綜合實(shí)踐課鍛煉學(xué)生“在做中學(xué)”論文

綜合實(shí)踐課鍛煉學(xué)生“在做中學(xué)”摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確要求教師要引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，利用觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，獲得數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；要培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界；要在實(shí)際問(wèn)題的解決中，創(chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方式方法的變革。 關(guān)鍵詞：折紙，動(dòng)手能力，應(yīng)用意識(shí)，信息技術(shù)

引言：當(dāng)今教師的教和學(xué)生的學(xué)，普遍都重基礎(chǔ)知識(shí)和解題能力，應(yīng)試的功利思想較為濃厚，中考不考的一般不教，導(dǎo)致學(xué)生思維僵化、動(dòng)手能力較弱，更不擅長(zhǎng)從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，進(jìn)而設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，探究規(guī)律。筆者近期執(zhí)教折紙系列課堂之“探究A4紙的長(zhǎng)與寬之比”，讓學(xué)生在獨(dú)立思考與合作交流中通過(guò)測(cè)量、計(jì)算提出猜想，通過(guò)折紙、推理探究出A4、A3紙的長(zhǎng)與寬之比，通過(guò)剪切拼接得到A型紙尺寸設(shè)計(jì)的實(shí)際價(jià)值?，F(xiàn)將磨課過(guò)程與反思改進(jìn)整理成文，與讀者分享。一、教學(xué)背景分析1．內(nèi)容背景 本節(jié)課改編自蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》實(shí)驗(yàn)11：打印紙中的數(shù)學(xué)，內(nèi)容如圖1。筆者面向滬科版九年級(jí)學(xué)生，設(shè)計(jì)并執(zhí)教本節(jié)課。圖12．學(xué)情分析學(xué)生已具備：折垂直、平行、角平分線、特殊三角形、正方形等經(jīng)驗(yàn)，并能在折紙的過(guò)程感悟到簡(jiǎn)單的線段與角的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，已掌握：實(shí)數(shù)、勾股定理、角平分線、三角形、矩形、相似等知識(shí)，解題能力較強(qiáng)，但缺乏將這些知識(shí)運(yùn)用到動(dòng)手操作中的能力，用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)的能力較弱。3．教學(xué)目標(biāo) （1）能夠通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究出A4與A3打印紙長(zhǎng)與寬的比值，感受無(wú)理數(shù)的存在，發(fā)展數(shù)感，提高動(dòng)手能力；

（2）結(jié)合生活實(shí)際，理解A型紙尺寸設(shè)計(jì)的用意，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)；

