基本支撐體系數(shù)學(xué)資料競(jìng)賽指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽與課外活動(dòng)指導(dǎo)專題“十校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

奇數(shù)偶數(shù)一、賽點(diǎn)要求：整數(shù)可以分為兩類：能被2整除的整數(shù)，稱為偶數(shù)；不能被2整除的整數(shù)，稱為奇數(shù)．換句話說(shuō)，0，±2，±4，±6，±8，±10，…，稱為偶數(shù)；±1，±3，±5，±7，±9，±11，…，稱為奇數(shù)．偶數(shù)的一般形式是2n，其中n是整數(shù)．奇數(shù)的一般形式是2n-1(或2n+1)，其中n是整數(shù)．注意，現(xiàn)在的奇數(shù)包括正奇數(shù)與負(fù)奇數(shù)．偶數(shù)包括正偶數(shù)、負(fù)偶數(shù)和零．零是偶數(shù)，因?yàn)樗鼙?整除．性質(zhì)：1．整數(shù)可分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，一個(gè)整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，反之，一個(gè)整數(shù)不是偶數(shù)就是奇數(shù)；2．奇數(shù)≠偶數(shù)；3．奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)；4．奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，整數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；5．兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，必然有一個(gè)是奇數(shù)，另一個(gè)是偶數(shù)；6．兩個(gè)整數(shù)的和與差的奇偶性相同；7．整數(shù)a與an(n為正整數(shù))的奇偶性相同．二、類型分解：例1已知x，y，z中有兩個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，求證：(x+1)(y+2)(z+3)一定是偶數(shù)．證法一因?yàn)閤，y，z中有兩個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，則x和z中至少有一個(gè)是奇數(shù)．當(dāng)x是奇數(shù)時(shí)，x+1是偶數(shù)，則(x+1)(y+2)(z+3)是偶數(shù)；當(dāng)z是奇數(shù)時(shí)，z+3是偶數(shù)，則(x+1)(y+2)(z+3)是偶數(shù)．故(x+1)(y+2)(z+3)一定是偶數(shù)．證法二因?yàn)閤，y，z中有兩個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，則x+y+z是偶數(shù)，從而(x+1)+(y+2)+(z+3)=(x+y+z)+6為偶數(shù)．所以x+1，y+2，z+3中至少有一個(gè)是偶數(shù)，即(x+1)(y+2)(z+3)一定是偶數(shù)．評(píng)點(diǎn)：證法一采用分類法說(shuō)明幾個(gè)整數(shù)相乘積為偶數(shù)，整數(shù)中至少有一個(gè)偶數(shù)。證法二說(shuō)明三個(gè)整數(shù)的和為偶數(shù)，則至少其一是偶數(shù)，積必為偶數(shù)。求證：任意奇數(shù)的平方減去1是8的倍數(shù)證明：設(shè)k為整數(shù)，那么2k－1是任意奇數(shù)，（2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)∵k(k－1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，必是偶數(shù)∴4k(k－1)是8的倍數(shù)即任意奇數(shù)的平方減去1是8的倍數(shù)評(píng)點(diǎn)：奇偶數(shù)的設(shè)法：設(shè)k為整數(shù)，2k±1、2k±3……均為奇數(shù)，2k、2k±2……均為偶數(shù)。根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)脑O(shè)法可簡(jiǎn)化運(yùn)算。例3已知：有n個(gè)整數(shù)它們的積等于n，和等于0求證：n是4的倍數(shù)證明：設(shè)n個(gè)整數(shù)為x1,x2,x3,…xn根據(jù)題意得如果n為正奇數(shù)，由方程（1）可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇數(shù)，而奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和必是奇數(shù)，這不適合方程（2）右邊的0，所以n一定是偶數(shù)；當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，方程（1）左邊的x1,x2,x3,…xn中，至少有一個(gè)是偶數(shù)，而要滿足方程（2）右邊的0，左邊的奇數(shù)必湏是偶數(shù)個(gè)，偶數(shù)至少有2個(gè)。