正方形的性質(zhì)與判定講義

/正方形的性質(zhì)及判定知識(shí)點(diǎn)歸納正方形的概念：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形.正方形的性質(zhì):因?yàn)椋罛ＣD是正方形正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸有4條,也是中心對(duì)稱(chēng)例題講解考點(diǎn)①正方形與等腰三角形（等邊三角形）結(jié)合1。如圖，E是正方形AＢCＤ的對(duì)角線(xiàn)BＤ上一點(diǎn),且BＥ=ＢC,則∠ACE=°2.如圖，四邊形ABＣD是正方形，延長(zhǎng)CＤ到E,使CE=CB，則∠ＤBE=°．3。如圖，正方形ABCD中,點(diǎn)Ｅ在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,ＡE平分∠DＡC,則下列結(jié)論:（1）∠E=22.5°;（2）∠AFＣ＝11２．5°；（３）∠ACE=1３5°;（4）ＡＣ=CE；（５）ＡD∶CE=1∶eq\r(,2）.其中正確的有(）A．5個(gè)B。4個(gè)C.３個(gè)D．2個(gè) 4。如圖,等邊△EＤC在正方形ABCD內(nèi),連結(jié)ＥＡ、EB，則∠AＥB＝°；∠AＣE=°.5。已知正方形ABCＤ，以CD為邊作等邊△CDＥ,則∠AＥD的度數(shù)是°．考點(diǎn)②正方形與旋轉(zhuǎn)結(jié)合1.如圖1，四邊形ABCD是正方形，Ｅ是邊CD上一點(diǎn),若△AFB經(jīng)過(guò)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ后與△AED重合，則θ的取值可能為(）A．90°Ｂ.60°Ｃ．45°D．3０°2。已知正方形ABCＤ中,點(diǎn)E在邊DC上,DE=２,EＣ=１（如圖２所示）把線(xiàn)段AＥ繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)Ｅ落在直線(xiàn)ＢC上的點(diǎn)F處,則F、C兩點(diǎn)的距離為＿＿＿_(dá)＿_(dá)_＿_(dá)__。3.如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Ｆ分別為DC，ＢC邊上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠EＡF＝４5°，連接EF，求證：DＥ+ＢＦ=EF．考點(diǎn)③正方形對(duì)角線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性1。如圖:正方形AＢCD中，AC＝１0，P是AB上任意一點(diǎn)，ＰＥ⊥AＣ于Ｅ，PF⊥BD于Ｆ,則PE+PF=?？梢杂靡痪湓?huà)概括:正方形邊上的任意一點(diǎn)到兩對(duì)角線(xiàn)的距離之和等于。思考:如若P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，上述結(jié)論是否成立?若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，并加以說(shuō)明．２．如圖，點(diǎn)P是正方形ＡBＣD的對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，ＰE⊥BC于點(diǎn)E，ＰF⊥ＣD于點(diǎn)F,連接EＦ給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF;②AP⊥EＦ;③△ＡPD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠ＢAP；⑤PＤ=eq\r（\s\do1()，２）ＥＣ。其中正確結(jié)論的序號(hào)是．思考：當(dāng)點(diǎn)P在ＤB的長(zhǎng)延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)將備用圖補(bǔ)充完整，并思考（1）正確結(jié)論是否依舊成立？若成立,直接寫(xiě)出結(jié)論；若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論.考點(diǎn)④正方形的折疊１.如圖1,將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)D落在BC邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處,折痕為ＭＮ，則線(xiàn)段CN的長(zhǎng)是.2。如圖2,四邊形ＡBCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的處，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且=3，則ＡM的長(zhǎng)是.3如圖3，正方形ABＣＤ中,ＡB=6，點(diǎn)Ｅ在邊CD上，且CD＝3DE.將△ADE沿AE對(duì)折至△AＦＥ，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AＧ、CＦ．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFＧ；②BG＝ＧC；③AG∥CF；④S△FGC＝3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是。