（3）經(jīng)歷自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)過(guò)程，會(huì)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，探究規(guī)律。4．教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：通過(guò)實(shí)驗(yàn)，探究出A4、A3打印紙長(zhǎng)與寬的比值。難點(diǎn)：如何通過(guò)折紙驗(yàn)證A4紙的長(zhǎng)寬之比為 2。二、教學(xué)過(guò)程1.提出問(wèn)題，測(cè)量、猜想 發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的主要途徑，所以教師一開(kāi)始就提問(wèn)：觀察這張A4打印紙，你覺(jué)得可以研究與A4紙有關(guān)的哪些問(wèn)題？學(xué)生表示想要研究其長(zhǎng)寬、面積、周長(zhǎng)、厚度等問(wèn)題。教師通過(guò)引導(dǎo)，指出：我們將打印紙抽象成平面圖形——矩形，提出“探索A4紙長(zhǎng)與寬的比值”的本課主題。怎樣研究呢？學(xué)生表示可以通過(guò)測(cè)量和計(jì)算。操作后得出A4紙長(zhǎng)與寬的比值都集中在一個(gè)熟悉的數(shù)的附近——1.414，從而引發(fā)猜想——A4紙長(zhǎng)與寬的比值為 2。2．動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想 如何驗(yàn)證這一猜想呢？學(xué)生指出， 2使人聯(lián)想到等腰直角三角形的斜邊與直角邊之比，可以通過(guò)折紙驗(yàn)證。下面是小組成果：圖2圖3小組1學(xué)生1：將A4打印紙按上圖1方式折疊，易知?ABE為等腰直角三角形,假設(shè)AB=x，則有AE=2x。再拿出另一張A4紙，如圖2比對(duì)，發(fā)現(xiàn)這張A4紙的長(zhǎng)邊恰好能與折痕AE重合，從而說(shuō)明A4紙的長(zhǎng)也是2x，易得A4紙的長(zhǎng)與寬之比為 2。圖4圖5小組1學(xué)生2：在圖１折疊的基礎(chǔ)上，已經(jīng)得出AE的長(zhǎng)度為2x，只需再將∠DAE按圖3的方式進(jìn)行對(duì)折，可以發(fā)現(xiàn)AD恰好能與AE重合，從而說(shuō)明AD=AE=2x,易得A4紙的長(zhǎng)與寬之比為 2。小組1同學(xué)3：在圖１折疊的基礎(chǔ)上，已經(jīng)得出AE的長(zhǎng)度為2x，沿著DE折疊，正好可以將CD折到AE上，利用折疊前后角相等得∠CED等于∠AED，由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得∠CED等于∠ADE，所以∠AED等于∠ADE，由“等角對(duì)等邊”可得AD=AE。在操作的過(guò)程中，大部分同學(xué)都能夠折疊出ΔABE，但如何將AE長(zhǎng)與A4紙的長(zhǎng)相關(guān)聯(lián)呢？這一組同學(xué)1的方法是利用現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)素材，直觀比對(duì)；同學(xué)2的方法是將長(zhǎng)折疊過(guò)來(lái)，發(fā)現(xiàn)重合；同學(xué)3的方法是折疊加幾何知識(shí)，邏輯推理。三種方法都突破了這一難點(diǎn)，使得問(wèn)題迎刃而解，學(xué)生的關(guān)鍵能力得到了培養(yǎng)。圖6圖7小組2同學(xué)1：如圖5，先沿著長(zhǎng)邊中線對(duì)折得到折痕MN，再將點(diǎn)與點(diǎn)折至折痕處，分別得點(diǎn)B'與點(diǎn)C'，易知兩點(diǎn)重合，這樣就得到兩個(gè)小的等腰直角三角形ΔHNB'和ΔINB'，易證H、B'、I三點(diǎn)共線，所以ΔHIN是一個(gè)大的等腰直角三角形，設(shè)其直角邊HN為，則斜邊HI為2x，也就是A4紙的長(zhǎng)，再通過(guò)比對(duì)（如圖6）得到A4紙的寬為，易得A4紙的長(zhǎng)與寬之比為 2。