所以n是4的倍數(shù)。例4己知：a,b,c都是奇數(shù)求證：方程ax2+bx+c=0沒(méi)有整數(shù)解證明：設(shè)方程的有整數(shù)解x，若它是奇數(shù)，這時(shí)方程左邊的ax2，bx，c都是奇數(shù)，而右邊0是偶數(shù)，故不能成立；若方程的整數(shù)解x是偶數(shù)，那么ax2,bx,都是偶數(shù)，c是奇數(shù)，所以左邊仍然是奇數(shù)，不可能等于0。既然方程的解不可能是奇數(shù)，也不能是偶數(shù)，∴方程ax2+bx+c=0沒(méi)有整數(shù)解。評(píng)點(diǎn)：沒(méi)有整數(shù)解直接證很難，又因?yàn)檎麛?shù)包括奇數(shù)、偶數(shù)，只須證明奇數(shù)、偶數(shù)不是方程的解即可。以上的證明方法是反證法，反證法作為一種證明方法將在第二章詳細(xì)介紹。例5求方程x2－y2＝60的正整數(shù)解分析：x2－y2＝(x+y)(x－y)＝60是偶數(shù)，(x+y)、(x－y)至少有一個(gè)偶數(shù)。若(x+y)是偶數(shù)，x、y同為偶數(shù)或奇數(shù)，則(x－y)是偶數(shù)；若(x+y)是奇數(shù)，x、y一奇、一偶，則(x－y)是奇數(shù)不可能舍去。解：(x+y)(x－y)=60，60可分解為：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10左邊兩個(gè)因式(x+y)，(x－y)至少有一個(gè)是偶數(shù)因此x,y必湏是同奇數(shù)或同偶數(shù)，且x>y>0,適合條件的只有兩組解得∴方程x2－y2＝60的正整數(shù)解是三、專題訓(xùn)練：1、選擇題①設(shè)n是正整數(shù)，那么n2+n-1的值是（）（A）偶數(shù)（B）奇數(shù)（C）可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)②求方程85x－324y=101的整數(shù)解，下列哪一個(gè)解是錯(cuò)誤的？（）（A）（B）（C）（D）填空：①能被3，5，7都整除的最小正偶數(shù)是______②能被9和15整除的最小正奇數(shù)是____最大的三位數(shù)是____③1＋2＋3＋…＋2022＋2022的和是奇數(shù)或偶數(shù)？答____④正整數(shù)1234…20222022是奇位數(shù)或偶位數(shù)？答____⑤能被11整除，那么n是正奇數(shù)或正偶數(shù)？答____任意三個(gè)整數(shù)中，必有兩個(gè)的和是偶數(shù)，這是為什么？試說(shuō)明方程2x+10y=77沒(méi)有整數(shù)解的理由求證：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除試證明：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方和的一半是奇數(shù)求方程（2x－y－2）2＋（x+y+2）2=5的整數(shù)解方程19x+78y=8637的解是()(A)(B)(C)(D)9.十進(jìn)制中，六位數(shù)能被33整除，求a,b的值專題訓(xùn)練答案：1.①B，②D2.①210，②45，945③奇數(shù)(有奇數(shù)個(gè)奇數(shù))，④奇數(shù)位，⑤正偶數(shù)3.整數(shù)按奇數(shù)，偶數(shù)分為兩類，3個(gè)整數(shù)中必有兩個(gè)同是奇數(shù)或同偶數(shù)，故它們的和是偶數(shù)4.∵左邊2，10、都是偶數(shù)，不論取什么整數(shù)，都是偶數(shù)，而右邊是奇數(shù)，等式不能成立5.(2n+1)2-(2n-1)2=8n6.任意兩個(gè)奇數(shù)可設(shè)為2m7.∵兩個(gè)整數(shù)的平方和5為，只有(±1)2+(±2)2=5或(±2)2+(±1)2=5可得四個(gè)方程組，解得8.(D)9.a=9，b=2；a=2，b=6；a=5，b=9。四、同步測(cè)試：填空題（1）有四個(gè)互不相等的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4，最大數(shù)與最小數(shù)的積是一個(gè)奇數(shù)，而這四個(gè)數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，那么這四個(gè)數(shù)的乘積是_____.（2）有五個(gè)連續(xù)偶數(shù)，已知第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)和的多18，這五個(gè)偶數(shù)之和是____.（3）能否把1993部電話中的每一部與其它5部電話相連結(jié)？答____.2.選擇題（1）設(shè)a、b都是整數(shù)，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①若a+5b是偶數(shù)，則a-3b是偶數(shù)；②若a+5b是偶數(shù)，則a-3b是奇數(shù)；③若a+5b是奇數(shù)，則a-3b是奇數(shù)；④若a+5b是奇數(shù)，則a-3b是偶數(shù).（A）1

