做一個(gè)有心的“縫補(bǔ)匠”論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選做一個(gè)有心的“縫補(bǔ)匠” 摘要：論文主要對(duì)滬科版初中數(shù)學(xué)教材的拓展使用作了探討，對(duì)需要增減的內(nèi)容進(jìn)行了有效的剖析，探討了知識(shí)的聯(lián)系性統(tǒng)一性原則等。 關(guān)鍵詞：作為工具的應(yīng)用性事例，簡(jiǎn)化計(jì)算，知識(shí)的拓展思考，數(shù)學(xué)的一致性和統(tǒng)一性原則，強(qiáng)化弱處，縫補(bǔ)匠。 引言：如何合理使用教材，體會(huì)編者意圖，教師要做必要的引導(dǎo)，詮釋，并作必要的補(bǔ)充，要做一個(gè)有心的“縫補(bǔ)匠”

2021年1月22日新時(shí)代數(shù)學(xué)編寫組對(duì)滬科版數(shù)學(xué)教科書的使用情況發(fā)出征求意見稿，滬科版為了保證各章節(jié)的獨(dú)立，完整，流暢，考慮時(shí)長(zhǎng)、階段性和使用環(huán)境，只保留了最基本的知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)部分知識(shí)作了刪減，學(xué)生缺少各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，以及作為工具的應(yīng)用性事例的認(rèn)知，所以教師在使用過(guò)程中有必要增補(bǔ)，讓學(xué)生體會(huì)到這些知識(shí)相對(duì)完整的信息。感受到常規(guī)的提問(wèn)和思考，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維是有益的。教材是教師教學(xué)的“范本”，教師應(yīng)該“用教材教，而不是教教材”。如何用好教材？教學(xué)過(guò)程中對(duì)教材中的例、習(xí)題進(jìn)行深入細(xì)致的研究，講好例、習(xí)題，改編好例、習(xí)題，創(chuàng)設(shè)好符合編者意圖和學(xué)情的設(shè)計(jì)都是提高教材使用效果的方法。通過(guò)對(duì)教材例、習(xí)題教學(xué)功能的研究、開發(fā)和重現(xiàn)處理，才能使我們的課堂教學(xué)更有效，更高效。一、平面直角坐標(biāo)系作為工具的應(yīng)用性事例的認(rèn)知。教育部審定2013年義務(wù)教育教科書滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下第100頁(yè)數(shù)學(xué)史話“幾何定理的機(jī)器證明”介紹了中國(guó)科學(xué)院院士吳文俊教授的機(jī)器證明步驟事例，就有平面直角坐標(biāo)系作為工具的應(yīng)用性事例認(rèn)知的最佳啟發(fā)點(diǎn)，結(jié)合第104-105的復(fù)習(xí)題B組，C組每個(gè)題目都可以幾何代數(shù)化處理，且相對(duì)于綜合幾何方法處理要更簡(jiǎn)潔。第105頁(yè)C組第2題為例，例1，證明：在?ABCD中，AC2BD22AB2BC2證明1:（幾何法）

設(shè)?ABCD，作DE⊥AB于E，CF⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于F12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選∵四邊形ABCD是平行四邊形（圖1）∴AB//DC，AB=DC，AD=BC

∴DE=CF（平行線間的距離相等）

∴Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)∴AE=BF

由勾股定理，得AC2AF2CF2(ABBF)2CF22CF2BD2BD2DE2(ABAE)2DE2(ABBF)2CFBD2BE2DE2(ABAE)2DE2(ABBF)2CF2AC2BD2(ABBF)2CF2(ABBF)2CF2)(AB22ABBFBF2)CF2(AB22ABBFBF22AB22BF22CF2∵BF2CF2BC2（勾股定理）∴AC2BD22AB22BC2 證明2:（數(shù)形結(jié)合法）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)B（a,0），B（m,n）則根據(jù)平移知識(shí)可知C（a+m,n）AC2BD2mn2an2amn22AD2a2m2n22a22mAC2BD22AB2BC2AB在?ABCD中，AB=BC∴對(duì)比，簡(jiǎn)，繁一目了然。（圖2）二、作為平面直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，應(yīng)該給與重要的地位，它可以較大程度的化簡(jiǎn)二次函數(shù)的配方。xx1x2如例2：當(dāng)學(xué)過(guò)中點(diǎn)坐標(biāo)公式2，對(duì)于像yx1070x的配方，可以按照拋物線的對(duì)稱性，過(guò)（10,0），（70,0）這兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，利中點(diǎn)x107040公式算出對(duì)稱軸為直線：2，得到y(tǒng)x40m，再根據(jù)函數(shù)的定義，每一個(gè)允許的x都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，令x=10,y=0,求出m=1600,22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選yx4016002整個(gè)過(guò)程如下：y(x10)(70x)(x40)21600，不是先化成一般式，再根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)來(lái)配方。這樣解決像ya(xm)(xn)t這類的二次函數(shù)配方就非常方便了。順便說(shuō)一句，對(duì)于一般的二次函數(shù)的配方也可以用這樣的綜合配方法，將y3x22x1y3x22x13x22x1312