圖8小組2同學(xué)2：還有一個(gè)原理相同的方法，如圖7，先沿著長(zhǎng)邊中線對(duì)折得到折痕MN，再將點(diǎn)折至折痕處得點(diǎn)B'，易知ΔINB'為等腰直角三角形，設(shè)B'I為x，則HI為2x，AD=2B'I=2x，也可得A4紙的長(zhǎng)與寬之比為 2。圖9圖10小組3：如圖7，分別將∠ADC、∠DAB對(duì)折，此時(shí)兩條折痕AJ、DK交于一點(diǎn)O，易得ΔAOD為等腰直角三角形，設(shè)AD= 2x，則AO=x。再將AB邊向上翻折，如圖8，發(fā)現(xiàn)AB邊恰好與AO邊重合，說(shuō)明AB的長(zhǎng)度也是，或通過(guò)比對(duì)也可得出A4紙的寬與AO等長(zhǎng)，從而得出結(jié)論。第1組同學(xué)從設(shè)寬為入手，嘗試驗(yàn)證長(zhǎng)為2x，而同樣是構(gòu)造等腰直角三角形，第3組同學(xué)卻先假設(shè)長(zhǎng)為2x，再去驗(yàn)證寬為?？傊瑹o(wú)論是什么方法，比對(duì)、折疊還是幾何證明，都致力于將A4紙的長(zhǎng)和寬集中到一個(gè)等腰直角三角形中，使得長(zhǎng)為斜邊，寬為直角邊，從而A4紙的長(zhǎng)與寬之比為 2。課堂上，在不同探究方法的交流與分享中，學(xué)生感受到了方法的融通，促進(jìn)了思維品質(zhì)的提高。3．學(xué)會(huì)遷移，拓展生長(zhǎng) 有了A4紙的研究經(jīng)驗(yàn)，教師讓學(xué)生選一種自己掌握的折紙方法探究A3紙的長(zhǎng)寬之比，同學(xué)們幾乎都能熟練地通過(guò)折紙發(fā)現(xiàn)A3紙的長(zhǎng)寬之比也是 2。4．課堂小結(jié)，總結(jié)提升問(wèn)題解決后，教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入課堂小結(jié)：（1）本節(jié)課研究了什么？（2）你是怎么研究的？積累了哪些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？（3）其中蘊(yùn)含著哪些思想方法？5．不止課上，更至課外生活中常見(jiàn)的紙型除了Ａ型打印紙，還有Ｂ型打印紙和Ｋ型紙，例如信封和護(hù)照就是B型紙，書(shū)籍是Ｋ型紙。Ｂ型紙和Ｋ型紙的長(zhǎng)寬之間又具有怎樣的關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合本節(jié)課的探究方法，課下自主探究。此問(wèn)題的提出使得“認(rèn)識(shí)Ａ型打印紙”又上升為“認(rèn)識(shí)各類常見(jiàn)紙張”，學(xué)生所獲得知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)、思維又有了新的發(fā)展空間，因此，學(xué)生享受到了完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。三、教后反思本節(jié)課教師將紙張、直尺這些學(xué)習(xí)和生活中常見(jiàn)的物品做為研究素材和實(shí)驗(yàn)工具進(jìn)行開(kāi)發(fā)，讓學(xué)生自己提出問(wèn)題，度量、猜想，再合作分析問(wèn)題，折疊、推理，進(jìn)而解決問(wèn)題。從課堂上看，很多折紙方法都是經(jīng)由老師提醒學(xué)生才能想出來(lái)，即使有個(gè)別學(xué)生想出來(lái)，分析時(shí)很多同學(xué)也沒(méi)有聽(tīng)明白。由于事先準(zhǔn)備不充分以及課堂探究時(shí)間不足，教師比較傾向于尋找自己提前預(yù)設(shè)好的方法，對(duì)于學(xué)生的其他方法，要不將其與預(yù)設(shè)的方法歸為一類，要不判定為錯(cuò)誤后就不予引導(dǎo)了。其實(shí)尋求真知的過(guò)程就是要不斷地試錯(cuò)，只有不同方法百花齊放，本節(jié)課的數(shù)學(xué)味道才濃。教師應(yīng)該不僅關(guān)注學(xué)生的正確做法，也要關(guān)注學(xué)生的錯(cuò)誤做法，善于捕捉學(xué)生思想的閃光點(diǎn)，給予啟發(fā)引導(dǎo)。 本節(jié)課無(wú)論是課堂設(shè)計(jì)還是師生互動(dòng)都平淡如水，思維含量不高，經(jīng)過(guò)反思，筆者覺(jué)得主要有以下幾點(diǎn)問(wèn)題：