（B）2

（C）3

（D）4（2）若n是大于1的整數(shù)，則的值（

）.（A）一定是偶數(shù)

（B）必然是非零偶數(shù)（C）是偶數(shù)但不是2

（D）可以是偶數(shù)，也可以是奇數(shù)（3）已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a、b、c為整數(shù)），如果當(dāng)x=0與x=1時(shí)，二次三項(xiàng)式的值都是奇數(shù)，那么a（

）（A）不能確定奇數(shù)還是偶數(shù)

（B）必然是非零偶數(shù)（C）必然是奇數(shù)

（D）必然是零3.（1986年宿州競(jìng)賽題）試證明11986+91986+81986+61986是一個(gè)偶數(shù).4.請(qǐng)用0到9十個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)能被11整除的最小十位數(shù).5.有n個(gè)整數(shù)，共積為n，和為零，求證：數(shù)n能被4整除6.在一個(gè)凸n邊形內(nèi)，任意給出有限個(gè)點(diǎn)，在這些點(diǎn)之間以及這些點(diǎn)與凸n邊形頂點(diǎn)之間，用線段連續(xù)起來(lái)，要使這些線段互不相交，而且把原凸n邊形分為只朋角形的小塊，試證這種小三我有形的個(gè)數(shù)與n有相同的奇偶性.7.（1983年福建競(jìng)賽題）一個(gè)四位數(shù)是奇數(shù)，它的首位數(shù)字淚地其余各位數(shù)字，而第二位數(shù)字大于其它各位數(shù)字，第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字的和的兩倍，求這四位數(shù).

8.（1909年匈牙利競(jìng)賽題）試證：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次冪整除.9.（全俄15屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）在1，2，3…，1989之間填上“+”或“-”號(hào)，求和式可以得到最小的非負(fù)數(shù)是多少？

同步測(cè)試答案：１．（１）３０．（最小兩位奇數(shù)是１１，最大數(shù)與最小數(shù)同為奇數(shù)）（２）１８０．設(shè)第一個(gè)偶數(shù)為ｘ，則后面四個(gè)衣次為ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇數(shù)１，９１９８６的個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)１，而８１９８６，６１９８６都是偶數(shù)，故最后為偶數(shù)．４．仿例５

１２０３４６５８７９．５．設(shè)ａ１，ａ２，…，ａｎ滿足題設(shè)即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ②。假如ｎ為奇數(shù)，由②，所有ａｉ皆為奇數(shù)，但奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故這時(shí)①不成立，可見ｎ只能為偶數(shù)．由于ｎ為偶數(shù)，由②知ａｉ中必有一個(gè)偶數(shù)，由①知ａｉ中必有另一個(gè)偶數(shù)．于是ａｉ中必有兩個(gè)偶數(shù)，因而由②知ｎ必能被４整除．６．設(shè)小三角形的個(gè)數(shù)為ｋ，則ｋ個(gè)小三角形共有３ｋ條邊，減去ｎ邊形的ｎ條邊及重復(fù)計(jì)算的邊數(shù)扣共有（３ｋ＋ｎ）條線段，顯然只有當(dāng)ｋ與ｎ有相同的奇偶性時(shí)，（３ｋ－ｎ）才是整數(shù)．７．設(shè)這個(gè)四位數(shù)是由于１≤ａ＜ｄ，ｄ是奇數(shù)所以ｄ≥３于是ｃ＝２（ａ＋ｄ）≥８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶數(shù)，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此該數(shù)為１９８３．８．當(dāng)ｎ為奇數(shù)時(shí)，考慮（４－１）ｎ＋１的展開式；當(dāng)ｎ為偶數(shù)時(shí)，考慮（２＋１）ｎ＋１的展開式．９．除９