2配2333尤其是第方，3步是令x=0,得到y(tǒng)=1,是計(jì)算得到的，用這樣綜合配方法處理含字母參數(shù)的二次函數(shù)的配方也一樣簡(jiǎn)潔明了。作為平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直的斜率關(guān)系建議可作必要的補(bǔ)充。只要具有全等三角形的知識(shí)就可以推出，l1l2k1?k21這樣處理九年級(jí)上2冊(cè)第61頁(yè)C組第6題，求在直xy線上與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)。方法更多樣，也更簡(jiǎn)單明了。當(dāng)然像直線的斜率公式可以在滬科版八上冊(cè)第40頁(yè)例4中，補(bǔ)充將點(diǎn)的具體坐標(biāo)換成字母就成為斜率公式。給優(yōu)秀生快速計(jì)算斜率k帶來(lái)便捷。同時(shí)在三角函數(shù)學(xué)習(xí)后，理解斜率k與x軸正方向夾角之間的關(guān)系過(guò)渡更自然，可以說(shuō)水到渠成。這樣可以幫助學(xué)生理解k的實(shí)際意義。從而整體性認(rèn)識(shí)理解斜率k的意義。 三、理解數(shù)學(xué)的一致性和統(tǒng)一性原則，感受數(shù)學(xué)美學(xué)價(jià)值。 在學(xué)習(xí)滬科版八上冊(cè)第130頁(yè)例題三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)和第145頁(yè)三角形三個(gè)角平分線交于一點(diǎn)后如能添加閱讀三角形三條中線交于一點(diǎn)，三角形三條高所在直線交于一點(diǎn)，讓學(xué)生更加全面感受三線交于一點(diǎn)的神奇，體會(huì)數(shù)學(xué)的一致性和統(tǒng)一性原則，感受數(shù)學(xué)美學(xué)價(jià)值。而閱讀這些知識(shí)，需要的基礎(chǔ)僅僅是面積法和劃歸的思維方法，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)思維方法，可謂一舉多得。事例如下

例3：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。如圖所示在△ABC中，AD,BE,CF分別是中線，求證三角形條中線相交于同一點(diǎn)。32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選 （圖3）

證明：只要證兩條中線的交點(diǎn)分中線的比為定值，就可以說(shuō)明三條中線交AGSAGCS△S△S1△AGFAGCS△AGF△AFC2△ABC2GDS△DGCS△DGFS△DGCS△DGFS△DFC1S于一點(diǎn)。連接DF,4△ABC,同理連接 '

G，可證AG'2,從而G與 '

G重合，這樣，命題得證。中線BE交AD于G'D 例4：如圖所示在△ABC中，AD,BE,CF分別是三角形的三條高，求證三條高所在直線交于一點(diǎn)。 分析：可以轉(zhuǎn)化證明另一個(gè)三角形的三條垂直平分線交于一點(diǎn)，如證明△ABC的三條垂直平分線交于一點(diǎn)（△ABC的外心）。 已知：AD、BE、CF是△ABC的三條高。求證：AD、BE、CF所在直線相交于一點(diǎn)。 證明：過(guò)點(diǎn)A、B、C分別作BC、AC、AB的平行線ML、MN、NL

∵AM∥BC，MB∥AC,∴四邊形AMBC是平行四邊形

∴AM＝BC同理，AL＝BC∴AM＝AL

∵AD⊥ML∴AD是ML的垂直平分線

同理，BE、CF分別是MN、NL的垂直平分線

而三角形的三條垂直平分線相交于一點(diǎn)

∴AD、BE、CF相交于一點(diǎn).（圖4） 這樣我們利用線段的垂直平分線的平分可以作線段的中點(diǎn)，利用線段垂直平分線中的垂直可以證明三角形三條高交于一點(diǎn)，不正好符合統(tǒng)一性原則嗎？42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選四、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化滲透的途徑。如講解代入消元法解二元一次方程組時(shí)，可以對(duì)任一能設(shè)二元一次方程組應(yīng)用題將其設(shè)一元一次方程加以比較，比較一元一次方程與二元一次方程組，找出其聯(lián)系之處。如例5：滬科版七上冊(cè)第98頁(yè)問(wèn)題?某班同學(xué)在植樹節(jié)時(shí)植樟樹和白楊樹共45顆，已知樟樹苗每顆2元，白楊樹苗每顆1元，購(gòu)買這些樹苗用了60元.問(wèn)樟樹苗，白楊樹苗各買了多少顆？解：（用一元一次方程）設(shè)樟樹苗買了x顆，則白楊樹苗買了（45-x）顆，根據(jù)題意得2x45x60（*）（用二元一次方程組）設(shè)樟樹苗買了x顆，白楊樹苗買了y顆，