（1）本節(jié)課開(kāi)頭，動(dòng)手測(cè)量A4紙的長(zhǎng)與寬并計(jì)算長(zhǎng)寬之比，占用了學(xué)生很 這個(gè)數(shù)值，長(zhǎng)時(shí)間，但這并不是本節(jié)課的重點(diǎn)，此操作只是為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn) 2

進(jìn)而引發(fā)猜想。由于此環(huán)節(jié)用時(shí)過(guò)長(zhǎng)而導(dǎo)致后面的探究時(shí)間不夠，教師只能生拉硬拽完成本節(jié)課；

（2）從課堂情況看，如何通過(guò)折紙去驗(yàn)證“A4紙的長(zhǎng)與寬之比為 2”這一猜想，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)難度很大，甚至有很多學(xué)生拿著A4紙審視良久，遲遲不知從哪兒下手折起。（3）經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的應(yīng)用是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界的主要途徑。本節(jié)課在探究完A4紙后，讓學(xué)生選一種折紙方法探究A3紙的長(zhǎng)寬之比，只是前面所學(xué)折紙方法的簡(jiǎn)單重復(fù)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力并沒(méi)有得到更深層次的發(fā)展。（4）本節(jié)課選用生活中常見(jiàn)的物品做為研究素材，從生活中來(lái)，但并沒(méi)有回到生活中去：探究出“A4紙的長(zhǎng)與寬之比為2”，但為什么是2這個(gè)比值呢？它有什么實(shí)際價(jià)值呢？沒(méi)有這樣的思考，本節(jié)課的探究就如漂浮在空中的樓閣，無(wú)法落地。四、改進(jìn)設(shè)計(jì) 基于以上的問(wèn)題分析，筆者進(jìn)行了如下的教學(xué)改進(jìn)設(shè)計(jì)，把學(xué)生觀察思考、動(dòng)手操作、合作交流與信息技術(shù)的有效運(yùn)用相結(jié)合，重新執(zhí)教后效果良好，學(xué)生的收獲也得到了質(zhì)的飛躍：

（1）學(xué)生運(yùn)用智慧課堂平板中的計(jì)算器計(jì)算A4紙的長(zhǎng)寬之比，節(jié)省筆算時(shí)間，并通過(guò)希沃易課堂將數(shù)值上傳，上傳頻率比較高的數(shù)值，字體會(huì)比較大，結(jié)果可以很直觀地看出：1.414字體最大，同學(xué)們很容易聯(lián)想到 2。（2）教師放手讓學(xué)生先去折等腰直角三角形，再思考如何說(shuō)明A4紙的長(zhǎng)寬之比為2，將難題分解，達(dá)到突破難點(diǎn)的效果。學(xué)生很容易由2這個(gè)比值聯(lián)想到等腰直角三角形，所以先折等腰直角三角形，學(xué)生樂(lè)意動(dòng)手。在課堂上，學(xué)生用不同方法折出了大小不同的等腰直角三角形，此時(shí)教師提問(wèn)：如何說(shuō)明A4紙的長(zhǎng)寬之比為 2呢？學(xué)生很自然地去思考A4紙的長(zhǎng)、寬與等腰直角三角形的斜邊、直角邊的聯(lián)系，小組內(nèi)頭腦風(fēng)暴，想出比對(duì)、折疊、邏輯推理等方法。 （3）在探究完A4紙的長(zhǎng)寬之比后，讓學(xué)生自主探究A3紙的長(zhǎng)寬之比，并分小組討論。從課堂情況來(lái)看，有的學(xué)生在測(cè)量和計(jì)算，有的學(xué)生運(yùn)用A4紙的折疊方法來(lái)折疊A3紙，仍然能發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論：A3紙的長(zhǎng)寬之比也是 2。圖11還有兩組同學(xué)先是將A3紙沿著長(zhǎng)邊的中垂線對(duì)折，折疊后的圖形正好與A4紙重合，發(fā)現(xiàn)A3紙的寬等于A4紙的長(zhǎng)，A3紙的長(zhǎng)是A4紙寬的兩倍，所以這樣設(shè)元（如圖11）并推理出A3紙的長(zhǎng)寬之比也是2：設(shè)A4紙的長(zhǎng)與寬分別為aa,b則A3紙的長(zhǎng)與寬分別為2b,a，因?yàn)锳4紙的長(zhǎng)寬之比b=2，所以A3紙的 2b