課后練習(xí)1、D=_______=_＿_(dá)____∠B.在正方形AＢＣD中,AＢ=12cｍ,對(duì)角線(xiàn)AC、ＢＤ相交于O，則△ABO的周長(zhǎng)是（)A.12+１2B.12+6C.12+D．24+63。正方形的面積是，則其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是______＿_(dá).4.如圖，在正方形ABCＤ中,△ＰBC、△ＱＣD是兩個(gè)等邊三角形，PB與ＤＱ交于M，BP與CＱ交于E，CＰ與DQ交于F．求證：PM=ＱM.5.如圖４，正方形ABＣD的對(duì)角線(xiàn)AＣ、BD相交于點(diǎn)O，正方形A′Ｂ′C′D′的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)O重合，A′B′交BC于點(diǎn)Ｅ,A′Ｄ′交CＤ于點(diǎn)F,若正方形A′B′C′D′繞點(diǎn)Ｏ旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度后，OE＝OF嗎？?jī)烧叫沃睾喜糠值拿娣e怎樣變化?為什么？6。如圖，Ｐ是邊長(zhǎng)為1的正方形AＢCD對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)(Ｐ與A、C不重合)，點(diǎn)E在射線(xiàn)BC上,且PE=ＰB．試判斷PE與PB的關(guān)系.7。如圖,正方形ABCD的面積為１2，△ＡＤE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ＡBCD內(nèi)，在對(duì)角線(xiàn)ＡC上有一點(diǎn)P,使ＰＢ+ＰE的和最小，則這個(gè)最小值為.8．如圖①,將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ＡBCＤ沿EF折疊（點(diǎn)Ｅ、F分別在邊AB、CD上),使點(diǎn)Ｂ落在AD邊上的點(diǎn)Ｍ處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)Ｐ，連接EP.（1)如圖②，若M為AD邊的中點(diǎn),①△AＥM的周長(zhǎng)=__＿＿_(dá)cｍ;②求證：ＥP＝ＡE+DP；（2）隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn)M不與Ａ、Ｄ重合），△ＰDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．（三)正方形的判定:四邊形ＡBCＤ是正方形1、判斷：(1)四條邊都相等的四邊形是正方形。( ?）（２)兩條對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直的四邊形是正方形。（ ）（３）兩條對(duì)角線(xiàn)分別平分一組對(duì)角的四邊形是正方形。（ ?)(４)兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形.( ?）2．不能判定四邊形是正方形的是()Ａ。對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形Ｂ．對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形C.對(duì)角線(xiàn)相等的菱形D．對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等的四邊形３、四邊形ＡBCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)Ｏ，能判定它是正方形的條件是(）A．AB=BC=ＣD=ＤAＢ．AO=CO,BO=DO,ＡC⊥ＢDC.AＣ=BＤ，ＡC⊥ＢD且ＡC、ＢD互相平分D．AB=ＢC，ＣD＝ＤA4、如圖，已知四邊形ABCD是菱形,則只須補(bǔ)充條件：（用字母表示)就可以判定四邊形ＡBＣＤ是正方形．精講精練例1、已知中，,CＤ平分,交AＢ于D，DF//BC,DE/／ＡC，求證：四邊形ＤEＣＦ為正方形。例2、已知：如圖，在△ABC中,AB＝ＡC，AD⊥ＢC,垂足為點(diǎn)D，ＡＮ是△ABC外角∠ＣAM的平分線(xiàn),ＣE⊥AＮ，垂足為點(diǎn)E，（1)求證：四邊形AＤCE為矩形；(2）當(dāng)△ＡBC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AＤＣE是一個(gè)正方形？并給出證明．AABCDMNE例3如圖，已知平行四邊形中，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且是等邊三角形。（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求證：四邊形是正方形。EECDBAO例４、如圖,△ABC中，點(diǎn)Ｏ是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Ｏ作直線(xiàn)ＭN∥BC,設(shè)MN交∠ＢCＡ的平分線(xiàn)于E，交∠BＣＡ的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)Ｆ.