2023屆河南省開封市優(yōu)質(zhì)高中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從裝有大小形狀完全相同的3個白球和7個紅球的口袋內(nèi)依次不放回地取出兩個球，每次取一個球，在第一次取出的球是白球的條件下，第二次取出的球是紅球的概率為（）A． B． C． D．2．下面有五個命題：①函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是π；②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=kπA．①③ B．①④ C．②③ D．③④3．甲、乙兩人進行象棋比賽，已知甲勝乙的概率為0.5，乙勝甲的概率為0.3，甲乙兩人平局的概率為0.1．若甲乙兩人比賽兩局，且兩局比賽的結(jié)果互不影響，則乙至少贏甲一局的概率為（）A．0.36 B．0.49 C．0.51 D．0.754．設(shè)函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f（x）的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象可能是（）A． B． C． D．5．（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函數(shù),則g(x)=ax3+bx2+cx()A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)7．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知高為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，若二面角的正切值為4，則（）A． B． C． D．9．甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立.則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進行了三局的概率為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)f(x)=x2lnx與函數(shù)A．(-∞,1e2-1e11．已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．12．圓與圓的公切線有幾條（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從裝有3個紅球,2個白球的袋中隨機取出2個球,設(shè)其中有個紅球,則為_____.14．如圖，在直三棱柱中，，，點，，分別是棱，，的中點，點是棱上的點．若，則線段的長度為______．15．設(shè)，且，則的最大值為_______.16．設(shè)函數(shù)和函數(shù)，若對任意都有使得，則實數(shù)a的取值范圍為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的極大值．18．（12分）已知橢圓，為右焦點，圓，為橢圓上一點，且位于第一象限，過點作與圓相切于點，使得點，在的兩側(cè).（Ⅰ）求橢圓的焦距及離心率；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.19．（12分）設(shè)拋物線的焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線與拋物線交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓過點.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)過點的直線分別與拋物線C交于點D，E和點G，H，且，求四邊形面積的最小值.20．（12分）已知二次函數(shù)（均為實數(shù)），滿足，對于任意實數(shù)都有，并且當(dāng)時，有.（1）求的值；并證明：；（2）當(dāng)且取得最小值時，函數(shù)（為實數(shù)）單調(diào)遞增，求證：.21．（12分）已知函數(shù)，其中a為實數(shù).（1）根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；（2）若，判斷函數(shù)f(x)在[1,2]上的單調(diào)性，并說明理由.22．（10分）已知函數(shù)（且，為自然對數(shù)的底數(shù).）（1）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)只有一個零點，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

運用條件概率計算公式即可求出結(jié)果【詳解】令事件為第一次取出的球是白球，事件為第二次取出的球是紅球，則根據(jù)題目要求得，故選【點睛】本題考查了條件概率，只需運用條件概率的公式分別計算出事件概率即可，較為基礎(chǔ)。2、B【解析】

①先進行化簡，再利用求周期的公式即可判斷出是否正確；②對k分奇數(shù)、偶數(shù)討論即可；③令h（x）=x﹣sinx，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；④利用三角函數(shù)的平移變換化簡求解即可．【詳解】①函數(shù)y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，∴最小正周期T=2π2=π，∴函數(shù)y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π，故①②當(dāng)k=2n（n為偶數(shù)）時，a=2nπ2=nπ，表示的是終邊在x軸上的角，故②③令h（x）=x﹣sinx，則h′（x）=1﹣cosx≥0，∴函數(shù)h（x）在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，故函數(shù)y=sinx與y=x最多只能一個交點，因此③不正確；④把函數(shù)y=3sin（2x+π3）的圖象向右平移π6得到y(tǒng)=3sin（2x﹣π3綜上可知：只有①④正確．故選B．【點睛】本題綜合考查了三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、三角函數(shù)取值及終邊相同的角，利用誘導(dǎo)公式進行化簡和利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．3、C【解析】

乙至少贏甲一局的對立事件為甲兩局不輸，由此能求出乙至少贏甲一局的概率．【詳解】乙至少贏甲—局的概率為.故選C【點睛】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、A【解析】

根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，由此確定正確選項.【詳解】根據(jù)的圖像可知，函數(shù)從左到右，單調(diào)區(qū)間是：增、減、增、減，也即導(dǎo)數(shù)從左到右，是：正、負(fù)、正、負(fù).結(jié)合選項可知，只有選項符合，故本題選A.【點睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

通過求出，然后得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)．【詳解】由得所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點在第一象限．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】若f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函數(shù),則,則是奇函數(shù)，選A.7、A【解析】

由實部虛部均大于0聯(lián)立不等式組求解．【詳解】解：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，，解得．實數(shù)的取值范圍是．故選：．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查不等式組的解法，是基礎(chǔ)題．8、D【解析】

過作平面于，為中點，連接.證明面角的平面角為,計算得到,通過勾股定理計算得到答案.【詳解】如圖：正三棱錐，過作平面于，為中點，連接.易知：為中點二面角的平面角為正切值為4在中，根據(jù)勾股定理：故答案選D【點睛】本題考查了三棱錐的外接球，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.9、A【解析】

記事件甲獲得冠軍，事件比賽進行三局，計算出事件的概率和事件的概率，然后由條件概率公式可得所求事件的概率為.【詳解】記事件甲獲得冠軍，事件比賽進行三局，事件甲獲得冠軍，且比賽進行了三局，則第三局甲勝，前三局甲勝了兩局，由獨立事件的概率乘法公式得，對于事件，甲獲得冠軍，包含兩種情況：前兩局甲勝和事件，，，故選A.【點睛】本題考查利用條件概率公式計算事件的概率，解題時要理解所求事件的之間的關(guān)系，確定兩事件之間的相對關(guān)系，并利用條件概率公式進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.10、B【解析】