長(zhǎng)寬之比a=222。a=2=b教師評(píng)價(jià)：剛得出的A4紙長(zhǎng)寬之比為2的結(jié)論，立馬就會(huì)用，動(dòng)手的同時(shí)還不忘邏輯推理和計(jì)算，有做有思，動(dòng)靜結(jié)合。 （4）多思多想生活細(xì)節(jié)的數(shù)學(xué)解釋是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界的主要途徑。在探究出A3紙的長(zhǎng)寬之比后，教師用下面兩個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考A型紙尺寸設(shè)計(jì)的實(shí)際價(jià)值：

問(wèn)題1：為什么要設(shè)計(jì)A3紙的寬等于A4紙的長(zhǎng)，A3紙的長(zhǎng)是A4紙寬的兩倍？有什么實(shí)際價(jià)值呢？ 要回答這一問(wèn)題，就還需要研究其他的A型打印紙。教師提問(wèn)：將A3紙沿著長(zhǎng)邊的中線對(duì)折后得到A4紙，根據(jù)這一規(guī)律，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)并制作出A5、A6打印紙。 學(xué)生將制作好的打印紙如圖12拼接……，教師指出：以此類推，還可以拼出A3、A2、A1型打印紙，最終拼出了A0打印紙，如圖13。圖12圖13教師指出，工廠生產(chǎn)打印紙就是從一張這樣大小的A0打印紙（約為1平方米）開(kāi)始，不斷沿著對(duì)邊中線切割，逐步得到A1、A2、A3等各類Ａ型打印紙，如此設(shè)計(jì)正是為了最大程度地節(jié)約資源，避免邊角料的浪費(fèi)。同時(shí)，這個(gè)切割的過(guò)程也表示了Ａ型打印紙后綴數(shù)字的含義——切割次數(shù)。問(wèn)題2：為什么設(shè)計(jì)的是 2這個(gè)比值，而不是其他比值呢？引導(dǎo)學(xué)生思考，由探究A3打印紙的長(zhǎng)寬之比時(shí)小組同學(xué)的分享，得知正是因?yàn)?2

2的特殊性，即2=2，才使得A3與A4紙相似。那么相似又有什么實(shí)際價(jià)值呢？通過(guò)討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：A型紙相似，就可以等比例地放縮打印的文檔或圖片，這樣的設(shè)計(jì)可以為工作和生活提供很大的便利。 另外，信息技術(shù)的運(yùn)用不止體現(xiàn)在發(fā)現(xiàn) 2這一數(shù)值的環(huán)節(jié)，還在小組展示折紙思路、拼紙發(fā)現(xiàn)各種A型紙的關(guān)系這兩個(gè)環(huán)節(jié)助力課堂教學(xué)：

這一猜想，但展同學(xué)們想到很多折紙方法，來(lái)驗(yàn)證A4紙的長(zhǎng)寬之比為 2

示的時(shí)候既要說(shuō)清是如何折的，又要說(shuō)清是怎么證明的，如果站在講臺(tái)上將紙舉起來(lái)展示則不方便分享者操作，后排的學(xué)生也看不清。有了智慧課堂的學(xué)生平板，分享者只需坐在位子上，一邊折一邊用馬克筆標(biāo)記設(shè)的邊長(zhǎng)，并講解思路，教師只需將分享者同桌的平板選中為“學(xué)生投屏”，同桌開(kāi)啟拍照功能對(duì)準(zhǔn)分享者（不按拍照鍵），大屏幕上就能同步放映出清晰的畫(huà)面了，這樣全班同學(xué)都能看清楚，分享者也能很好地展示。同理，拼紙的結(jié)果若用磁鐵吸在黑板上，一則浪費(fèi)課堂時(shí)間，二則不能展示所有同學(xué)的結(jié)果，用學(xué)生平板的“拍照上傳”功能，教師可選擇多個(gè)結(jié)果批量展示，講解時(shí)再選出