（1)求證:EO=FO(2）當(dāng)點(diǎn)Ｏ運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AＥCF是矩形？并證明你的結(jié)論．（3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形ＡECF是有可能是正方形？并證明你的結(jié)論。拓展探究（平行四邊形與特殊平行四邊形的綜合運(yùn)用)1、如圖，正方形AＢＣD中,Ｅ、Ｆ、Ｇ分別是AD、ＡＢ、BＣ上的點(diǎn),且AE=FＢ=GC.試判斷的形狀，并說(shuō)明理由。2、如圖，在正方形ABCD中,P為BC上一點(diǎn)，Q為ＣD上一點(diǎn)，(1)若PＱ=BP＋DQ,求。(2)若，求證：PQ=BＰ+DＱ.３、如圖，菱形AＢCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線(xiàn)BD=２,E、F分別是ＡD、CD上的動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足AE+ＣF=2.(１)求證：．(2）判斷的形狀。４以四邊形ABCD的邊AＢ、BC、ＣD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形,直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H,順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn),得四邊形ＥFGH。(1）如圖１，當(dāng)四邊形ＡBＣD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGＨ是正方形；如圖2,當(dāng)四邊形ＡBCD為矩形時(shí),請(qǐng)判斷:四邊形EFＧH的形狀（不要求證明）;（2）如圖３，當(dāng)四邊形AＢCD為一般平行四邊形時(shí),設(shè)∠ADC＝（0°＜＜９0°)，①試用含的代數(shù)式表示∠ＨＡＥ；②求證:ＨE=HG；③四邊形EＦＧH是什么四邊形？并說(shuō)明理由.例１、在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)E,使CE＝ＣA，連接AE交CD于F，求的度數(shù)。變式:1、已知如下圖,正方形ＡBCD中，E是CD邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)為BＣ延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，ＣＥ=CF.(1）求證：△BEC≌△ＤFC；(2）若∠BEC=60°，求∠ＥFD的度數(shù).例２:如圖，E為正方形ABＣD的BC邊上的一點(diǎn)，ＣG平分∠DCF，連結(jié)ＡE，并在CG上取一點(diǎn)G,使EG=ＡＥ.求證：AE⊥EG.例3、Ｐ為正方形ＡBCD內(nèi)一點(diǎn),PＡ=1，PB＝2，ＰＣ＝3，求∠AＰB的度數(shù)．例4如圖,Ｐ是邊長(zhǎng)為1的正方形ＡBCD對(duì)角線(xiàn)ＡＣ上一動(dòng)點(diǎn)(Ｐ與A、C不重合）,點(diǎn)E在射線(xiàn)BC上,且ＰE=ＰＢ.(1）求證：①PE=PD;②PＥ⊥PD;AABCPDE１、如圖，四邊形ABCD為正方形，以AB為邊向正方形外作等邊三角形ABＥ,CＥ與DB相交于點(diǎn)F,則=.２、若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為４，E為BC邊上一點(diǎn)，BE=３，Ｍ為線(xiàn)段AE上一點(diǎn)，射線(xiàn)BM交正方形的一邊于點(diǎn)Ｆ，且ＢF=AＥ，則BM的長(zhǎng)為。4．E為正方形ABＣD內(nèi)一點(diǎn)，且△EBC是等邊三角形，求∠ＥAD的度數(shù).５、如圖，正方形ＡBCD與正方形ＯMNP的邊長(zhǎng)均為1０，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，正方形ＯMNP繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，證明：無(wú)論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置,這兩個(gè)正方形重疊部分的面積總是一個(gè)定值，并求這個(gè)定值．6、如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是ＣＤ邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合)，以ＣG為一邊在正方形AＢCD外作正方形CEFG，連結(jié)ＢＧ，ＤＥ。我們探究下列圖中線(xiàn)段ＢG、線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線(xiàn)的位置關(guān)系：（１）①猜想如圖1中線(xiàn)段BＧ、線(xiàn)段ＤE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線(xiàn)的位置關(guān)系；②將圖１中的正方形CＥFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度,得到如圖2、如圖3情形。請(qǐng)你通過(guò)觀察、