xy45

2xy60

則 比較，觀察（*）與②可知（*）中的（45-x）與②中的y都代表白楊樹苗，應(yīng)該一樣，即y45x，這個(gè)式子在哪體現(xiàn)呢？發(fā)現(xiàn)就是①的變形，這樣代入消元法就水到渠成了。 而加減消元法用學(xué)生熟知的我國(guó)古代算書《孫子算經(jīng)》的算法，可以看成樸素的加減消元法的結(jié)果。滬科版七上冊(cè)第99頁(yè)問(wèn)題?我國(guó)古代算書《孫子算經(jīng)》中有一題；今有雉（雞）兔同籠，上有35頭，下有94足，問(wèn)雉，兔各幾何？解：設(shè)有雉x只，兔y只，根據(jù)題意得xy35942x4y都看成兔有35×4只腳即①式×4，多35×4-94=46，即減去②式，一只兔子比一只雉多2只腳除以2得23只兔子。左邊是xy2x4y2x右邊是35×4-94=46，得2x46,x23既引入了加減消元法，又加強(qiáng)了數(shù)學(xué)文化和民族自豪感的培養(yǎng)。當(dāng)然了這樣的例子有很多.如：相似三角形一章中平行線分線段成比例定理，可以采用面積法證明。在相似三角形例題中可以添加物理中凸透鏡成像規(guī)111律中的物距u，像距v，焦距f之間的關(guān)系fuv。在多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式學(xué)習(xí)后，可以添加速算背后的規(guī)律，如38×32，等類型；反比例函數(shù)學(xué)完可以探討52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選反比例函數(shù)與任一矩形相鄰兩邊相交，兩交點(diǎn)連線與矩形的一對(duì)角線平行；學(xué)完圓的基本性質(zhì)后可以結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)一步探討銳角三角形或鈍角三角形斜邊上的中線與斜邊上一半的關(guān)系；旋轉(zhuǎn)知識(shí)學(xué)習(xí)后可以增加閱讀有關(guān)三角形費(fèi)馬點(diǎn)的問(wèn)題探究等等。五、把一道題做透比刷題的收獲要多得多，能體會(huì)到知識(shí)的整體性、關(guān)聯(lián)性。如例6：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將△ADE沿DE翻折，使得點(diǎn)A落在'A處，當(dāng)直線A'EAB時(shí)，A'B=______________________.（圖5）解答：如圖所示，當(dāng)A'在AC上方時(shí)，通過(guò)折疊畫出圖形，∵A'EABRT△AEF,設(shè)EF=5a,則AF=12a,EA'EA13a,A'F8a,在RT△AA'FtanA'AFA'F2∵DADA'DBAF3∴△AA''B是直角三角形,（圖6）tanA'AFAAB

'B

23∴根據(jù)AB=13,可以求得A'B213當(dāng)A'在AC下方時(shí)，思路一致，字母相同，但此時(shí)tanA'AF18m3A''B31312m2,求得。一般做題做到這樣的思維一致性就可以了，進(jìn)一步思考，（圖7）這兩個(gè)答案之間有關(guān)聯(lián)嗎？△EA',△E1A1A都是等腰三角形，E1A1∥A'E,頂角互補(bǔ)，∴A'ACCAA190，四邊形A'AA1B為矩形，所求的A'B就是矩形的兩條邊。這就體現(xiàn)了知識(shí)的整體性，關(guān)聯(lián)性。（圖8）通過(guò)對(duì)這類題的探究，學(xué)生會(huì)體驗(yàn)到常規(guī)思考方式，如逆向思維，開放結(jié)62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選論，等價(jià)條件，思維一致性，整體性等。讓學(xué)生首先學(xué)會(huì)提問(wèn)題，他自然就會(huì)思考，這樣就可以將做題最終落實(shí)到訓(xùn)練學(xué)生的邏輯能力，思考能力和發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新能力。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識(shí)，獨(dú)立思考的能力很有幫助，還可以讓教師的教育教學(xué)觀念和行為發(fā)生較大的變化。日本長(zhǎng)岡亮介教授說(shuō)過(guò)：既然決定要學(xué)習(xí)，就不可以像吃飼料的馬一樣埋著頭拼命做題。應(yīng)該像享用一流廚師或母親精心制作的充滿愛(ài)的美味料理那樣，心滿意足地沉浸在那些能夠讓你身心成長(zhǎng)，具有深度且值得用心思考的精彩問(wèn)題所帶來(lái)的樂(lè)趣當(dāng)中。如此一來(lái)，年輕人的智慧便會(huì)出現(xiàn)驚人的成長(zhǎng)......教師的職責(zé)就是通過(guò)對(duì)例、習(xí)題的加工、處理，給學(xué)生帶來(lái)精彩的有深度的思考，讓學(xué)生洞察知識(shí)間的聯(lián)系，盡力避免“題