通過參數(shù)分離得到a=lnx2x-x2lnx【詳解】若函數(shù)f(x)=x2lnx2ln設(shè)t=t=lnxx?t'=1-lnx畫出圖像：a=t2-

a=t2-t1t2=故答案為B【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，參數(shù)分離換元法是解題的關(guān)鍵.11、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求出，由可求出的值．【詳解】，，由題意可得，因此，，故選D．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的運算、直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系，意在考查函數(shù)的切線斜率與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于中等題．12、C【解析】

首先求兩圓的圓心距，然后判斷圓心距與半徑和或差的大小關(guān)系,最后判斷公切線的條數(shù).【詳解】圓，圓心，，圓,圓心，，圓心距兩圓外切，有3條公切線.故選C.【點睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，屬于簡單題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：由題意，從裝有個紅球和個白球的袋中隨機取出個球的取法，再求得當(dāng)個球都是紅球的取法，利用古典概型的概率計算公式，即可得到答案.詳解：由題意，從裝有個紅球和個白球的袋中隨機取出個球，共有種方法，其中當(dāng)個球都是紅球的取法有種方法，所以概率為.點睛：本題主要考查了古典概型及其概率的計算公式的應(yīng)用，其中概率排列、組合的知識得到基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.14、【解析】

根據(jù)題意，以點為坐標(biāo)原點，以分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點坐標(biāo)，根據(jù)題意，列出方程，求出點坐標(biāo)，進而可求出結(jié)果.【詳解】因為在直三棱柱中，，因此，以點為坐標(biāo)原點，以分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，點，，分別是棱，，的中點，所以，，，則，又點是棱上的點，所以設(shè)，則，因為，所以，因此.所以，因此.故答案為【點睛】本題主要考查空間中兩點間的距離，靈活運用空間向量法求解即可，屬于?？碱}型.15、25.【解析】分析：由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由均值不等式的結(jié)論有：，即：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.據(jù)此可知：的最大值為25.點睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．16、【解析】

先根據(jù)的單調(diào)性求出的值域A，分類討論求得的值域B，再將條件轉(zhuǎn)化為A，進行判斷求解即可．【詳解】是上的遞減函數(shù)，∴的值域為，令A(yù)=，令的值域為B，因為對任意都有使得，則有A，而，當(dāng)a=0時，不滿足A；當(dāng)a>0時，，∴解得；當(dāng)a<0時，，∴不滿足條件A,綜上得.故答案為.【點睛】本題考查了函數(shù)的值域及單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的關(guān)系，運用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）將點代入切線方程得出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出，于此列方程組求解出實數(shù)、的值；（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分析出該函數(shù)的極大值點并求出該函數(shù)的極大值?！驹斀狻浚á瘢┯?，得．由曲線在點處的切線方程為，得，，解得．（Ⅱ），．，解得；，解得；所以函數(shù)的增區(qū)間：；減區(qū)間：，時，函數(shù)取得極大值，函數(shù)的極大值為．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，求解時要熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的基本步驟，另外在處理直線與函數(shù)圖象相切的問題時，抓住以下兩個要點：（1）函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率；（2）切點是切線與函數(shù)圖象的公共點。18、（Ⅰ）,；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦距及離心率.（Ⅱ）設(shè)（，），先求出四邊形面積的表達(dá)式，再利用基本不等式求它的最大值.（Ⅰ）在橢圓：中，，，所以，故橢圓的焦距為，離心率．（Ⅱ）設(shè)（，），則，故．所以，所以，．又，，故．因此．由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.點睛：本題的關(guān)鍵在于求此的表達(dá)式和化簡，由于四邊形是不規(guī)則的圖形，所以用割補法求其面積，其面積求出來之后，又要利用已知條件將其化簡為，再利用基本不等式求其最小值.19、（1）；（2）1.【解析】

（1）根據(jù)題意可得：圓的半徑，從而求出值，得到拋物線方程；（2）設(shè)出和的方程，分別與拋物線聯(lián)立方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，利用弦長公式求出、的長，從而表示出四邊形面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值?！驹斀狻坑捎谶^點作垂直于軸的直線與拋物線交于兩點，則，以線段為直徑的圓過點，則圓的半徑，解得：,故拋物線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得：，設(shè)點，則，，所以，同理可得：，則四邊形的面積：.令，則當(dāng)，即時，，四邊形DGEH面積的最小值為1．【點睛】本題考查拋物線方程的求法以及圓錐曲線中的弦長公式，考查學(xué)生設(shè)而不求的思想，有一定難度。20、(1)答案見解析；(2)證明見解析【解析】試題分析：(1)由函數(shù)的解析式可得，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得.(2)由題意討論二次函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.試題解析：（1）由題意，即，又，∴，則恒成立∴，∴.（2）由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號此時，要使其在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，必有對稱軸與其關(guān)系為，即為所證.21、（1）時奇函數(shù)，時非奇非偶函數(shù)；（2）單調(diào)遞增，證明見解析.【解析】

（1）討論兩種情況，分別利用奇偶性的定義判斷即可；（2）設(shè)，再作差，通分合并，最后根據(jù)自變量范圍確定各因子符號，得差的符號，結(jié)合單調(diào)性定義作出判斷即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，顯然是奇函數(shù)；當(dāng)時，，，且，所以此時是非奇非偶函數(shù).（2）設(shè)，則因為，所以，