創(chuàng)新方案高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精編（人教新課標(biāo)）32同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式doc高中數(shù)學(xué)

4/4第三章第二節(jié)同角三角函數(shù)根本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式題組一同角三角函數(shù)根本關(guān)系式的應(yīng)用1.已知cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，且α是第四象限角，那么sin(－2π＋α)＝樣()A．－eq\f(12,13)B.eq\f(12,13)C．±eq\f(12,13)D.eq\f(5,12)解析：由cos(α－π)＝－eq\f(5,13)得，cosα＝eq\f(5,13)，而α為第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(12,13).答案：A2．(2023·濰坊模擬)已知α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，tan(α－7π)＝－eq\f(3,4)，那么sinα＋cosα的值為()A．±eq\f(1,5)B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5)D．－eq\f(7,5)解析：tan(α－7π)＝tanα＝－eq\f(3,4)，∴α∈(eq\f(π,2)，π)，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＋cosα＝－eq\f(1,5).答案：B3．已知tanθ＝2，那么eq\f(sin(\f(π,2)＋θ)－cos(π－θ),sin(\f(π,2)－θ)－sin(π－θ))＝()A．2B．－2C．0D.eq\f(2,3)解析：eq\f(sin(\f(π,2)＋θ)－cos(π－θ),sin(\f(π,2)－θ)－sin(π－θ))＝eq\f(cosθ－(－cosθ),cosθ－sinθ)＝eq\f(2cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(2,1－tanθ)＝eq\f(2,1－2)＝－2.答案：B題組二化簡問題4.(tanx＋eq\f(1,tanx))cos2x＝()A．tanxB．sinxC．cosxD.eq\f(1,tanx)解析：(tanx＋eq\f(1,tanx))cos2x＝(eq\f(sinx,cosx)＋eq\f(cosx,sinx))cos2x＝eq\f(sin2x＋cos2x,sinxcosx)·cos2x＝eq\f(cosx,sinx)＝eq\f(1,tanx).答案：D5．sin(π＋eq\f(π,6))sin(2π＋eq\f(π,6))sin(3π＋eq\f(π,6))…sin(2023π＋eq\f(π,6))的值等于________．解析：原式＝(－eq\f(1,2))eq\f(1,2)(－eq\f(1,2))…eq\f(1,2)＝－eq\f(1,22023).答案：－eq\f(1,22023)6．如果sinα·cosα＞0，且sinα·tanα＞0，化簡：coseq\f(α,2)·eq\r(\f(1－sin\f(α,2),1＋sin\f(α,2)))＋coseq\f(α,2)·eq\r(\f(1＋sin\f(α,2),1－sin\f(α,2))).解：由sinα·tanα＞0，得eq\f(sin2α,cosα)＞0，cosα＞0.又sinα·cosα＞0，∴sinα＞0，∴2kπ＜α＜2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即kπ＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．當(dāng)k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)位于第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)位于第三象限．∴原式＝coseq\f(α,2)·eq\r(\f((1－sin\f(α,2))2,cos2\f(α,2)))＋coseq\f(α,2)·eq\r(\f((1＋sin\f(α,2))2,cos2\f(α,2)))＝coseq\f(α,2)·eq\f(1－sin\f(α,2),|cos\f(α,2)|)＋coseq\f(α,2)·eq\f(1＋sin\f(α,2),|cos\f(α,2)|)＝eq\f(2cos\f(α,2),|cos\f(α,2)|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(\f(α,2)在第一象限時),－2(\f(α,2)在第三象限時))).題組三條件求值問題7.已知cos(eq\f(π,4)＋α)＝－eq\f(1,2)，那么sin(eq\f(π,4)－α)＝()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(2),2)解析：sin(eq\f(π,4)－α)＝cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)－α)]＝cos(eq\f(π,4)＋α)＝－eq\f(1,2).答案：A8．已知A為銳角，lg(1＋cosA)＝m，lgeq\f(1,1－cosA)＝n，那么lgsinA的值為()A．m＋eq\f(1,n)B．m－nC.eq\f(1,2)(m＋eq\f(1,n))D.eq\f(1,2)(m－n)解析：兩式相減得lg(l＋cosA)－lgeq\f(1,1－cosA)＝m－n?lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n?lgsin2A＝m－n，∵A為銳角，∴sinA＞0，∴2lgsinA＝m－n，∴l(xiāng)gsinA＝eq\f(m－n,2).答案：D9．已知f(α)＝eq\f(sin(π－α)cos(2π－α)cos(－α＋\f(3,2)π),cos(\f(π,2)－α)sin(－π－α))(1)化簡f(α)；(2)假設(shè)α為第三象限角，且cos(α－eq\f(3,2)π)＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(3)假設(shè)α＝－eq\f(31,3)π，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝eq\f(sinαcosα(－sinα),sinα·sinα)＝－cosα.(2)∵cos(α－eq\f(3,2)π)＝－sinα＝eq\f(1,5)，∴sinα＝－eq\f(1,5)，又∵α為第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(6),5)，∴f(α)＝eq\f(2\r(6),5).(3)∵－eq\f(31,3)π＝－6×2π＋eq\f(5,3)π∴f(－eq\f(31,3)π)＝－cos(－eq\f(31,3)π)＝－cos(－6×2π＋eq\f(5,3)π)＝－coseq\f(5,3)π＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).題組四公式的靈活應(yīng)用10.已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零常數(shù)，假設(shè)f(2009)＝－1，那么f(2010)等于()A．－1B．0C．1D．2解析：法一：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝－1，∴f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1.法二：f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asin[π＋(2009π＋α)]＋bcos[π＋(2009π＋β)]＝－asin(2009π＋α)－bcos(2009π＋β)＝－f(2009)＝1.答案：C11．假設(shè)f(cosx)＝cos3x，那么f(sin30°)的值為________．解析：∵f(cosx)＝cos3x，∴f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos(3×60°)＝cos180°＝－1.答案：－112．(2023·寧波模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)求函數(shù)F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域和最小正周期；(2)假設(shè)f(x)＝2f′(x)，求eq\f(1＋sin2x,cos2x－sinxcosx)的值．解：(1)∵f′(x)＝cosx－sinx，∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))，函數(shù)F(x)的值域為[1－eq\r(2)，1＋eq\r(2)]，最小正周期為T＝eq\f