華師大版九年級下第27章圓2正多邊形和圓【全國一等獎】

《正多邊形和圓》導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解正多邊形和圓的關(guān)系。2.了解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念。3.能運用正多邊形的知識解決圓的有關(guān)計算問題。4.會利用正多邊形的特征，畫出簡單常見的正多邊形。學(xué)習(xí)重點1.探索正多邊形與圓的關(guān)系2.運用正多邊形的半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系進行計算。3.正多邊形的畫法學(xué)習(xí)難點探索正多邊形與圓的關(guān)系。學(xué)習(xí)過程一、知識頻道（交流與發(fā)現(xiàn)）1.憶一憶（知識回顧）請同學(xué)們思考下面兩個問題。（1）什么叫正多邊形？（2）從你身邊舉出兩三個正多邊形的實例，正多邊形是軸對稱圖形、中心對稱圖形嗎？其對稱軸有幾條，對稱中心是哪一點？歸納點評（1）正多邊形的概念中，強調(diào)了兩個條件：①是相等，②是相等。（2）實例略。正多邊形是圖形，對稱軸有；當(dāng)時，正多邊形也是對稱圖形，對稱中心是。2.做一做（1）以正多邊形任意兩邊垂直平分線的交點作為圓心，圓心到頂點的連線為半徑，能夠作一個圓，觀察這個正多邊形的各個頂點是否都在該圓上？試舉一例做做看。（2）將一個圓分成五等份，依次連接各分點得到一個五邊形，這個五邊形是正五邊形嗎?如果是請你證明這個結(jié)論。（3）如果將一個圓分成n等份，依次連接各分點得到一個n邊形，這個n邊形一定是正n邊形嗎？3.總一總：正多邊形的有關(guān)概念（1）中心：一個正多邊形的叫做正多邊形的中心。（2）半徑：正多邊形叫做正多邊形的半徑。（3）中心角：正多邊形叫做正多邊形的中心角。（4）邊心距：到的距離叫做正多邊形的邊心距。正多邊形和圓的關(guān)系（5）只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的，這個圓就是這個正多邊形的。（6）正多邊形都有個外接圓，反之，圓有個內(nèi)接正多邊形。正多邊形的計算：(7)正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成個全等的直角三角形由正多邊形和圓的關(guān)系可知，正n邊形的中心角為度；它的每個內(nèi)角是度；每個外角是度。正多邊形的畫法：畫正n邊形只需先畫一個圓，然后把圓，依次連接各分點，即可得正n邊形。二、方法頻道1.正多邊形和圓的關(guān)系：例1.已知五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∠AOB=∠BOC=COD=∠DOE=72°。求證：五邊形ABCDE是正五邊形。分析：要證明某多邊形是正五邊形，必須從兩方面進行證明：1.各角，2.各邊，而證明角相等和邊相等又往往借助于。證明：∵∠AOB=∠BOC=COD=∠DOE=72°，∴∠EOA=360°-＝?！唷螦OB=∠BOC=COD=∠DOE=∠EOA,∴====∴AB=BC=CD=DE=EA弧BCE=弧CDA=3,∴∠BAE=∠ABC,同理∠ABC＝∠BCD=∠CDE=∠DEA,∴五邊形ABCDE是正五邊形變式訓(xùn)練：如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形。求證：AE∥BD2.正多邊形和圓的有關(guān)計算例2.已知正六邊形ABCDEF，如上圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積。分析：要求正六邊形的周長，只要求的長，已知條件是，因此自然而然，應(yīng)與掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA，過O點作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得，又應(yīng)用垂徑定理可求得的長．正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的。解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于，△OAB是三角形，從而正六邊形的邊長它的半徑。因此，所求的正六邊形的周長為，在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a利用勾股定理，可得邊心距OM=，∴所求正六邊形的面積=總結(jié)：解決與正多邊形有關(guān)的問題，通常轉(zhuǎn)化為由、及組成的直角三角形的計算問題。變式訓(xùn)練:1.已知圓的半徑為6，則它的內(nèi)接正三角形的邊長是，內(nèi)接正方形的邊長是。2.填一填。正多邊形數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長邊心距周長面積3463.正多邊形的畫法例3.利用你手中的工具畫一個邊長為3cm的正五邊形。分析：要畫正五邊形，首先要畫，然后，因此，應(yīng)該先求邊長為3的正五邊形的。解：正五邊形的中心角∠AOB=，如圖，∠AOM=36°，在Rt△AOM中，AO=畫法:（1）以O(shè)為圓心，OA=cm為半徑畫圓；（2）在⊙O上順次截取邊長為的AB、BC、CD、DE、EA。（3）順次連結(jié)AB、BC、CD、DE、EA即得正五邊形。變式訓(xùn)練：1..已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內(nèi)接正三角形。提示：方法一用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°。方法二用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°。試試看。2.已知圓的半徑為3cm，你能用上面的方法畫出圓內(nèi)接正四邊形、正五邊形、正六邊形嗎？試試看?？偨Y(jié)：要畫正n邊形，可以先畫，然后通過把圓n等分,順次連接各分點即可得到。三、習(xí)題頻道初試能力（一）判斷題①各邊都相等的多邊形是正多邊形。（）②一個圓有且只有一個內(nèi)接正多邊形（）（二）選擇題1.如圖1所示，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則∠ADB的度數(shù)是（）°°°2．圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，對角線AC和BD相交于點P，則∠APB的度數(shù)是（）?！恪恪恪?.某校計劃在校園內(nèi)修建一座周長為120米的花壇，同學(xué)們設(shè)計出正三角形、正方形、正六邊形和圓共四種圖案，其中使面積最大的圖案為。A.正三角形B.正方形C.正六邊形D.圓（三）填空題1.若正六邊形的邊長為4㎝，則它的中心角是，半徑是邊心距是。2.中心角是40°的多邊形是邊形。3.正八邊形共有條對稱軸。4.正n邊形的一個外角的度數(shù)與它的中心角的度數(shù)。（四）證明題。求證：順次連結(jié)正六邊形各邊中點所得的多邊形是正六邊形。四、能力提高1.已知一個正n邊形的中心角是它的一個內(nèi)角的三分之一，則n＝。2.已知圓內(nèi)接正四邊形的邊長為，則這個圓的內(nèi)接正三角形的邊心距為。3.等邊△ABC的邊長為a，求其內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形DEFG的面積。4.如圖所示，已知⊙O的周長等于6cm，求以它的半徑為邊長的正六邊形ABCDEF的面積。中考鏈接：1.(2022.宜賓中考)已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P是劣弧CD上不同于點C的任意一點，則∠BPC的度數(shù)是?！恪恪恪?.(2022.宜