限集合計(jì)數(shù).就是將該集合中每個(gè)元素順次與標(biāo)準(zhǔn)集合中的項(xiàng)對應(yīng)，所對應(yīng)的最后的項(xiàng)，就標(biāo)志著給定集合元素的個(gè)數(shù).這種想法導(dǎo)致G.皮亞諾1889年建立了自然數(shù)的序數(shù)理論.皮亞諾規(guī)定自然數(shù)集滿足下列五條公理，這里“集合”、“含有”、“自然數(shù)”、“后繼”等是不加定義的.①是自然數(shù).②不是任何其它自然數(shù)的后繼.③每個(gè)自然數(shù)都有一個(gè)后繼（a的后記為a/）④a/=b/蘊(yùn)含a=b⑤設(shè)S是自然數(shù)的一個(gè)集合.如果S含有1，且S含有a蘊(yùn)含S含有a/，則S含有任何自然數(shù).公理⑤就是熟知的數(shù)學(xué)歸納法公理.一切自然數(shù)集記為{1,2,3,…，n…}，簡記為N.從上述公理出發(fā)，可以定義加法和乘法，它們滿足交換律與結(jié)合律，加法與乘法滿足分配律.整數(shù)在自然數(shù)集N之外，再引入新的元素0，-1，-2，-3，…，-n，….稱N中的元素為正整數(shù)，稱0為零，稱1，-2，-3，…，-n，….為負(fù)整數(shù).正整數(shù)、零與負(fù)整數(shù)構(gòu)成整數(shù)系.零不僅表示"無"，它在命數(shù)法中還個(gè)有特殊的意義：表示空位的符號.中國古代用算籌計(jì)數(shù)并進(jìn)行運(yùn)算，空位不放算籌，雖無空位記號，但仍能為位值記數(shù)與四則運(yùn)算創(chuàng)造良好條件.印度--阿拉伯命數(shù)法中的零來自印度的零（sunya）字，其原意也是"空"或"空白".中國最早引入了負(fù)數(shù).《九童算術(shù)·方程》中論述的“正負(fù)術(shù)”，就是整法的加減法.減法運(yùn)算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然數(shù)，則方程未必有自然數(shù)解.為了使它恒有解，就有必要把自然數(shù)系擴(kuò)大為整數(shù)系.關(guān)于整數(shù)系的嚴(yán)格理論，可用下述方法建立.在N×N（即自然數(shù)有序?qū)Φ募┥隙x如下的等價(jià)關(guān)系：對于自然有序?qū)Γǎ?，（，），如?=+，就說（，）～（，），N×N，關(guān)于上述等價(jià)關(guān)系的等價(jià)類，稱為整數(shù).一切整數(shù)的集記為Z.有理數(shù)古埃及人約于公元前17世紀(jì)已使用分?jǐn)?shù)，中國《九童算術(shù)》中也載有分?jǐn)?shù)的各種運(yùn)算.分?jǐn)?shù)的使用是由于除法運(yùn)算的需要.除法運(yùn)算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整數(shù)，則方程不一定有整數(shù)解.為了使它恒有解，就必須把整數(shù)系擴(kuò)大成為有理系.關(guān)于有理數(shù)系的嚴(yán)格理論，可用如下方法建立.在Z×（Z-{0}）即整數(shù)有序?qū)Γǖ诙坏扔诹悖┑募隙x的如下等價(jià)關(guān)系：設(shè)，Z，，Z-{0}，如果=.則稱（，）～（，）.Z×（Z-{0}）關(guān)于這個(gè)等價(jià)關(guān)系的等價(jià)類，稱為有理數(shù).（p，q）所在的有理數(shù)，記為.一切有理數(shù)所成之集記為Q.令整數(shù)p對應(yīng)一于，即（p，1）所在的等價(jià)類，就把整數(shù)集嵌入到有理數(shù)的集中.因此，有理數(shù)系可說是由整數(shù)系擴(kuò)大后的數(shù)系.引起數(shù)學(xué)危機(jī)的無理數(shù)理數(shù)，顧名思義，與有理數(shù)相對.那么它就是不能表示為整數(shù)或兩整數(shù)之比的實(shí)數(shù)，比如等等.如果不作數(shù)學(xué)計(jì)算，在實(shí)際生活中，我們是不會(huì)碰到這些數(shù)的.無論是度量長度，重量，還是計(jì)時(shí).第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)，當(dāng)時(shí)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個(gè)名叫希帕索斯的學(xué)生，在研究1和2的比例中項(xiàng)時(shí)（若1：X=X：2，那么X叫1和2的比例中項(xiàng)），怎么也想不出這個(gè)比例中項(xiàng)值.后來，他畫一邊長為1的正方形，設(shè)對角線為X，于是.他想，X代表對角線長，而，那么X必定是確定的數(shù).但它是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)呢？顯然，是1和2之間的數(shù)，因而X應(yīng)是1和2之間的數(shù)，因而不是整數(shù).那么X會(huì)不會(huì)是分?jǐn)?shù)呢？畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用歸謬法證明了，這個(gè)數(shù)不是有理數(shù)，它就是無理數(shù).無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，對以整數(shù)為基礎(chǔ)的畢氏哲學(xué)，是一次致命的打擊，以至于有一段時(shí)間，他們費(fèi)了很大的精力，將此事保密，不準(zhǔn)外傳，并